第21章 第7课时一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

第二十一章一元二次方程 第7课时 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理) 课标预句 预习教材第15页至16页.思考并完成以下问问题3：探究一般的一元二次方程ax2+bx十c= 题 0(a≠0)中两个根的和、积与a,b,c的关系： 问题1：一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的 (1)x1十x2= 求根公式为x= (△=b2-4ac≥ 0). (2)x1x2= 问题2：从因式分解法可知，方程(x一x1)(x一 x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1,x2,将方程 化为x2十px十q=0的形式，你能看出x1,x2与小结：一元二次方程的根与系数的关系：若关于 p,q之间的关系吗？ x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 x1十x2= ,C1x2= 根分别为x,x2,则两根之和x1十x2= ,两 根之积c1x2= (用a,b,c表示)，该关系使 用的前提条件是 典型问题 知识点①用韦达定理求与“方程两个根的和与 积”相关的代数式的值 例1 变1 x1十x2= x1x2= x1十x2= x1x2= x2-3x-1=0 x2-6x-15=0 x2+3x-5=0 2x2-5x=3 -2x2+5x=3 x2-x=0 例2(2024秋·扬州期末)如果关于x的一元二 变2(2024秋·天府新区期末)已知关于x的方 次方程x2一x十m=0的一个根为一2，则另一个 程3x2十kx一18=0的一个根是2，则另一个根为 根为 例3已知关于x的方程x2一x一1=0的两个实 变3已知关于x的一元二次方程2x2-4x-3=0 数根分别为x1,x2,则： 有两个实数根x1,x2.试求下列代数式的值： (1)1+1= (1)2+4= (2)x21十x22= (2)(x1-1)(x2-1)= ●>15● 数学·九年级·全册(R) 知识点2用韦达定理研究方程的系数 例4已知α，B是关于x的一元二次方程x2+(2m十3)x十m2=0的两个不相等的实数根 (1)试确定m的取值范围； (2)当1+=-1时，求m的值. a 3 课堂过送 基础关 1若x1,x2是方程3x2十5x=0的两根，则2.已知x1,x2是方程x2-3x=15的两个根，则 C1x2= 代数式x十x的值是 3.(2024秋·泰兴市期末)已知x1,x2是方程 4.(2024秋·紫金县期末)若x1,x2是方程x2 x2一2x一a2=0的两个实数根，则x1十x2= 5x十4=0的两个根，则代数式x12一4x1十x2= 5.若一元二次方程x2-(2m+6)x十m2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1十2=x1x2,则m的 值是 素养关 6.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x十m+1=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根的差为2，求m的值. ●>16《●高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 解得y=6或y=一2. 第7课时一元二次方程的根与系 当y=6时，x2+x=6,(x十3)(x一2)=0， 解得x1=一3，x2=2. 数的关系（韦达定理） 当y=-2时，x2十x=-2,即x2十x十2=0. 【课标预习】 △=12-4×1×2=-7<0， .该方程无解 问题1：-b土√-4ac 2a 综上所述，该方程的解为x1=一3，x2=2. 问题2：一饣q 10.解：设x十2y=t,则原方程可化为十4t-5=0, (t-1)(t+5)=0,即t-1=0或t+5=0. 问题3：(1)-6+VB-4ac -b-√B=4ac-b 2a 2a 解得t1=1,t2=-5. (2)-b十VB-4ac -b-√6-4acc .x+2y的值为1或-5. 2a 2a 11.解：设x=y,则原方程可化为y2一3y+2=0, 解得y=1,y2=2. 小结：-吾台4=分-iac≥0 当y=1时，|x|=1,∴.x=士1； 【典型问题】 当y=2时，|x=2,.x=士2. 【例1】3-1-3-52.51.5 .原方程的解是x1=1,x2=一1，x3=2,x4=一2. 【变1】6-152.5-1.510 12.解：设t=x2,则t≥0， 【例23【变2】-3 原方程可化为t2一2t一8=0. 解得t1=4,t2=-2. 【倒31)-1(2)8【变31-考(2②)-号 ,t2=一2<0和t≥0不相符， 【例4】解：(1)：关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x十 t=4,即x2=4.x=2,x2=-2 m2=0有两个不相等的实数根， 第6课时一元二次方程的根的判别式 △>0，即4=(2m十3)2-4m2>0,m>-3 4 (2)a+B=-(2m十3)，8=m2, 【课标预习】 问题1：二6土VB4a 六日+日=-1-9-2+》 a3 m2 2a 问题2：不一定 .-(2m十3)=-m2,解得m=3,m2=-1. 问题3：(1)两不相等(2)两相等(3)无 m>-m=3. 【典型问题】 【课堂过关】 【例1】C【变1】A 1.02.393.24.15.3 【例2】解：(1)△=b2-4ac=9-4(2-m2)=4m2+1; 6.(1)证明：.△=[-(m+2)]-4X1×(m+1)=m2+4m (2).△=b-4ac=4m2+1≥1>0， +4-4m-4=m2≥0 ∴.不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 该方程总有两个实数根； 【变2】证明：.△=m2-4(m-1)=m2一4m十4 (2)解：设方程的两实数根为x1,x且x1>x2, =(m-2)2≥0， 则1一x2=2,.(x1-x)2=(十x2)2-4x1x2=4. .方程总有两个实数根 又：x+x2=m+2,2=m+1, 【例3】m≥-1【变3】a<-9 ∴.(m十2)2-4(m+1)=4.解得m=2或m=-2. 【课堂过关】 故m的值为2或-2. 1.≥2.有两个不相等的实数根3.≤1 微专题2一元二次方程与动点问题 4.m>25.06.m≥-1且m≠0 7.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m十1)x十m2+5 1.解：(1)设t秒后，△PBQ为等腰直角三角形. =0有实数根，.△=[-2(m十1)]2-4(m2+5)=8m- 由题意，得AP=tcm,BQ=2tcm 16≥0，解得m≥2， .BP=(6-t)cm..6-t=2t,解得t=2. .如果方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2. 答：2秒后，△PBQ为等腰直角三角形. (2)当底边长为7时，由题意，得△=0，则8m一16=0， (2)设x秒后.四边形APQC的面积为16cm 解得m=2. :四边形APQC的面积=△ABC的面积一△PBQ的面 此时一元二次方程为x2一6x十9=0，解得x1=x2=3, 积，合×6×8-合×(6-)×2x=16, 因为3+3<7，舍去 整理，得x一6x十8=0， 当腰长为7时，将x=7代入，得 解得=2，x2=4,,BC=8cm,∴.2t<8, 49-14(m+1)+m2+5=0, .t<4,不合题意，舍去，.x的值为2. 解得m1=4,m2=10. 答：2秒后，四边形APQC的面积为16cm°： 当m=4时，x2一10x十21=0，解得x1=3,x2=7,可以构 (3)△PBQ的面积不能为12cm,理由如下： 成三角形， 设y秒后，△PBQ的面积等于12cm2, 当m=10时，x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15. 由题意，得AP=ycm,BQ=2ycm, 7+7=14<15,∴.不能构成三角形. 综上，m的值为4. 则BP=(6-》em,令2(6-》×2y=12,