大题专项-专题6 平面向量（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为平面向量。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题6平面向量 一、课标解读 1．理解平面向量的概念 2．掌握平面向量的线性运算、数乘 3．掌握平面向量的坐标运算及数量积 4．掌握平面向与其他知识点的综合 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 解答题 21 平面向量的坐标运算，通过垂直关系求参数 8 （1）题型：解答题或解答题。 （2）分值：8分或10分。 （3）内容：平面向量的坐标运算、数量积 2022 综合题 24 平面向量和三角函数结合求角度和向量模长的最小值 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有1道题目对平面向量进行考查，题型为解答题，分值为8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 平面向量的坐标运算 · 平面向量的数量积 · 平面向量与其他知识点的综合 四、知识梳理 （一）平面向量坐标运算及共线的坐标表示 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 2.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. （二）平面向量内积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 内积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 五、10分钟小测验 1．已知向量，向量，求下列条件k的值． (1)； (2)． 2．已知，且，求： (1)； (2). 3．已知向量，向量， (1)求； (2)求的最值． 【答案解析】 1．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式列式计算即可. （2）根据向量垂直的坐标公式列式计算即可. 【详解】解：（1）由题意有，解得 即时，. （2）由题意有，解得 即时，. 2．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据内积的定义可求解； （2）根据，利用内积的运算律展开可求解. 【详解】解：（1）因为，且， 所以； （2） . 3．【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示可求解； （2）根据同角三角函数的基本关系，将的代数式转化为关于的二次式，利用二次函数的性质，并结合的范围可求解. 【详解】解：（1）； （2）因为 ， 所以，当时，的最大值为， 当时，的最小值为． 六、经典例题解析 【考试题型1】根据向量垂直的坐标运算求参数的值 【例1】（2024年·河南对口升学高考）已知向量，且，求m的值． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，得出的坐标，又由向量垂直得出，最后解出. 【详解】解： 因为 所以 解得. 【考试题型2】求向量的夹角及模长的最小值 【例2】（2022年·河南对口升学高考）已知向量，，. （1）若，求； （2）求的最小值. 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）， 又，联立解得， 考虑到，故得. （2） ， 当时，， 原式取得最小值. 【考试题型3】平面向量与三角函数的综合 【例3】（2017年河南对口）在中，角A，B，C的对边分别为，已知 . （1）若的面积为3，求的值； （2）设，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)因为，所以， 则， 即，又， 所以 . (2)因为，所以，即，所以， 所以. 【考试题型4】考查平面向量的坐标运算、数量及运算并求参数的值 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知， (1)求的值； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由已知，利用向量线性运算的坐标表示，可得，再根据向量内积的坐标表示可求解； （2）利用向量线性运算的坐标表示，列方程组可求解. 【详解】解：（1）因为，， 所以， ； （2）由题知， ， 所以， 故，解得. 故为所求. 【例5】（24-25高三上·河南·模拟预测）设向量. (1)求； (2)若，，求的值； 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【详解】解：（1），； （2）， 所以，解得：，所以. 【例6】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知向量，向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】(1)2；(2) 【详解】解：（1）∵，且， ∴， ∴. （2）∵， ∴，即， ∴， ∴. 【例7】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量模的计算公式及可求解. 【详解】解：（1）向量，且， 则，解得. （2）因为， 则， 所以. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 【专题内容总结2】 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式． 【专题内容总结3】 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $