第四章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第四章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（       ） A． B． C． D． 3．如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量，的坐标分别是（    ） A．3，2 B．2，4 C．4，-2 D．2，-4 4．已知三点，若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 5．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 6．已知，若，则（    ） A．4 B． C． D．-4 7．下列说法正确的是（   ） A．向量就是直线平行于直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 8．已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D． 9．如图所示，已知平行四边形，点分别是边，，的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 10．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 11．设向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D．1 12．若等边的边长为3，则（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．若是两个单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 15．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，且，则的值等于 . 17．已知向量，．则 ； ． 18．若向量，，则 . 19．如图所示，已知点 是 的重心，过 作直线与 ， 两边分别交于 ， 两点，且 ，，则  的值为 .    20．已知为圆上的两点，，O为坐标原点，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 22．已知，，，. (1)若，且方向相反，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 23．已知，，，设是直线上的一点（其中为原点）． (1)若，，求点坐标； (2)求取最小值时向量的坐标． 24．已知向量． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示等常见考点。 第四章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式计算作答. 【详解】解：因为，且， 即， 解得， 所以. 故选：B. 2．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标运算计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量，的坐标分别是（    ） A．3，2 B．2，4 C．4，-2 D．2，-4 【答案】D 【分析】由直线上向量的坐标运算公式求解即可 【详解】由题意可： ，， 故选：D 4．已知三点，若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由向量的坐标表示求得，再利用向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 又三点在同一条直线上，则， 所以，解得. 故选：C. 5．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据内积的定义可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 6．已知，若，则（    ） A．4 B． C． D．-4 【答案】D 【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律，利用模的坐标表示以及数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意得， 即， ， 故选：D. 7．下列说法正确的是（   ） A．向量就是直线平行于直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量共线、相等的定义以及零向量的定义分析求解即可. 【详解】对于A，向量包含直线平行直线或直线与直线重合两种情况，选项A错误； 对于B，相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，选项B错误； 对于C，零向量长度等于0，选项C正确； 对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以错误． 故选：C. 8．已知向量，，且与的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据向量内积公式代入求解即可. 【详解】向量，，且与的夹角为， 所以． 故选：D. 9．如图所示，已知平行四边形，点分别是边，，的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形中位线确定向量关系，计算得到答案. 【详解】连接、，已知点分别是边，，的中点， 故、分别是、的中位线， 可得，， 故， 故选：A.    10．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示可得，再根据基本关系式求出的值，开平方即可得出结果. 【详解】已知向量，， 由，得， 得. 所以，即. 故选：C. 11．设向量，，则与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用向量线性运算、内积与模的坐标表示，结合向量夹角的计算公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则， 则. 故选：B. 12．若等边的边长为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量内积的定义计算. 【详解】已知等边的边长为，则， 与的夹角为， 因此， 故选：B. 13．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示进行求解即可. 【详解】， ， 又， ， ， 故， ， 故选：C. 14．若是两个单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直与内积的运算法则求得，再求得即可得解. 【详解】因为， 则 ，所以， 因为， 所以， 故选：. 15．已知向量满足则（     ） A．5 B．-5 C．6 D．13 【答案】A 【分析】将条件等式两边平方，两式相减化简即得. 【详解】由两边分别平方可得：① 又由两边分别平方可得：② 由①②得：，即. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知向量，，且，则的值等于 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】由题意得 ， 解得. 故答案为： 17．已知向量，．则 ； ． 【答案】 5 【分析】直接根据向量的数量积的坐标化运算以及向量夹角公式即可得到答案. 【详解】， ， ，. 故答案为：5；. 18．若向量，，则 . 【答案】 【分析】利用向量的模长公式，结合数乘向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以. 故答案为： 19．如图所示，已知点 是 的重心，过 作直线与 ， 两边分别交于 ， 两点，且 ，，则  的值为 .    【答案】 【分析】由为三角形的重心得到,再结合 ，,根据,,三点共线得到的关系式，整理后即可得到的值. 【详解】设延长线交于点,如图.    因为点为的重心， 所以, 所以. 又因为与共线, 根据共线向量的基本定理知,存入实数,使得, 即, 所以,消去得, 即. 故答案为：. 20．已知为圆上的两点，，O为坐标原点，则 . 【答案】/ 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再由圆中的弦长公式求出圆心到直线的距离，再确定，再由向量的内积的定义求值即可. 【详解】由圆得，圆心为，半径为， 由，得， 解得圆心到直线的距离为，且， 在，因为， 所以，则， 所以， 故答案为：.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）求出的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出关系； （2）根据向量相等坐标关系，求出关于的方程，求解，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，， . （1）因为A，B，C三点共线，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以解得 所以点C的坐标为. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题. 22．已知，，，. (1)若，且方向相反，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【答案】(1)2 (2)0 【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解， （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【详解】（1）由与平行得：， ∴或， 当时，，，与平行，且方向相反，满足要求； 当时，，，方向相同，不满足要求； 故. （2）， 即，平方得：， ∴或， 由于,所以不符合要求,故舍去； ∴ 23．已知，，，设是直线上的一点（其中为原点）． (1)若，，求点坐标； (2)求取最小值时向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件设，从而得出，然后即可求出的值，进而可得出点的坐标； （2）根据（1）得出，然后配方即可求出取最小值时的的值，进而可得出向量的坐标． 【详解】（1）是直线上的一点， 设， 由得，，即， ，解得， ； （2）由（1）得，， 时，取最小值，此时． 24．已知向量． (1)若，求； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出的值，再结合向量线性运算的坐标表示及向量模长的坐标表示，代数求解即可； （2）根据向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示，代数求解即可. 【详解】（1）因为向量，且， 所以， 解得：， 所以， 所以. （2）当时，， 所以， ， 设与夹角为， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $