第八章 概率与统计初步（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 基础模块 下册》（语文版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章概率与统计初步的单元测试卷，主要考查了随机事件、频率与概率、古典概型、概率的简单性质、抽样方法等常见考点。 第八章 概率与统计初步 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ）    A．评分在区间内的有2人 B．评分的中位数在区间内 C．评分的众数是90分 D．评分的平均数大于90分 2．下列三个命题中假命题的个数为（   ） ①某事件发生的概率，则试验次事件一定发生次； ②从装有1个白球，4个红球的袋子中任取两个球，则“至少有一个红球”是必然事件； ③“某货车经过有红绿灯的十字路口，恰好遇到红灯”是随机事件． A．3 B．2 C．1 D．0 3．由6个实数组成的一组数据方差为，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变得到一组数据的方差为．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．一个硬币抛两次，两次都是正面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．某射击选手积极备战某运动会，在一次训练中共射了72支箭，下表是命中环数的部分统计信息： 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 22 已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的频率约为（    ） A．0.31 B．0.65 C．0.86 D．1 6．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 7．对总数为的一批零件抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则的值为（    ） A．60 B．100 C．75 D．50 8．从学号 1-50 的某班 50 名学生中随机抽取 5 名学生参加讲座，若采取系统抽样的方法，则抽取的 5 名学生的学号可能是 （      ） A． B． C． D． 9．集合，集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（　　） A． B． C． D． 10．设一组样本数据的标准差是 ，将这组样本数据中的每个数都乘 ，得到一组新的样本数据，则这组新样本数据的标准差是（    ） A． B．S C． D． 11．为了了解霍城县江苏中学高二年级参加数学测试的1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的数学成绩是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 12．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（   ） A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 13．若一个密码箱上有一个三位密码，每个拨盘上有从共个数字，试开一次就能把锁打开的概率是（   ） A． B． C． D． 14．为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 15．下列说法正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为 万辆. 17．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本标准差分别为和，则 .（填>或<） 18．从1-9这9个数字任取一个数字，满足的概率为 . 19·．甲、乙、丙三人任意排成一行，甲正好站在中间的概率是 20．下列事件中，属于随机现象的序号是 . ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．一个不透明的布袋，袋中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄色，2个是白色，充分摇匀． (1)从袋子里任意取出2个球，取出的2个球都是黄色的是______现象； (2)任意摸出3个乒乓球，会出现哪几种可能的结果？ (3)请自己设计出一个确定性现象和随机现象． 22．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在铅笔区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在铅笔区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 23．高中数学试卷满分是150分，其中成绩在内的属于优秀.某数学老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200位学生的数学成绩（均在内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留两位小数） (2)从样本数学成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人来自两组的概率. 24．有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章概率与统计初步的单元测试卷，主要考查了随机事件、频率与概率、古典概型、概率的简单性质、抽样方法等常见考点。 第八章 概率与统计初步 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ）    A．评分在区间内的有2人 B．评分的中位数在区间内 C．评分的众数是90分 D．评分的平均数大于90分 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图可计算内的频数，判断A；根据中位数以及众数以及平均数的计算方法可判断B，C，D. 【详解】根据频率分布直方图可知，评分在区间内的人数为，A错误； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故可以判断中位数在区间内，B正确； 由于众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89分，C错误； 评分的平均数为： （分），D错误． 故选：B． 2．下列三个命题中假命题的个数为（   ） ①某事件发生的概率，则试验次事件一定发生次； ②从装有1个白球，4个红球的袋子中任取两个球，则“至少有一个红球”是必然事件； ③“某货车经过有红绿灯的十字路口，恰好遇到红灯”是随机事件． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据随时事件，概率的相关概念逐个判断即可. 【详解】某事件发生的概率， 则试验次事件可能发生次，不一定发生次，故①为假命题， 从装有1个白球，4个红球的袋子中任取两个球，则一定会至少有一个红球， 所以“至少有一个红球”是必然事件为真命题，故②为真命题 因为经过有红绿灯的十字路口，遇到红灯还是绿灯是不确定的， 所以“某货车经过有红绿灯的十字路口， 恰好遇到红灯” 是随机事件为真命题，故③为真命题， 所以假命题只有1个， 故选：C. 3．由6个实数组成的一组数据方差为，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变得到一组数据的方差为．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据平均数和方差的定义进行求解即可. 【详解】将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变， 可得这6个实数组成的一组数据的平均数不变，并设为， 设没有变化的4个数为， 则， ， 所以. 故选：A. 4．一个硬币抛两次，两次都是正面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型的概率公式，计算得到答案. 【详解】一个硬币抛掷两次，总共有种可能情况， （正正），（正负），（负正），（负负）， 两次都正面朝上的概率为， 故选：B. 5．某射击选手积极备战某运动会，在一次训练中共射了72支箭，下表是命中环数的部分统计信息： 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 22 已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的频率约为（    ） A．0.31 B．0.65 C．0.86 D．1 【答案】C 【分析】根据频数之和以及平均数列出方程组即可解答. 【详解】易知：， 化简得，解得， 训练中命中黄圈的频率为， 故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的频率约为0.86． 故选：C 6．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解. 【详解】由题意可知：体重减轻的频率为， 用频率估计概率可知：体重减轻的概率为. 故选：A. 7．对总数为的一批零件抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则的值为（    ） A．60 B．100 C．75 D．50 【答案】A 【分析】代入概率公式即可得解. 【详解】每个零件被抽取的概率都相等，，， 故选：A 8．从学号 1-50 的某班 50 名学生中随机抽取 5 名学生参加讲座，若采取系统抽样的方法，则抽取的 5 名学生的学号可能是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由系统抽样的定义判断即可. 【详解】从学号 1-50 的某班 50 名学生中随机抽取 5 名学生参加讲座， 采取系统抽样的方法，间隔应为，只有选项B中的学号间隔为. 故抽取的 5 名学生的学号可能是. 故选：B. 9．集合，集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用列举法，结合古典概型的运算公式进行求解即可. 【详解】从中各任意取一个数，构成一个两位数，有以下种情形： ，共个， 其中偶数有这个， 故这个两位数是偶数的概率为. 故选：C. 10．设一组样本数据的标准差是 ，将这组样本数据中的每个数都乘 ，得到一组新的样本数据，则这组新样本数据的标准差是（    ） A． B．S C． D． 【答案】C 【分析】根据标准差的计算方法即可得解. 【详解】因为一组样本数据的标准差是 ， 将这组样本数据中的每个数都乘 ， 所以这组新样本数据的标准差是. 故选：C. 11．为了了解霍城县江苏中学高二年级参加数学测试的1000名学生的数学成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的数学成绩是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】C 【分析】由总体、个体、样本及样本量的定义即可得解. 【详解】在这个问题中，1000名学生的数学成绩是总体，被抽取的200名学生的数学成绩是样本，每个学生的数学成绩是个体，样本量为200， 故选：. 12．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（   ） A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 【答案】C 【分析】根据题意结合对立事件的概率公式即可得解. 【详解】事件“抽到的不是一等品”与事件是对立事件，由于， 所以 “抽到的不是一等品”的概率为， 故选：. 13．若一个密码箱上有一个三位密码，每个拨盘上有从共个数字，试开一次就能把锁打开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知一个密码箱上有一个三位密码， 每个拨盘上有从共个数字， 共有密码组合总数， 所以试开一次就能把锁打开的概率. 故选：C. 14．为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】利用前三组频率求出前三组人数比值，利用第二组人数占比乘以即可. 【详解】由直方图可知前三组志愿者的人数之比为， 所以从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为：. 故选：D. 15．下列说法正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 【答案】A 【分析】由互斥事件和对立事件的关系得到A；若A，B是不可能事件同时发生和恰有一个发生的概率都是零可判断B；举例判断C错误；若A，B是互斥事件，由概率可判断D. 【详解】A：由互斥事件和对立事件的关系可判断对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确； B：若A，B是不可能事件，同时发生和恰有一个发生的概率都是零，相等，故B错误； C：由 ，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：有a，b，c，d四个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ， ，但A，B不是对立事件，错误； D：若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D错误； 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为 万辆. 【答案】53 【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解. 【详解】设2020年的销量为，2021年的销量为，， 由题意可知，中位数为，平均数为， 由，得， 所以这四年的总销量为万量. 故答案为：53 17．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本标准差分别为和，则 .（填>或<） 【答案】> 【分析】从图中可以看出图A的波动比较大，图B波动比较小，所以； 也可以从图中提取数据，计算样本标准差分别为和，再进行比较. 【详解】从图中可以看出图A的波动比较大，图B波动比较小，所以.具体计算如下： 样本A提取数据：2.5，10，5，7.5，2.5，10. 样本A的平均数为， 样本标准差， 样本B提取数据：15，10，12.5，10，12.5，10. 样本B的平均数为； 样本标准差 .. 故答案为：>. 18．从1-9这9个数字任取一个数字，满足的概率为 . 【答案】 【分析】先解不等式，求出，再利用古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】由得，解得或， 则符合题意的是4，5，6，7，8，9，共有6种情况， 而所有情况有9种，故概率为， 故答案为：. 【点睛】本题考查对数不等式和古典概型，考查计算能力，属于基础题. 19·．甲、乙、丙三人任意排成一行，甲正好站在中间的概率是 【答案】 【分析】先列举出甲、乙、丙三人排成一列可能出现的所有情况，再求出甲在中间的情况，根据概率公式解答即可. 【详解】甲、乙、丙站成一排的基本事件有： 甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种情况， 其中甲站正中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共两种情况， 所以甲站中间的概率为：， 故答案为：. 20．下列事件中，属于随机现象的序号是 . ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 【答案】①③ 【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断. 【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象； 对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件； 对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件； 综上：属于随机现象的序号是①③. 故答案为：①③. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．一个不透明的布袋，袋中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄色，2个是白色，充分摇匀． (1)从袋子里任意取出2个球，取出的2个球都是黄色的是______现象； (2)任意摸出3个乒乓球，会出现哪几种可能的结果？ (3)请自己设计出一个确定性现象和随机现象． 【答案】(1)随机 (2)会出现“黄黄黄”“黄黄白”“黄白白”三种可能的结果； (3)“任取三个球，其中有黄球”是确定性现象；“任取两个球，其中有黄球”是随机现象． 【分析】（1）由随机现象的定义判断； （2）用列举法写出所有结果； （3）由确定性现象和随机现象的概念作答． 【详解】（1）从袋子里任意取出2个球，取出的2个球可能都是黄色，也可能都是白色，还可能是一黄一白，因此“取出的2个球都是黄色的”这是随机现象； （2）由于有4个黄球，只有2个白球，因此任取三个球，所有可能的结果是：黄黄黄，黄黄白，黄白白． （3）由（2）可知“任取3球，必有黄球”是确定性现象．由（1）知“任意取出2个球，取出的2个球黄色”是随机现象． 22．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在铅笔区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在铅笔区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据频率的计算公式即可求解； （2）观察（1）问即可得到答案； （3）根据频率估计概率的方法，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，这个数值就可以作为该事件发生的概率的估计值. 【详解】（1）通过计算可得： 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为； 填入表格为： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当试验次数n很大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格中的频率，随着n的增大，频率逐渐稳定在左右， 所以当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近. （3）根据频率估计概率的知识，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近， 由（2）可知，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率接近， 所以转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为. 23．高中数学试卷满分是150分，其中成绩在内的属于优秀.某数学老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200位学生的数学成绩（均在内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留两位小数） (2)从样本数学成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人来自两组的概率. 【答案】(1)中位数为116.43分，22% (2) 【分析】（1）由题意得到，求出前三组的频率，分析得到中位数落在内，设中位数为，列方程求解即可； （2）用分层抽样的方法求出在，中分别抽取的人数，再列举随机选出2人的所有结果，求这2人来自两组的概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 解得， 样本中数学成绩在内的频率， 在内的频率， 在内的频率为， ∵，， ∴样本的中位数落在内， 设样本的中位数为，则，解得， 故样本的中位数为116.43分. 由样本估计总体，得本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为； （2）由频率分布直方图可知， 按分层抽样的方法，抽取5名学生中成绩在内的有3名，分别记为A，B，C， 在内的有2名，分别记为D，E， 则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种， 其中2人来自两组的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，共6种， 故所求概率. 所以这2人来自两组的概率为. 24．有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件A，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件B． (1)试判断A，B是否为相互独立事件，并说明理由； (2)求． 【答案】(1)是相互独立事件；理由见解析 (2) 【分析】（1）由相互独立事件的定义判断即可； （2）由概率的性质求解即可. 【详解】（1）解法一：，，． 若A发生，则B发生的概率为； 若A不发生，则B发生的概率为； 可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率， 因此，A，B为相互独立事件． 解法二：，，，． 所以，，， 即． 因此，A，B为相互独立事件． （2）解法一：由概率性质得 ． 解法二：，，，． 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $