第五章 椭圆、双曲线、抛物线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章椭圆、双曲线、抛物线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第五章 椭圆、双曲线、抛物线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的a,b,c，可知焦点为，再由抛物线的焦点坐标，解方程可得p的值. 【详解】由双曲线方程可知， 则，所以双曲线的右焦点坐标为， 因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 而抛物线的焦点为， 所以，解得. 故选：C. 2．设，为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为， 所以由椭圆的定义可知，动点的轨迹是椭圆. 故选：A. 3．椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】因为椭圆的标准方程为， 所以， 所以椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故选：D. 4．把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换的规则，准确化简，即可求解. 【详解】将抛物线向下平移3个单位长度，得到， 再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为. 故选：B. 5．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案. 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 6．曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解. 【详解】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 7．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率公式及双曲线中的数量关系及渐近线方程公式即可得解. 【详解】由离心率的定义可知. 整理得，所以. 所以渐近线方程为. 故选：. 8．顶点在轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出即可. 【详解】因为两顶点间的距离为8，所以，所以 因为，所以，所以 因为顶点在轴上，所以双曲线的标准方程为 故选：A 9．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的焦点坐标，可求得c的值，结合椭圆经过点，可求得b的值，继而求得a的值，即可求得标准方程. 【详解】因为椭圆的两个焦点的坐标分别是和， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 又因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：A. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，利用求得和，进而利用椭圆定义建立等式，求得和的关系，然后求得离心率． 【详解】根据题意可知，因为， 所以在中，，， 根据椭圆定义， 所以有， 于是椭圆的离心率. 故选：B. 11．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合题意，利用勾股定理列出等式，化简即可求得离心率. 【详解】设，则， 由椭圆定义知， ， ，即， ， ， 椭圆的离心率， 故选：C. 12．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线与双曲线的性质，分析求解即可. 【详解】由双曲线可知：，焦点在轴， 所以， 所以右焦点坐标为， 因为抛物线的焦点坐标为，且与双曲线右焦点重合， 所以，解得：． 故选：A. 13．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线长定理以及双曲线的定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支（不含顶点），再求出可得双曲线方程. 【详解】设分别与圆相切于点，则，，， 所以，且， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)， 这里，，，则， 故点的轨迹方程为. 故选：A 14．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线焦点和渐近线的定义，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为双曲线， 所以， 所以一条渐近线方程为，即， 因为点为双曲线的一个焦点，不妨取， 由点到直线距离公式， 点到双曲线的一条渐近线的距离为. 故选：A. 15．已知椭圆，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段交于M点，与y轴交于点，若直线交y轴于H点，H点为线段上靠近O点的三等分点，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知、，由相似三角形的性质可得、，列等式，解之即可求解. 【详解】由题意知，轴，在中，， 则，①； 在中，， 则， 所以，即②， 由①②，得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．椭圆的短轴长为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】对于椭圆方程，短轴长为. 所以对于椭圆，，从而短轴长为. 故答案为：. 17．等轴双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程确定的值，写出渐近线方程即可. 【详解】已知得， 等轴双曲线得， 所以其渐近线方程是． 故答案为：． 18．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 ． 【答案】 【分析】将方程化成双曲线的标准方程，再由双曲线的定义进行求解. 【详解】将化为，所以，， 双曲线的焦点为，点为上一点，， 由双曲线的定义，得：，即， 所以或（舍）， 故答案为：． 19．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 【答案】0或 【分析】由题意知，直线斜率存在，且经过定点，由图知，过点斜率存在且与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条与轴平行，一条与与抛物线相切,求之即得. 【详解】    如图，因直线的斜率为,且经过定点，又抛物线的对称轴为轴， 故当时，直线与抛物线有且只有一个公共点； 由消去，得：， 由，解得：，此时直线与抛物线相切. 综上，或. 故答案为：0或. 20．已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解. 【详解】双曲线化为标准方程为， 由定义知①， 又因为，由勾股定理可知，②， ①式平方得③， 联立②③得，则， 则. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，求该双曲线的焦距. 【答案】4 【分析】由离心率及双曲线参数关系求出，进而可求出焦距. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，即，解得， 所以该双曲线的焦距为. 22．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时直线的方程为 【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解； (2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 23．抛物线E的标准方程为，双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，双曲线C的离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若抛物线线上一点P到焦点的距离等于4，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的方程确定焦点，再由双曲线的离心率得出的值，再根据的关系求出即可解答. （2）设P点坐标为，根据抛物线的定义求出，再代回抛物线方程中求出即可. 【详解】（1）由抛物线E的标准方程为， 可得，则焦点为， 因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以，由于双曲线C的离心率为， 所以，解得， 则， 所以双曲线的标准方程为. （2）设P点坐标为 的准线方程为， ，， 代入抛物线方程得， 点坐标为或. 24．已知焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，且该双曲线的一条切线方程为, (1)求双曲线的标准方程； (2)以双曲线的右顶点为焦点的抛物线交直线于A，B两点，求线段AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设双曲线方程，再根据切线方程联立方程组易得答案； （2）根据直线和双曲线相交，联立方程组利用两点间距离公式易得答案. 【详解】（1）根据渐近线方程，焦点在轴上， 设所求双曲线方程为， 联立切线方程和双曲线方程，得， 消除整理得：， ， 解得； 所以所求双曲线的方程是； （2）由(1)知，， 所以双曲线的右顶点， 即为所求抛物线的焦点， 所以抛物线的标准方程是 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线方程与抛物线方程，得 ， 消去y，整理得：， 因为, 由韦达定理，得， 因为点A，B在直线上， 所以， 所以， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一》（语文版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章椭圆、双曲线、抛物线的单元测试卷，主要考查了椭圆的概念、椭圆的几何性质、双曲线的概念、双曲线的几何性质、抛物线的概念等常见考点。 第五章 椭圆、双曲线、抛物线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．设，为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 3．椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于（    ） A． B． C． D． 4．把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 6．曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．顶点在轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（   ） A．4 B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D． 14．已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 15．已知椭圆，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段交于M点，与y轴交于点，若直线交y轴于H点，H点为线段上靠近O点的三等分点，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．椭圆的短轴长为 . 17．等轴双曲线的渐近线方程是 ． 18．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 ． 19．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是 ． 20．已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，求该双曲线的焦距. 22．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 23．抛物线E的标准方程为，双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，双曲线C的离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若抛物线线上一点P到焦点的距离等于4，求点P的坐标． 24．已知焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，且该双曲线的一条切线方程为, (1)求双曲线的标准方程； (2)以双曲线的右顶点为焦点的抛物线交直线于A，B两点，求线段AB的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $