专题07 期中复习易错题汇编（易错28个考点54题）（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题07 期中复习易错题汇编 考点一．一元二次方程的定义（共2小题） 考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 考点三．一元二次方程的解（共2小题） 考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 考点五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 考点六．换元法解一元二次方程（共2小题） 考点七．根的判别式（共2小题） 考点八．根与系数的关系（共4小题） 考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 考点十．一元二次方程的应用（共9小题） 考点十一．配方法的应用（共3小题） 考点十二．垂径定理（共1小题） 考点十三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 考点十四．圆周角定理（共2小题） 考点十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 考点十六．点与圆的位置关系（共3小题） 考点十七．切线的性质（共2小题） 考点十八．切线的判定与性质（共2小题） 考点十九．切线长定理（共1小题） 考点二十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 考点二十一．正多边形和圆（共1小题） 考点二十二．弧长的计算（共1小题） 考点二十三．扇形面积的计算（共1小题） 考点二十四．算术平均数（共1小题） 考点二十五．中位数（共1小题） 考点二十七．方差（共3小题） 考点二十八．概率公式（共1小题） 考点一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．如果方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 2．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 3．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 考点三．一元二次方程的解（共2小题） 4．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 5．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 6．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 考点五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 考点六．换元法解一元二次方程（共2小题） 9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 10．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为　 　 ． 考点七．根的判别式（共2小题） 11．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 考点八．根与系数的关系（共4小题） 13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 14．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0 15．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则（　　） A． B．1 C． D． 16．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则2x1x2　 　 ． 考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 17．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 18．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．10 C．x（x+1）＝10 D．10 考点十．一元二次方程的应用（共9小题） 19．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度向点B移动，当其中一点运动到另一端点时同时停止运动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是（　　） A．10s或15s B．10s C．15s D．20s 20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　 　 ； （2）分式不等式的解集为 　 　 ； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 21．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 22．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　 　 cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 24．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　 　 千克、销售利润为 　 　 元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　 　 千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 25． 甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 26．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 27．某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出： A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13． B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格． 注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价． （1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量． ①B类果酱有 　 　 吨； ②A类水果所获得总利润为 　 　 万元； ③B类果酱所获得总利润为 　 　 万元． （2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？ （3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围． 十一．配方法的应用（共3小题） 28．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 29．阅读材料； ①用配方法分解因式：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②已知M＝a2﹣2a﹣1，利用配方法求M的最小值． 解：M＝a2﹣2a﹣1＝a2﹣2a+1﹣2＝（a﹣1）2﹣2， ∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2﹣2≥﹣2， ∴当a＝1时，M有最小值﹣2． 解决问题： （1）用配方法因式分解：x2﹣6x﹣7； （2）已知，求M的最大值； （3）证明：x4﹣4x+5＞0． 30．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 考点十二．垂径定理（共1小题） 31．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 考点十三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 32．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 考点十四．圆周角定理（共2小题） 33．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 34．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　 　 °． 考点十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 考点十六．点与圆的位置关系（共3小题） 36．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 37．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（　　） A．2＜BE B．2≤BE＜3 C．BE＜3 D．BE＜3 38．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　 　 ． 考点十七．切线的性质（共2小题） 39．如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　） A．cm B．8cm C．6cm D．10cm 40．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　 　 ． 考点十八．切线的判定与性质（共2小题） 41．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D． （1）求证：BD与⊙O相切； （2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长． 42．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 考点十九．切线长定理（共1小题） 43．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　 　 ． 考点二十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 44．问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　 ； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 考点二十一．正多边形和圆（共1小题） 45．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而45°是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是 　 　 ； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 　 　 ． 考点二十二．弧长的计算（共1小题） 46．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 考点二十三．扇形面积的计算（共1小题） 47．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π 考点二十四．算术平均数（共1小题） 48．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 考点二十五．中位数（共1小题） 49．某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 考点二十六．众数（共1小题） 50．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图： 根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整 （2）写出如表中a，b，c，d的值 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 9 二班 8.76 c d （3）请从以下给出的两个方面对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩 ②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩； 考点二十七．方差（共3小题） 51．若一组数据x1+1，x2+1，x3+1…xn+1的平均数为18，方差为2，则数据x1+2，x2+2，x3+2……，xn+2的平均数和方差分别是（　　） A．18，2 B．19，3 C．19，2 D．20，4 52．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 53．一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，方差是3，则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是 　 　 ，方差是 　 　 ． 考点二十八．概率公式（共1小题） 54．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中复习易错题汇编 考点一．一元二次方程的定义（共2小题） 考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 考点三．一元二次方程的解（共2小题） 考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 考点五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 考点六．换元法解一元二次方程（共2小题） 考点七．根的判别式（共2小题） 考点八．根与系数的关系（共4小题） 考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 考点十．一元二次方程的应用（共9小题） 考点十一．配方法的应用（共3小题） 考点十二．垂径定理（共1小题） 考点十三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 考点十四．圆周角定理（共2小题） 考点十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 考点十六．点与圆的位置关系（共3小题） 考点十七．切线的性质（共2小题） 考点十八．切线的判定与性质（共2小题） 考点十九．切线长定理（共1小题） 考点二十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 考点二十一．正多边形和圆（共1小题） 考点二十二．弧长的计算（共1小题） 考点二十三．扇形面积的计算（共1小题） 考点二十四．算术平均数（共1小题） 考点二十五．中位数（共1小题） 考点二十七．方差（共3小题） 考点二十八．概率公式（共1小题） 一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．如果方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对 【答案】C 【解答】解：由一元二次方程的定义可知， 解得m＝﹣3． 故选：C． 2．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 3．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 【答案】C 【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4， 去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4， 移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0， 其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x． 故选：C． 三．一元二次方程的解（共2小题） 4．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 5．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：由题意得： 把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中， 22+2b﹣c＝0， ∴2b﹣c＝﹣4， ∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c） ＝﹣2×（﹣4） ＝8， 故选：A． 四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 6．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x， 则x2+2x+1，即（x+1）2， ∴a＝1，b， ∴a+b． 故选：B． 7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2， 所以BC的值是． 六．换元法解一元二次方程（共2小题） 9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 10．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为　7　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设x2﹣x＝m，则原方程可化为： m2﹣4m﹣12＝0，解得m＝﹣2，m＝6； 当m＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故m＝﹣2不合题意，舍去； 当m＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故m的值为6； ∴x2﹣x+1＝m+1＝7． 故答案为：7． 七．根的判别式（共2小题） 11．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k且k≠0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝1﹣4k＞0，且k≠0， 解得，k且k≠0； 故答案为：k且k≠0． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）±1． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 八．根与系数的关系（共4小题） 13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3． 方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根． ∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故选：D． 14．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0 【答案】A 【解答】解：当a＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1＝0，解得x，是正根； 当a≠0时，方程是一元二次方程． ∵a＝a，b＝4，c＝﹣1， ∴Δ＝16+4a≥0， x1+x20， x1•x20 解得：﹣4≤a＜0． 总之：﹣4≤a≤0． 故选：A． 15．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1， 所以1． 故选：B． 16．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则2x1x2　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8， ∴2x1x2 ＝2x1x2 ＝2×（﹣8） ＝﹣16 ， 故答案为：． 九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 17．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 18．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．10 C．x（x+1）＝10 D．10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：10； 故选：B． 十．一元二次方程的应用（共9小题） 19．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度向点B移动，当其中一点运动到另一端点时同时停止运动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是（　　） A．10s或15s B．10s C．15s D．20s 【答案】B 【解答】解：由题意，50÷2＝25（s），40÷313（秒）， 设运动时间为xs． ∵25＞13， ∴x≤13． ∴PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm， ∴（50﹣2x）•3x＝450， ∴x2﹣25x+150＝0， ∴x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）． 故选：B． 20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 x＞4或x＜﹣4　 ； （2）分式不等式的解集为 x＞3或x＜1　 ； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） ∴x2﹣16＞0可化为 （x+4）（x﹣4）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得x＞4， 解不等式组②，得x＜﹣4， ∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4， 即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4． （2）∵ ∴或 解得：x＞3或x＜1 （3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3） ∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组①，得0＜x， 解不等式组②，无解， ∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x． 21．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 22．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x2+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b， 又结合表格数据图象过（45，55），（55，45）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x2+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动． （1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 　（6﹣2t）　 cm．（用含t的代数式表示） （2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴Rt△ABC中，AC＝6cm， 又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动， ∴AP＝2t， ∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm； 故答案为：（6﹣2t）； （2）△ABC的面积为S△ABC6×8＝24， ①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t， ∴S△PCQPC×QCt（6﹣2t）， ∴t（6﹣2t）＝4， 即t2﹣3t+4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴该范围下不存在； ②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t， ∴S△PCQPC×QCt（2t﹣6）， ∴t（2t﹣6）＝4， 即t2﹣3t﹣4＝0， 解得t＝4或﹣1（舍去）， 综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的． 24．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　260　 千克、销售利润为 　312　 元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　（100+200x）　 千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）销售量：100+20100+160＝260， 利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312， 则每天的销售量为260千克、销售利润为312元； 故答案为：260，312； （2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是10020＝100+200x（千克）； 故答案为：（100+200x）； （3）设这种水果每千克降价x元， 根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300， 2x2﹣3x+1＝0， 解得：x＝0.5或x＝1， 当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240； 当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240． ∵每天至少售出240千克， ∴x＝1． 6﹣1＝5， 答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元． 25．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 x（x+1）+x+1＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， 81+81×8 ＝81+648 ＝729（人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 26．某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利4500元，且要减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为12.5%； （2）该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 64（1﹣a）2＝49， 解得：a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝12.5%， 答：每次下降的百分率为12.5%； （2）设每千克应涨价x元，由题意，得： （10+x）（500﹣40x）＝4500， 整理，得 2x2﹣5x﹣25＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去）， 答：该商场要保证每天盈利4500元，那么每千克应涨价5元． 27．某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出： A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13． B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格． 注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价． （1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量． ①B类果酱有 　（20﹣x）　 吨； ②A类水果所获得总利润为 　（﹣x2+10x）　 万元； ③B类果酱所获得总利润为 　（2x2﹣57x+328）　 万元． （2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？ （3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）①（20﹣x）； ②（﹣x2+10x）； ③（2x2﹣54x+268）； （2）A类水果有吨，B类水果有吨； （3）0＜x≤7． 【解答】解：（1）①B类果酱有（20﹣x）吨； 故答案为：（20﹣x）； ②A类水果所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x， 故答案为：（﹣x2+10x）； ③设B类水果每吨销售价格为z元， ∵A类水果每吨所获利润为（﹣x+10）元， 根据题意可知，2，解得z＝﹣2x+23， ∴B类水果所获总利润为：（﹣2x+23﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328； 故答案为：（2x2﹣57x+328）； （2）由题意得，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24， 解得x1＝16（舍），x2， ∴20（吨）， 答：A类水果有吨，B类水果有吨； （3）设两类水果总利润的和为w万元， 则w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328， ∵w≥48， ∴x2﹣47x+328≥48， ∴0＜x≤7或x≥40（舍）， ∴x的取值范围为0＜x≤7． 十一．配方法的应用（共3小题） 28．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0． ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1． ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 29．阅读材料； ①用配方法分解因式：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②已知M＝a2﹣2a﹣1，利用配方法求M的最小值． 解：M＝a2﹣2a﹣1＝a2﹣2a+1﹣2＝（a﹣1）2﹣2， ∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2﹣2≥﹣2， ∴当a＝1时，M有最小值﹣2． 解决问题： （1）用配方法因式分解：x2﹣6x﹣7； （2）已知，求M的最大值； （3）证明：x4﹣4x+5＞0． 【答案】（1）（x+1）（x﹣7）； （2）M的最大值6； （3）证明：由题意得，x4﹣4x+5 ＝（x4+4x2+4）﹣4x2﹣4x+1 ＝（x2+2）2﹣（4x2+4x）+1 ＝（x2+2）2﹣[（2x+1）2﹣1]+1 ＝（x2+2）2﹣（2x+1）2+2 ＝（x2﹣2x+1）（x2+2x+3）+2 ＝（x﹣1）2•[（x+1）2+2]+2． ∵对任意实数x，均有（x﹣1）2≥0，（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥0+2＝2． ∴（x﹣1）2•[（x+1）2+2]≥0． ∴（x﹣1）2•[（x+1）2+2]+2≥0+2＝2＞0． ∴x4﹣4x+5≥2＞0，即x4﹣4x+5＞0恒成立． 【解答】（1）解：由题意得，x2﹣6x﹣7 ＝x2﹣6x+9﹣16 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7）． （2）解：由题意得，（x2+6x+9）+6（x+3）2+6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2≤0． ∴（x2+6x+9）+6（x+3）2+6≤6． ∴M的最大值为6． （3）证明：由题意得，x4﹣4x+5 ＝（x4+4x2+4）﹣4x2﹣4x+1 ＝（x2+2）2﹣（4x2+4x）+1 ＝（x2+2）2﹣[（2x+1）2﹣1]+1 ＝（x2+2）2﹣（2x+1）2+2 ＝（x2﹣2x+1）（x2+2x+3）+2 ＝（x﹣1）2•[（x+1）2+2]+2． ∵对任意实数x，均有（x﹣1）2≥0，（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥0+2＝2． ∴（x﹣1）2•[（x+1）2+2]≥0． ∴（x﹣1）2•[（x+1）2+2]+2≥0+2＝2＞0． ∴x4﹣4x+5≥2＞0，即x4﹣4x+5＞0恒成立． 30．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 【答案】（1）见（1）的证明过程． （2）． 【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3 ＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣2）2≥0． ∴y≥0+3＝3． ∴y＞0． ∴y是正数． （2）由题意：AP＝2t，CQt，PC＝6﹣2t．（0≤t） ∴SPC•CQ． （6﹣2t）•t t2+3t （t2﹣3t） （t）2． ∵（t）2≥0． ∴当t时，S有最大值． 十二．垂径定理（共1小题） 31．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3 故选：C． 十三．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 32．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接OD、BC． 设∠AOD＝x°，∠BOC＝y°，∠COD＝z°， 则x+y+z＝180， ∵， ∴x+y＝z， ∴z＝90， ∴∠COD＝90°， ∴∠DBC∠COD＝45°， ∵∠ACB＝90°，CEAB， ∴BC＝CEAB， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得ACAB， ∴CE：CAAB：AB． 故选：D． 十四．圆周角定理（共2小题） 33．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　） A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120° 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠AOB＝90°， 若点P在优弧ADB上，则∠APB∠AOB＝45°； 若点P在劣弧AB上， 则∠APB＝180°﹣45°＝135°． ∴∠APB＝45°或135°． 故选：C． 34．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　55　 °． 【答案】55． 【解答】解：设AB与CD相交于点E， ∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）， ∴AB⊥CD， ∴∠DEB＝90°， ∵∠D＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠D＝55°， ∴∠C＝∠B＝55°， 故选：55． 十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠DCE＝64°， ∴∠BOD＝2∠A＝128°． 故选：A． 十六．点与圆的位置关系（共3小题） 36．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 故选：B． 37．如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（　　） A．2＜BE B．2≤BE＜3 C．BE＜3 D．BE＜3 【答案】B 【解答】解：如图， 由题意知，∠AEC＝90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N）， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中E′点）， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝5，AC＝4， ∴BC＝3，CM＝2， 则BM， ∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′2， 当BE最长时，即E与C重合， ∵BC＝3，且点E与点C不重合， ∴BE＜3， 综上，2≤BE＜3， 故选：B． 38．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图： 连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度． 设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC﹣AB＝4﹣2＝2， ∴r＝1． 故答案为：1． 十七．切线的性质（共2小题） 39．如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　） A．cm B．8cm C．6cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H． ∵AD∥CB，∠BAD＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵∠DHB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm， ∵BC＝24cm， ∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm）， ∴CD25（cm）， 设OE＝OF＝OG＝rcm， 则有（9+24）×2020×r24×r25×r9×（20﹣r）， ∴r＝8， 故选：B． 40．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　4﹣2　 ． 【答案】4﹣2． 【解答】解：过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，记PM 与⊙O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，OP′，AQ， 则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°， ∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大， 作ON⊥AD于点N， 则MN＝AN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， ∴四边形OP'DN是矩形， ∵AB＝4，M是AD的中点， ∴AM＝DM＝2，MN＝1， ∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3， 在Rt△MON中， ON2， ∴DP'＝ON＝2， ∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2， ∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2． 故答案为：4﹣2． 十八．切线的判定与性质（共2小题） 41．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D． （1）求证：BD与⊙O相切； （2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）DE＝6． 【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H， ∵DG∥BC， ∴∠CBH＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠CBH， ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBH+∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝90°， ∴BD与⊙O相切； （2）解：解法一：如图2，连接OF， ∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF， ∴， ∴OF⊥AB， ∵BD⊥AB， ∴OF∥BD， ∴△EFO∽△EDB， ∴， ∵AE＝OE， ∴， ∴， ∴OF＝4， ∴BE＝OE+OB＝2+4＝6， ∴DE6． 解法二：如图2，连接OF， ∵AE＝OE， ∴OA＝OF＝2OE， Rt△OEF中，tan∠OEF2， Rt△BED中，tan∠OEF2， ∴BE＝6， 由勾股定理得：DE6． 42．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°， ∵OA＝OC，∠BCD＝∠A， ∴∠OCA＝∠A＝∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线． （2）2． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°， ∵OA＝OC，∠BCD＝∠A， ∴∠OCA＝∠A＝∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线． （2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， 在Rt△OCD中，tan∠BOCtan60°，CD＝2， ∴，解得OC＝2， ∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC2． 十九．切线长定理（共1小题） 43．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　44　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， 故答案为：44． 二十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 44．问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　　 ； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点O的位置见解答过程，． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8， 由勾股定理得：BC17． 由三角形的面积得：S△ABCAB•ACBC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD． 故答案为：． （2）可以． ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是△ABC的内心， 作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O， 则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置， 过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示： 设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm， ∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm， ∴CM＝（160﹣x）cm， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2， 在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2， ∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2， 解得：x＝50， ∴AM（cm）， ∴S△ABCBC•AM（cm2） ∵点O为△ABC的内心， ∴OH＝OP＝OQ＝Rcm， ∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC， ∴BC•OHAC•OPAB•OQ， 即（100+160+140）R， ∴R． 二十一．正多边形和圆（共1小题） 45．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而45°是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是 　14　 ； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 　21　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：8+8﹣2＝14； 设∠BPC＝2x， ∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：， 以∠APB为内角的正多边形的边数为：， ∴图案外轮廓周长是：2226， 根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°， ∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标， 则会标的外轮廓周长是：6＝21， 故答案为：14，21． 二十二．弧长的计算（共1小题） 46．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】D 【解答】解：由题意，∵弧长，且r＝2， ∴n＝120°． 故选：D． 二十三．扇形面积的计算（共1小题） 47．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π 【答案】D 【解答】解：连接AC． ∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4， ∴AC＝2AD＝8， ∴在Rt△ADC 中，CD4， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝16， ∵两个扇形均为圆，而且它们的半径相等， ∴两个扇形为圆，面积之和为S两个扇形πAD2＝8π， ∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形＝168π． 故选：D． 二十四．算术平均数（共1小题） 48．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 【答案】D 【解答】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为． 故选：D． 二十五．中位数（共1小题） 49．某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）该部门不需要整改． （2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分． 【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分， ∴中位数为3.5分， 由统计图可得平均数为3.5分， ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． （2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有 ， 解得x＞4.55， ∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档． ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵4＜5， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分， ∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分． 二十六．众数（共1小题） 50．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图： 根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整 （2）写出如表中a，b，c，d的值 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 9 二班 8.76 c d （3）请从以下给出的两个方面对这次竞赛成绩的结果进行分析： ①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩 ②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一班C等级的人数为25﹣6﹣12﹣5＝2（人）， 统计图为： （2）一班的平均数a（6×10+12×9+2×8+5×7）＝8.76（分）， 一班的中位数落在B等级，故b＝9（分）； 二班的中位数落在C等级，故c＝8（分）； 二班的A等级所占百分比最大，故众数d＝10（分）； （3）①从平均数的角度看两班成绩一样，从中数的角度看一班比班班的成绩好，所以一班成绩好． ②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好． 二十七．方差（共3小题） 51．若一组数据x1+1，x2+1，x3+1…xn+1的平均数为18，方差为2，则数据x1+2，x2+2，x3+2……，xn+2的平均数和方差分别是（　　） A．18，2 B．19，3 C．19，2 D．20，4 【答案】C 【解答】解：∵数据x1+1，x2+1，x3+1…xn+1的平均数为18， ∴数据x1+2，x2+2，x3+2……，xn+2的平均数为18+1＝19； ∵数据x1+1，x2+1，x3+1…xn+1的方差是2， ∴数据x1+2，x2+2，x3+2……，xn+2的方差是2； 故选：C． 52．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 【答案】D 【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10． ∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是： ′[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）][3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4， S′2[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]， [（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3． 故选：D． 53．一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，方差是3，则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是 　17　 ，方差是 　48　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5， 则4x1﹣3，4x2﹣3，4x3﹣3，4x4﹣3，4x5﹣3的平均数是[4（x1+x2+x3+x4+x5）﹣15]＝17， ∵新数据是原数据的4倍减3； ∴方差变为原来数据的16倍，即48． 故填17；48． 二十八．概率公式（共1小题） 54．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $