大题专项-专题2 解三角形（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为解三角形。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题2解三角形 一、课标解读 1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 20 正余弦定理、面积公式 8 （1）题型：解答题或综合题。 （2）分值：8分或10分。 （3）内容：正余弦定理、面积公式、倍角公式 2023 解答题 20 正余弦定理求角度和边长 8 2021 综合题 24 正余弦定理、倍角公式、面积公式的综合 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有1道题目对解三角形进行考查，题型为解答题，分值为8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 利用正余弦定理求三角形的边、角、周长 · 利用正余弦定理证明三角形的形状 · 三角形面积公式的运用 四、知识梳理 1．正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 五、10分钟小测验 1．在中，已知，，．求： (1)的面积； (2)的值． 2．在中，内角的对边分别是且. (1)求的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 3．已知在中，角，，所对的边分别是，，，且 (1)求角的值； (2)设为等腰三角形，且，求的值． 【答案解析】 1．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以的面积为. （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以， 所以的值为. 2．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化角，即可求解. （2）由三角形公式和余弦定理即可求解周长. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 解得， 所以. （2）因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的周长为. 3．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，余弦定理即可求解. （2）根据三角形的面积公式，正弦定理即可求解. 【详解】（1）由题意得，，所以， 则，所以. 因为，所以. （2）由题意得，是等腰三角形，由（1）得，，所以. 所以，即. 又，解得. 所以. 六、经典例题解析 【考试题型1】正余弦定理和面积公式的结合 【例1】（2025年·河南对口升学高考）在中，三个内角的对边分别为，三条边满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件以及余弦定理求解. （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 已知，根据余弦定理， 将代入可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，已知，，， 则， 因为，所以，， 那么， 所以的面积. 【例2】（2023年·河南对口升学高考）锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，，求： （1）角B的大小； （2）边b的长度． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用正弦定理将中的边化为角，即可求解; （2）根据三角形面积公式，以及，再结合余弦定理即可求解. 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 又∵，∴，∴ 又∵是锐角三角形的内角，∴ 【小问2详解】 ∵，∴, 即，∴ 又∵，∴，∴ 由余弦定理， 得 即 ∴边b的长度为 【例3】（2021年·河南对口升学高考）已知的内角，所对的边分别是，角的对边是角的对边的两倍，而角比角大. （1）求证：为直角三角形； （2）若三角形的外接圆的半径为2，问的面积是多少？ 【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】（1）证明：由题知：，，由正弦定理可得，，，化简可得，，，所以为直角三角形. （2）解：直角三角形斜边的长即为外接圆的直径，所以，又因为，所以，，. 【例4】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知分别是内角的对边，. (1)求角B的大小； (2)若，且，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化，两角和的正弦公式，可化简得到，结合三角形内角的范围，即可求解； （2）根据题意，结合三角形面积公式，可求出边长c的值，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，即， 所以； （2）由（1）知，又，且， 所以， 所以， 所以， 所以. 【例5】（23-24高三下·河南·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. (1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合角的范围即可解得. （2）根据三角形面积公式和余弦定理即可解得. 【详解】（1）由题，， 则由正弦定理可得， 在锐角三角形中，其中， 则，即， 又知，则. （2）由题，三角形面积， 又知，则， 由余弦定理可知， 将代入得， 解得，故周长为. 【考试题型2】余弦定理和向量的结合 【例6】（2020年·河南对口升学高考）已知的内角所对的边分别是，且，的面积为4. （1）计算； （2）当时，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1）在中，因为，则，又因为，所以，. （2）由（1）知，当时，， 由余弦定理可得， . 【考试题型3】正余弦定理与数列的结合 【例7】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求A； (2)若b，，c成等差数列，的面积为，求a． 【答案】 1．(1) (2) 【分析】（）根据题意结合正弦定理与诱导公式将已知等式进行化简即可得解. （）根据等差中项的性质得出，结合三角形面积公式与余弦定理即可得解. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理可得：， ∵，∴， 即，∵，则， ∴． （2）∵b，，c成等差数列， ∴， ∵的面积为，则， ∴，解得， ∴由余弦定理可得：， 化简得， ∴解得：或（舍）， 故. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 【专题内容总结2】 要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等． 【专题内容总结3】 正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $