大题专项-专题5 解析几何（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为解析几何。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题5解析几何 一、课标解读 1．直线方程的概念及其求法 2．圆的方程、直线与圆的位置关系 3．椭圆方程及其性质 4．双曲线方程及其性质 5．抛物线方程及其性质 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 证明题 22 直线和圆的位置关系 6 （1）题型：证明题或解答题。 （2）分值：6分或8分。 （3）内容：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。 2024 解答题 20 直线的方程 8 2023 解答题 19、21 双曲线的标准方程、性质、两点间的距离公式 16 2022 解答题、证明题 21、22 直线的方程、抛物线 14 2021 解答题 21 圆的方程 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有1道题目对解析几何进行考查，题型为解答题，分值为8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求直线方程 · 直线和圆的位置关系的判断 · 圆锥曲线的方程及性质 · 直线和圆锥曲线的综合 四、知识梳理 （一）椭圆 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． （2）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) ，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （二）双曲线 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) （三）抛物线 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹． （2）抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 （四）直线和圆锥曲线的综合 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程，消去y(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程． 即消去后得. (1)当时，设一元二次方程的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点． (2)当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． (3)对于直线与圆的位置关系，除了上面的代数法还可以用几何法去判断.若圆的半径为，圆心到直线的距离为.若则直线与圆相切；若则直线与圆相离；若则直线与圆相交. 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，， 则 (抛物线的焦点弦长θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 五、10分钟小测验 1．已知直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程. 2．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. (1)求的值； (2)求出这个椭圆的长轴长和离心率. 3．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 【答案解析】 1．【答案】 【解析】解法一：直线化为斜截式即， 斜率为，所求直线与该直线垂直，故斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得直线的方程为， 解法二：直线与直线垂直，可设， 将代入上式，可得，从而， 故直线的方程为. 2．【答案】(1) (2)长轴长为，离心率为. 【分析】（1）代点入椭圆方程即可求得参数. （2）根据椭圆方程得到，即可求椭圆长轴长和离心率. 【详解】（1）代点可得：，解得. （2）由（1）可知，椭圆的方程为， 由方程可知，，，， 则椭圆长轴长为：， 离心率为：. 3．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为，即. （2）设两点坐标为， 联立方程组，可得， ， 抛物线中， 所以. 线段的长度为. 六、经典例题解析 【考试题型1】直线和圆的位置关系 【例1】（2025年·河南对口升学高考）已知直线和圆，求证：直线与圆相离. 【答案】证明见解析 【分析】先确定圆心坐标和半径，计算圆心到直线距离，与圆的半径比较，确定直线与圆的关系. 【详解】将圆化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 则圆心到直线，即距离， 因为，即，所以直线与圆相离. 【考试题型2】求直线的方程 【例2】（2024年·河南对口升学高考）直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程． 【答案】 【分析】根据直线平移变换进行与的操作，求出平移变换后的直线的斜率和倾斜角以及与y轴的交点，再求旋转后的直线斜率，点斜式求直线方程即可. 【解析】平移之后直线为，即 与y轴相交于点，此时斜率，倾斜角， 则旋转后的直线的倾斜角为，斜率为，且经过点 所求直线方程为即. 【考试题型3】根据双曲线的标准方程求参数 【例3】（2023年·河南对口升学高考）若方程表示双曲线，求m的取值范围． 【答案】 【分析】由双曲线方程的结构特征列关于的一元二次不等式求解即可. 【解析】根据题意得 解得 所以m的取值范围是. 【考试题型4】双曲线的几何性质 【例4】（2023年·河南对口升学高考）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离． 【答案】6或14 【分析】根据双曲线的定义和两点距离公式求解即可. 【解析】根据题意在抛物线上可得 即, 所以或, 即点P的坐标为或, 又因为双曲线的右焦点为, 所以或. 【考试题型5】直线和圆的综合 【例5】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知圆． (1)写出圆C的圆心坐标和半径； (2)设直线为圆C的切线，求b的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】（1）根据圆的标准方程可得圆心坐标和半径. （2）由圆心到切线的距离等于半径，可求出b的值. 【详解】（1）根据圆的标准方程为， 可得圆心坐标为，圆C的半径为2. （2）将切线，化为， 则圆心到切线的距离为2． 由点到直线距离公式，得 ， 解得， 即. 【考试题型6】根据椭圆的标准方程求参数范围 【例6】（24-25高三上·河南·模拟预测）若方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由方程表示的曲线为椭圆列不等式求解实数即可. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 则解得且， ∴实数的取值范围是. 【考试题型7】结合椭圆求双曲线方程 【例7】（23-24高三下·河南·模拟预测）求以椭圆的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程. 【答案】 【分析】先由椭圆的标准方程求出顶点和焦点，再根据顶点和焦点求出双曲线方程. 【详解】由椭圆的标准方程，得， 所以，所以， 所以顶点坐标，焦点坐标为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线方程为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 2.当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． (1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l. (2)圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最 短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径． 3.在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算． 4．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 【专题内容总结2】 求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a，b的两个方程，求参数a，b的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值． 在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数． 涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 【专题内容总结3】 对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转换”等方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $