大题专项-专题4 立体几何（B卷·能力提升）--2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026版河南省（对口升学）三轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ 动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 {4个专题，内容为立体几何。 2026版河南省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题4立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、证明题 1.如图，己知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，点E是棱PA的中点，O是AC和 BD的交点，求证：OEI1平面PBC. D 2.如图，平面u∩B=CD,EA⊥a,EB⊥B,且A∈a,B∈B.求证： B (I)CD⊥平面EAB; (2)CD⊥直线AB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E,F分别为AD,PB的中点，求 证：EF‖平面PCD 4.在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB,AB⊥AD, AB⊥BC. D (1)求证：BC‖平面PAD; (2)平面PAD⊥平面ABCD. 5.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E、F、G、H分别是AB、AC、AB、AC的 中点，求证：平面EFA,/平面BCHG· H G B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，，AB⊥AD,BCI/AD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E 、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点， 证明：直线PF/1平面ACG, 《 7.如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB,PB⊥PA D (1)求证：PB⊥平面APD; (2)若AG⊥PD,G为垂足，求证：AG⊥BD. 二、解答题 8.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，求直线B,D与平面 ADD,A所成角的余弦值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 D A B D C B 9.如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1. D D B (I)求AC与AB,所成的角： (2)求三棱锥B-ACB,的体积. 10.如题图所示，在三棱锥S-ABC中，已知SA⊥平面ABC,∠CAB=60°，且 SA=AB=AC=3,D是BC的中点，求： A D (1)二面角C-SA-B的平面角的正弦值： (2)SD与平面ABC所成角的余弦值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·考纲专题练 醇A职教 》 11.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若PA=2,AB=4,求： (1)四棱锥P-ABCD的表面积； (2)AC与平面PAD所成角的大小. 12.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧 面PAD为正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD. B (1)求证：PB⊥AD (2)求三棱锥P-ABD的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版河南省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题4 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、证明题 1．如图，已知点P是平行四边形所在平面外一点，点E是棱的中点，O是和的交点，求证：平面． 【答案】证明见详解 【分析】根据三角形中位线的性质，结合线面平行的判定定理，即可证明结论成立. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以O为的中点， 因为E是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 2．如图，平面，且．求证： (1)平面EAB； (2)直线AB． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求解即可. （2）根据线面垂直的性质定理求解即可. 【详解】（1），平面平面， ．同理，得． 又EA，平面EAB，， 平面EAB． （2）平面EAB，平面EAB， 3．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，PB的中点，求证：EF∥平面PCD. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：如图，取中点，连接. ∵分别为和的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形，且为的中点， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴. 又平面，平面， ∴∥平面． 4．在四棱锥 中，锐角三角形 所在平面垂直于平面，，． (1) 求证：平面； (2) 平面 平面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】证明：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC， 所以，BC∥AD，BC在平面PAD外， 所以BC∥平面PAD （2）作DE⊥PA于E， 因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB＝PA， 所以DE⊥平面PAB， 所以DE⊥AB， 又AD⊥AB，DE∩AD＝D， 所以，AB⊥平面PAD，AB在平面ABCD内， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 5．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 6．如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点， 证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接、，与相交于点，连接，则由已知结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论 【详解】如图，连接、，与相交于点，连接， 因为，，为线段的中点，， 所以四边形为矩形，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为线段、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 7．如图，在四面体中，平面， （1）求证：平面； （2）若，为垂足，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】证明：(1)由AD⊥平面PAB，面， 则， 又PB⊥PA，， 则PB⊥平面APD； (2)由（1）及面， 则面面APD， 又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面， 而面， 所以AG⊥BD． 二、解答题 8．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】根据直线与平面所成角的定义确定所求角，进而求解即可. 【详解】 在正四棱柱中，平面，连接， 则为在平面的射影，则为与平面的所成角． 在中，， 直线与平面所成角的余弦值为． 9．如图，正方体的棱长为1. (1)求与所成的角； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到与平行的直线，将异面直线所成角转换成求，根据三角形是等边三角形即可得到角的度数. （2）利用等体积法将所求三棱锥体积转换成求三棱锥的体积，再套棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，则有， 则所成的角即与所成的角， 因为正方体棱长为1，所以， 即△为等边三角形，则， 所以所成的角为. （2）因为， 且正方体中，平面， 所以. 三棱锥的体积为. 10．如题图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，D是的中点，求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用垂面法找到二面角的平面角，再求正弦值即可解答； （2）利用线面角定义找到此角，再求余弦值. 【详解】（1）因为平面，且平面,平面, ， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以， 即二面角的平面角的正弦值为. （2）因为平面，平面，所以, 那么为与平面所成的线面角， 因为为中点，，所以, 所以, 所以, 即有, 故与平面所成角的余弦值为. 11．已知垂直于正方形所在平面，若，，求： (1)四棱锥的表面积； (2)与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直证得图中所有三角形为，从而求得表面积； （2）由面可知为所求，在中可求解. 【详解】（1）因为垂直于正方形所在平面， ，又，， 面， ， 同理 又， 故、、、都是直角三角形， 在中，求得， 同理可求 ，， 故表面积 （2） 如图所示，连接， 由（1）知，面 即为与平面所成角， ， ∴，即与平面所成角是. 12．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，且侧面底面. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）由题可判断线面垂直即可得结果； （2）由几何关系可知此棱锥的体积. 【详解】（1）解：∵侧面为正三角形，底面为菱形，过点作于点， 连接，另外，由已知条件可得，即面和面均 为等腰三角形，∴知，，∵，平面， 且与交于点，∴平面，∵平面，∴； （2）∵侧面为正三角形，取中点，连接，∴， ∵侧面底面，平面，∴平面， ，， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $