大题专项-专题3 数列（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题3数列 一、课标解读 1．等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质 2．等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质 3．由递推关系求数列的通项公式 4．数列求和的常见方法与技巧 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 21 一般数列、等差数列 8 （1）题型：解答题、证明题或综合题。 （2）分值：6分、8分或10分。 （3）内容：一般数列、等差数列，等比数列、数列求和 2024 证明题 22 证明数列是等差数列 6 2023 综合题 24 等比数列、分组求和法 10 2021 解答题 20 等比数列求公比 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有1道题目对数列进行考查，题型为解答题，分值为8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列的通项公式及前n项和 · 等比数列的通项公式及前n项和 · 求数列通项公式的其他常见方法 · 求数列前n项和的其他常见方法：如分组求和法、裂项相消法等 四、知识梳理 （一）数列前n项和Sn与an的关系： 已知Sn，则. （二）等差数列 (1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)． (2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有. (3)通项公式：. (4)前n项和公式：或. (5)常用性质： ①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若{an}为等差数列，且若,则 ③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． ④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （三）等比数列 (1)定义：(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． (3)通项公式：. (4)前n项和公式： (5)等比数列的性质 ①an＝am·qn－m(m，n∈N*)． ②若，且，则 ③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． ④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列． 五、10分钟小测验 1．已知数列为等差数列，且，公差. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前7项的和. 2．已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 3．已知在数列中，前n项和．求： (1)通项公式； (2)的值． 【答案解析】 1．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，所以， 所以， 当时，， 所以通项公式. （2）由等差数列的前项和公式得， ， 所以. 2．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 所以或（舍）， 所以，. （2）由（1）得， 所以． 3．【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据数列与之间的关系即可解得. 【详解】（1）已知，当时，； 当时，， 且当时，，得出． （2）． 六、经典例题解析 【考试题型1】通过一般数列化简，利用等差数列求通项公式 【例1】（2025年·河南对口升学高考）已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【小问1详解】 因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； 【小问2详解】 因为数列中，，所以， 又， 所以，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以数列的通项公式为. 【考试题型2】证明等差数列 【例2】（2024年·河南对口升学高考）已知数列的前项和为，且满足，求证：是等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】先根据递推关系得到，即可证明为等差数列. 【解析】∵， 且题目已知， ∴， 即，即. ∵，故，得到， 以此类推，. 故，可化为. 故，是以为首项，1为公差的等差数列. 【考试题型3】等差等比数列、分组求和的综合 【例3】（2023年·河南对口升学高考）设是公比为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解； （2）数列的前项和即为等比数列的前项和加上等差数列的前项和，故代入等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. 【解析】 【小问1详解】设等比数列的公比为 ∵，，∴，即 ∴（舍）或 ∴数列的通项公式为 【小问2详解】 ∵等差数列的首项为1，公差为2 ∴等差数列的前n项和为： 又∵等比数列的前n项和为： ∴数列的前n项和为： 【考试题型4】等差等比数列及求和 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知等差数列的公差为2，且， (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，求出的值，继而求得首项，即可求解. （2）根据题意，易得数列是一个等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列中，， 所以，即， 又等差数列的公差为2， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知， 所以， 所以，， 所以数列是一个等比数列，且首项，公比， 所以. 【考试题型5】通过数列之前的关系求数 【例5】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知三个数成等差数列，其和为18，其平方和为126，求此三个数. 【答案】 【分析】构造两个参数并根据等差数列特点设出三个数，再根据和与平方和列式求解两参数，即可求得这三个数. 【详解】因为三个数成等差数列，所以设三个数为：， 则由和为18可得：，即 由平方和为126可得：， 解得：， 则这三个数为：. 【考试题型6】求等差数列的通项，并求前n项和的最小值 【例6】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知等差数列中，前项和为，且. (1)求通项公式； (2)当为何值时，最小？并求这个最小值. 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为. 【分析】（1）根据计算出等差数列的首项和公差，进而求得数列的通项公式； （2）代入首项和公差求出，然后计算最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 又因为， 解得， 所以数列的通项公式为：. （2）因为 ， 所以当时，最小，最小值为. 【考试题型7】求等差数列的项及通项 【例7】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知数列的首项为2，且．求： (1)和的值； (2)数列的通项公式． 【答案】(1),． (2) 【分析】（1）根据已知的递推公式，将代入可求得，再将代入可求得。 （2）由可知该数列为等差数列，根据等差数列通项公式可求得最终答案。 【详解】（1）首项,且, ,, 故,. （2）由得, 数列是首项,公差的等差数列． 由得. 故数列的通项公式为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 等差数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列． 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．　　 【专题内容总结2】 等比数列的判定方法有以下几种： (1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．　　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $