第21章 第4课时用公式法解一元二次方程-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 参考答案 第二十一章一元二次方程 即x1=√2-1，x2=-√2-1. 第1课时 一元二次方程 【课堂过关】 1.B2.3或-13.x1=2,x2=-2 〔课标预习】 4.x1=-1,2=-9 问题1：一一 二 问题2：(1)一(2)1 5.解：整理，得(x十1)2=9，开平方，得x十1=±3， 问题3：整式一2 移项，得x=一1士3，即℃1=2，x2=一4， 1.一2(1)一(2)2 6.解：整理，得(2x一2)2=48，开平方，得2x-2=士4√3， 2.ax2+bx+c=0(a≠0) ax'a ba b c 移项，得2x=2士4√3，.x=1士23， 3.相等 即x1=1+2√3，x2=1一23. 典型问题】 7.m≥08.8 【例1】①④ 【变1】④ 第3课时用配方法解一元二次方程 【例2】3x2+x-5=031-5x2-2x-4=01-2 -4x2-9=010-9 【课标预习】 【变2】2x2+4x-1=02x24.xx2-2x-2=0x 问题1：解：两边开平方，得x一3=士2， -2xx2+2x-1=0x22x ∴.x一3=2或x一3=一2，解得x1=5,x2=1 【例3】1，-2【变3】D【例4】11【变4】2025 课堂过关了 问题2：111(2)93(3)(x-之产 1.B2.m≠-23.3-5-74.45.-26.2023 问题3：移项9（号）2+35完全平方降次 7.解：，a(a-1)+a2+5a=a2-a+a2+5a=2a2+4a, x=1是关于x的方程x2+2ax十a=3的一个根， 典型问题 .1+2a十a2=3.a2+2a=2..原式=2(a2+2a)=4. 【例1】解：配方，得x2-6x十9=11十9，(x-3)2=20. 由此可得x-3=士25，x1=-2√5+3，x2=2√5+3. 第2课时用直接开平方法解一元二次方程 【变1】解：移项，得x2-5x=一4. 【课标预习】 配方，得之-5x十（受）P=-4什（受， 问题1：士11士√/12士√ 问题2：解：设盒子的棱长是xdm. 4 根据题意，得10×6×x2=1500, 解得x=5或x=一5（舍去）. 由此可得x一号-士号-4场-1。 答：盒子的棱长是5dm. 【倒2隔：原方程可化为父-名=合 (1)-√p√p(2)0(3)无实数根 1,x=√ax2=-√a2.x+h=±a 配方，得r-合+(=品红=是 〔典型问题了 1 【例1】解：(1)开平方，得x=±√5，即x1=√5，x2=-√5； =1,x4=-2 1 (2)整理，得x2=18,开平方，得x=士32， 【变2】解：原方程变形为x2+4x=5. 即x1=3√2，x2=-3√2 配方，得x2+4x十4=5十4，(x+2)2=9. 【变1】解：(1)开平方，得x=士12，即x1=12,x2=-12; 由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5. (2)整理，得=开平方，得2=土子， 〔课堂过关】 即4=名= 1.D2.13 3.解：方程变形，得(x-2)2=5. 【例2】解：(1)开平方，得x+1=士4，移项，得x=士4一1， 开平方，得x-2=士√5.解得=2+√5,2=2-√5. 即x1=3,x2=-5; 4.证明：x2+8x+18=(x2+8x+16-16)+18=(x+4)2+2, (2)二次项系数化为1，开平方，得x-1=士√6， (x+4)2≥0，(x十4)2+2>0， 移项，得x=士√6+1，即=√6+1，x2=一√6+1. 即无论x取任何实数，代数式x2+8x十18的值总大于0. 【变2】解：(1)开平方，得x一3=士3，移项，得x=3士3， 第4课时用公式法解一元二次方程 即x1=6,x2=0； (2)整理，开平方，得x+1=土√2， 【课标预习】 移项，得x=士√2-1 问题1：x2-5x十4=01-54 参考答案 问题2：ax2+bx=-cx+bx 【变1】解：移项，得4x2-x=0,因式分解，得x(4x-1)=0. 1 x+x+()=-+(%) 于是得1=0，x=4· 【例2】解：因式分解，得(x一1)(3x+2)=0. u+0r-"2s>a)b生&=4 (2)- b 4a2 2a 2a 于是得x一1=0或3x十2=0，西=1=一号 (3)方程无实数根 【变2】解：移项，得2x(x一1)-(1一x)=0. -b士√/6-4ac 因式分解，得(x一1)(2x+1)=0. 归纳：(1)两个不相等 2a 公式法 (2)两个相等(3)无 于是得x-1=0或2x+1=0.=1,x=-2 【典型问题】 【例3】解：(1)因式分解，得(x十2)(x十4)=0. 于是得x十2=0或x+4=0.x1=-2,x2=一4： 【例1】解：a=3,b=5,c=1.△=-4ac=13>0. (2)因式分解，得(x-1)(x-8)=0, 方程有两个不相等的实数根x=二5士飞】 于是得x-1=0或x-8=0.=1,x2=8. 6 【变3】解：(1)因式分解，得(x一5)(x十3)=0： 即x=-5+13 6 ,m=-5-13 6 于是得x-5=0或x十3=0.x1=5,x2=-3. (2)因式分解，得(x十5)(x-3)=0. 【例2】解：方程化为x2一4x十4=0. a=1,b=一4，c=4, 于是得x+5=0或x-3=0.x1=-5,x2=3. △=b2-4ac=16-4×1×4=0. 课堂过关] 方程有两个相等的实数根x=4生0=2，即石==2。 2 1.6=14=-32.5=2a=-日 【例3】解：a=1,b=-12,c=12. 3.解：因式分解，得(x一1)(x十3)=0， △=(-12)2-4×1×12=96>0. 于是，得x一1=0或x十3=0，x1=1,x2=一3 方程有两个不相等的实数根，x=12±45=6士26， 4.解：因式分解，得(x一9)(x+2)=0, 2 于是，得x-9=0或x十2=0，x1=9,x2=一2. 即x1=6+2√6，x2=6-2√6. 5.解：移项，得(x-3)2-2(x-3)=0, 【课堂过关] 因式分解，得(x-3)(x-5)=0, 于是，得x-3=0或x-5=0,x=3,x2=5. 1.解：a=2,b=6,c=-5. 6.解：因式分解，得(2x-5)(x十1)=0， △=36-4×2×(-5)=76>0. 5 方程有两个不相等的实数根 于是，得2x-5=0或x+1=0,x1=2,x=-1. x=-6±2西--3±19 7.68.12 2×2 2 即x=-3+1 2 ,a=39 微专题1解一元二次方程综合（含整体思想）】 2 2 2.解：a=4,b=1,c=-3, 1.012.x=-3x=1 △=b-4ac=12-4×4×(-3)=49>0, 3.解：整理，得(1+x)2=1.44.开平方，得1十x=士1.2， 方程有两个不相等的实数根 移项，得x=-1士1.2，=0.2，x2=-2.2. x=-1装4--17，即= 4.解：整理，得(1-x)2=0.81. 2×4 8 4,x=-1. 开平方得，1-x=士0.9， 3.解：(1)(-2)☒3=(-2)3+(-2)×3-3=-8+(-6) 移项得x=1士0.9，x1=0.1,x2=1.9. -3=-14-3=-17; 5.解：移项，得x2-8x=-13. (2)由题意，得(-y)⑧2=4，(-y)2+2·(-y)-3=4, 配方，得x2-8x+16=-13+16,(x一4)2=3. 整理，得y2一2y-7=0, 由此可得x-4=士√3，=√3+4，x2=一√3+4. 解得y=1+2√2,2=1-2√2. 6.解：原方程化简为3x2-4x一2=0. 第5课时用因式分解法解一元二次方程 △=(-4)2-4×3X(-2)=40>0. 【课标预习了 方程有两个不相等的实数根工=4生40_2±四 2×3 3 问题1：(1)x(m+n)x(x-4)(2)(x-1)(x+2) 即2+，=2而 问题2：00 3 3 问题3：10x一4.9x2=0 7.解：整理，得x2-x=90.移项，得x2-x一90=0. 问题4：以10-4.92)=0禹=0，=19 因式分解，得(x一10)(x+9)=0. 于是得x1=10,x2=-9. 小结：两个一次式的乘积等于0这两个一次式分别等于0 8.整理，得x2十5x十4=0. 典型问题) 因式分解，得(x十1)(x十4)=0. 【例1】解：因式分解，得(4x-5)x=0. 于是得x+1=0或x十4=0，即x1=一1，x2=一4. 于是得4红-5=0或z=0,=号，a=0, 9.解：设y=x2十x,则原方程可化为y2一4y一12=0， (y-6)(y+2)=0, 3第二十一章一元二次方程 第4课时 用公式法解一元二次方程 课标预句 预习教材第9页至12页.思考并完成以下问题. (1)当b2-4ac>0时，x= 问题1：将x2+4=5x化为一元二次方程的一般 形式为 ,则a= ,b= (2)当b2一4ac=0时，x1=x2= c- (3)当b2-4ac<0时， 问题2：任何一个一元二次方程都可以写成一般小结：一般地，式子b2一4c叫做一元二次方程 形式a.x2十bx+c=0(a≠0).能否用配方法得出ax2十bx十c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊 这个一般形式的解呢？ 字母“△”表示，即△=b2-4ac. 请你根据配方法的经验来解决这个问题： 归纳：(1)当△>0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0) 移项，得 有 的实数根；方程的实数根可写为 二次项系数化为1，得 x= ,即求根公式，这种解一元 配方，得 二次方程的方法叫做 即 (2)当△=0时，方程ax2十bx+c=0(a≠0)有 的实数根； 因为a≠0，所以4a2 0.式子b2-4ac的值有 (3)当△<0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0) 以下三种情况： 实数根， 型问题 知识点)直接使用公式法求一元二次方程的根 知识点2先化一般式，再使用公式法 例1用公式法解方程：3x2+5x+1=0. 例2用公式法解方程：x2十4=4x. 数学·九年级·全册(R) 知识点③使用公式法时，注意约分化简 例3用公式法解方程：x2一12x+12=0. 课堂小结：使用公式法解一元二次方程的步骤 1.化为一般式，确定a,b,c;2.计算△的值；3.当△≥0，代入求根公式；4.注意约分化简. 课堂过关 ● 基础关 1.(2024秋·武都区期末)用公式法解方程： 2.用公式法解方程：4x2+x一3=0. 2x2+6x-5=0. 素养关 3.(2024秋·濠江区期末)在实数范围内，对于任意实数m,n(m≠0)规定一种新运算：m⑧n=m”+ mn-3,例如：3☒2=32+3×2一3=12. (1)计算：(-2)83； (2)若(-y)☒2的值为4，求y的值. ●>8《●