大题专项-专题4 立体几何（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题4立体几何 一、课标解读 1．直线与平面平行的判定定理与性质定理 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 3．平面与平面平行的判定定理与性质定理 4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 5．直线与平面所成的角 6．平面与平面所成的角 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 证明题 23 利用线面平行的判定证明线面平行 6 （1）题型：证明题。 （2）分值：分值稳定在6分。 （3）内容：线面平行、垂直的判定定理、面面垂直的判定定理。 2024 证明题 23 利用线面垂直的判定证明线线垂直 6 2023 证明题 23 线面平行的判定定理 6 2022 证明题 23 面面垂直的判定定理 6 2021 证明题 23 线面垂直的判定定理 6 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有1道题目对立体几何中的平行和垂直关系进行考查，题型为证明题，分值为6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 异面直线所成角 · 线面平行与垂直 · 面面平行与垂直 · 线面角 · 二面角 四、知识梳理 （一）线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b （二）面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b （三）直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b （四）平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α （五）空间角 (1)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围：. (2)二面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范围：[0，π]． 五、10分钟小测验 1．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，为棱的中点. 证明：平面.    2．如图所示，在正方体中，E，F分别是线段DB，BC的中点，求证：平面.    3．已知四棱锥，底面是正方形，平面．求证：平面平面． 【答案解析】 1．【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. 【详解】取线段的中点，连接， 则为的中位线，∴ 由题知， ∴， 所以四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面。    2．【答案】证明见解析 【分析】由正方形性质和线面垂直性质即可证明. 【详解】因为E，F分别是线段DB，BC的中点， 所以，在正方体中，， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面. 3．【答案】证明见解析 【分析】先证明，即证平面，进而证明平面平面即可. 【详解】因为是正方形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 六、经典例题解析 【考试题型1】证明线面平行 【例1】（2025年·河南对口升学高考）如图所示，长方体中，O为底面ABCD的中心，连接，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用长方体的结构特征与平行四边形的判定与性质证得，再利用线面平行的判定定理即可得解. 【详解】连接交于，连接，连接， 因为为长方体， 所以，，则四边形为平行四边形， 易知为中点，为中点， 所以，， 则四边形是平行四边形，则 又平面，平面， 所以平面. 【例2】（2023年·河南对口升学高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 【例3】（24-25高三上·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，平面，E为PD的中点，证明：平面. 【答案】证明见解析. 【分析】取CD的中点F，连接EF，AF，由面面平行的判定定理证明平面平面PBC，再由面面平行的性质即可得到证明. 证明：取CD的中点F，连接EF，AF. 因为E为PD的中点，所以， 又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC. 因为，所以. 且，所以四边形ABCF是平行四边形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC； 因为，且平面AEF，平面AEF， 所以平面平面PBC； 因为平面AEF，所以平面. 【考试题型2】证明线线垂直 【例4】（2024年·河南对口升学高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【考试题型3】证明线面垂直 【例5】（2022年·河南对口升学高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点， ∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面， 故平面平面. 【考试题型4】证明线面平行和求体积 【例6】（2018年·河南对口升学高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴， ∵，，所以∥平面. （2）∵是的中点， ∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍， ，， 所以. 【考试题型5】证明线面平行和垂直的综合 【例7】（24-25高三下·河南·模拟预测）如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. (1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是： (1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加； (2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断． 注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化： 应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”； 应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”． 【专题内容总结2】 证明直线和平面垂直的常用方法： (1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α；(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m，a⊂α，a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ. 证明面面垂直的主要方法： (1)利用判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β； (2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角； (3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ. 注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $