第三章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第三章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．76是等差数列4，7，10，13，…的（    ） A．第25项 B．第26项 C．第27项 D．第28项 【答案】A 【分析】先求出公差，再由首项和公差得到通项公式，令，求解n即可. 【详解】由题意得，等差数列首项为4，公差为3， 则通项公式为， 令，解得. 故选：A. 2．设实数，，，，构成等比数列，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项公式可求. 【详解】实数，，，，构成等比数列，，， 则，则， 则， 故选：B. 3．已知数列的首项,且,则为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：令直接得到. 考点：递推关系的应用. 4．等差数列的通项公式为，若前n项和最大，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】等差数列的通项公式为， 所以， 由得，当时，取得最大值. 故选：C. 5．在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推公式得为周期数列即可求解. 【详解】由，得， ，, 所以是周期为3的周期数列，所以. 故选：A. 6．已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的，且，由此可以得到，结合条件结论即可得到. 【详解】在等差数列中，因为， 所以，又，所以，所以， 所以有该等差数列首项，公差，所以. 故选: D. 7．已知是数列的前n项和，若，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】C 【分析】已知和的递推式，一般有两种考虑方向，一种是将通项转化，一种是将和式转化，如果用到条件推出的数列，必须检验首项是否满足. 【详解】因①可得，当时，②， 于是，由①-②可得：， 即，可得，因 ，在中，取，可得，即， 故数列不是等比数列，选项A，B错误； 又因当时，都有，代入中，可得，整理得：， 故数列是等比数列，即选项C正确，D错误. 故选：C. 8．在等差数列中，，是4和16的等比中项，且，则=（   ） A．10 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】首先根据等比中项求出，再利用等差数列的通项公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为是4和16的等比中项，所以， 又，所以， 在等差数列中，，设等差数列的公差为d， 即，解得， 所以. 故选：C. 9．已知数列的前项和为，且满足，若，则（    ） A．2027 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】根据题意所给条件求出数列的通项公式，利用通项公式分析得出的值，从而解决问题. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 故数列从第2项开始都是偶数，而是奇数， 故正整数和其中必有一个等于，另一个就是， 故， 故选：C． 10．已知等差数列前项和为，且，，则等于（   ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和的性质求解. 【详解】等差数列前项和为， 根据等差数列的前项和性质知： ，，成等差数列， 因为，，， 整理得， 解得. 故选：B. 11．已知是各项均为正数的等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式，通过已知条件求解出公比，然后即可求出. 【详解】各项均为正数的等比数列中，，所以， 整理可得，，解得或（舍去）， 则. 故选：C. 12．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（　　）   A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 【答案】C 【分析】根据题意可知相邻两个晷长的变化量相同，进而转化为等差数列求解即可； 【详解】设从夏至到冬至，第个节气晷长为寸， 其中夏至晷长为寸，冬至晷长为寸， 由每个节气晷长损益相同可知，常数， 所以为等差数列，设公差为， 由题可知，，解得， 所以， 所以夏至之后的第三个节气晷长是五尺五寸， 故选：C 13．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，将都用表示出来，即可得出答案. 【详解】因为为等差数列，所以，则，所以，所以 故选：B. 14．对于数 ，规定第 次操作为，第 次操作为，如此反复操作，则第 次操作后得到的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用类比推理以及周期性解答即可. 【详解】由题意知，第三次操作为， 第四次操作为， 第五次操作为， 所以每次操作后的得数呈周期性排列， 且周期为3， 又， 所以第2014次操作后得到的数是133. 故选：. 15．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推公式可判断该数列为等差数列，可得通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由已知，， 可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， 所以， 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．数列的前项和，则它的通项公式为 ． 【答案】 【分析】先求出，在时利用求出其通项即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验当时不符合，所以， 故答案为：. 17．设是等差数列，且，，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据首项和公差直接求出等差数列的前和公式即可. 【详解】因为数列为等差数列，由，可得：公差. 则数列的前项和. 故答案为：. 18．等差数列的前项和为，，则= . 【答案】 【分析】利用等差数列性质得，再利用求和公式求解得答案. 【详解】由题意，所以， 故 故答案为： 19．设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是 . ① 若数列既是等差数列又是等比数列，则； ② 若，则数列是等差数列； ③ 若，则数列是等比数列. 【答案】①② 【分析】根据等差等比数列的定义即可判断①③ ，根据的关系即可判断②. 【详解】由等差数列和等比数列的定义知，若数列既是等差数列又是等比数列，则是不为0的常数列，故，①正确； ，则，时，，，又，所以是等差数列，②正确， 若，则，不是等比数列，③错， 故答案为:①②． 20．已知某蜂巢现有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回了3个伙伴，第二天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴，第三天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴，…，以此类推，设每天归巢后的蜜蜂数量构成数列，求的通项公式 . 【答案】 【分析】根据题意可知归巢后的蜜蜂数量可以构成首项为公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知某蜂巢现有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回了3个伙伴， 即，第二天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴， 则归巢后的蜜蜂数量为， 第三天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴， 则归巢后的蜜蜂数量为， 以此类推， 若每天归巢后的蜜蜂数量构成数列， 则为首项为公比为的等比数列， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某农场决定利用6年时间通过植树把占地3500亩的荒山全部绿化.若在第一年植树面积的基础上，以后每年比上一年多植树30亩（不考虑其他因素），问第一年植树面积至少是多少（结果保留整数）？ 【答案】509亩 【分析】分析题意，可知这6年的植树面积构成等差数列，由等差数列的前n项和公式代入求解即可. 【详解】设第一年植树面积为x亩， 该农场这6年的植树面积构成等差数列， 设该等差数列为，其中首项，公差， 由等差数列的前n项和可知， 前6项和， 因为利用6年时间通过植树把占地3500亩的荒山全部绿化， 所以，即， 解得， 因为结果保留整数，所以x的最小值为509.   答：第一年植树面积至少是509亩. 22．已知数列的前n项和为. (1)求，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）赋值法求得，再根据求解即可； （2）利用和关系求解通项公式即可. 【详解】（1）令得， 令得， 所以. （2）当时，， 当时，， 经检验满足上式，所以. 23．在递增的等比数列中，已知其中 (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，若求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合等比数列性质求出的值，从而可得公比，即可求答案. （2）由（1）可得的表达式，利用等比数列的前n项和，即可求得答案. 【详解】（1）因为数列是递增的等比数列，所以. 所以，解得，所以公比， 所以. （2）由（1）知，.. 从而. 所以. 24．已知数列满足，，. (1)求，，的值； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前n项和为. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将、、代入，即可求出、、. （2）根据数列的规律发现当n为奇数时，数列是以1为首项的等比数列，当n为偶数时数列是以2为首项的等比数列，可分别得出其通项公式. （3）由上述得到，代入得到数列的通项公式，利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）由题意可得，；因为，， 所以，，. （2）当n为奇数时，，，，…是以1为首项，2为公比的等比数列； 当n为偶数时，，，，…是以2为首项，2为公比的等比数列； 所以，通项公式 （3）， 所以 ① ② 得 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章数列的单元测试卷，主要考查了数列的概念、数列的通项、等差数列、等比数列等常见考点。 第三章 数列 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．76是等差数列4，7，10，13，…的（    ） A．第25项 B．第26项 C．第27项 D．第28项 2．设实数，，，，构成等比数列，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的首项,且,则为 A． B． C． D． 4．等差数列的通项公式为，若前n项和最大，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知是数列的前n项和，若，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 8．在等差数列中，，是4和16的等比中项，且，则=（   ） A．10 B．8 C．12 D．14 9．已知数列的前项和为，且满足，若，则（    ） A．2027 B．1012 C．1013 D．1014 10．已知等差数列前项和为，且，，则等于（   ） A． B．0 C．5 D．10 11．已知是各项均为正数的等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 12．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（　　）   A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 13．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 14．对于数 ，规定第 次操作为，第 次操作为，如此反复操作，则第 次操作后得到的数是（    ） A． B． C． D． 15．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．数列的前项和，则它的通项公式为 ． 17．设是等差数列，且，，则数列的前项和 . 18．等差数列的前项和为，，则= . 19．设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是 . ① 若数列既是等差数列又是等比数列，则； ② 若，则数列是等差数列； ③ 若，则数列是等比数列. 20．已知某蜂巢现有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回了3个伙伴，第二天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴，第三天所有蜜蜂飞出去各自找回了5个伙伴，…，以此类推，设每天归巢后的蜜蜂数量构成数列，求的通项公式 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某农场决定利用6年时间通过植树把占地3500亩的荒山全部绿化.若在第一年植树面积的基础上，以后每年比上一年多植树30亩（不考虑其他因素），问第一年植树面积至少是多少（结果保留整数）？ 22．已知数列的前n项和为. (1)求，； (2)求数列的通项公式. 23．在递增的等比数列中，已知其中 (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，若求数列的前n项和 24．已知数列满足，，. (1)求，，的值； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前n项和为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $