专题13圆内接四边形及正多边形4大压轴题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题13 圆内接四边形及正多边形七类题型 典例详解 类型一、圆内接四边形性质 类型二、正多边形及其外接圆 类型三、圆心四边形性质 类型四、构造圆内接四边形 压轴专练 类型一、圆内接四边形性质 例1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 变式1-1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 变式1-2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．    变式1-3．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 类型二、正多边形及其外接圆 例2．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 变式2-2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ． 变式2-3．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    类型三、圆心四边形性质 例3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A、点B、点C在上，，那么是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（2025·江苏徐州·三模）如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 变式3-3．（16-17九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为 类型四、构造圆内接四边形 例4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 变式4-2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 变式4-3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），． (1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（    ） A．65 B．130 C．65或130 D．65或115 3．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知是的弦，且，弦于点E． (1)如图1，若点C是劣弧的中点，，求的长； (2)如图2，若点C是优弧的中点，，求的长． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线l与交于两点，E是上的一点，于点G，交于另一点F，连接．求证：． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 9．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，是上一点，经过点A，C，D，交于点E，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 11．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 12．（2026九年级·广西·专题练习）如图，已知正六边形内接于，的半径是1．连接，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)点到边的距离为 ； (3)该正六边形的周长为 ，面积为 ； (4)的长为 ，的周长为 ，的面积为 ，的面积为 ； (5)若点为的中点，则的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆内接四边形及正多边形七类题型 典例详解 类型一、圆内接四边形性质 类型二、正多边形及其外接圆 类型三、圆心四边形性质 类型四、构造圆内接四边形 压轴专练 类型一、圆内接四边形性质 例1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．准确地作出辅助线是解题的关键． 首先在优弧上取点E，连接，由圆的内接四边形的性质，可得，由圆周角定理可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 变式1-1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则 ． 【答案】125 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：125． 变式1-2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．    【答案】/60度 【分析】本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 变式1-3．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 类型二、正多边形及其外接圆 例2．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 变式2-1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 变式2-2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆． 连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，即可求出正六边形的周长，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴正六边形的周长，， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：，． 变式2-3．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 类型三、圆心四边形性质 例3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A、点B、点C在上，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，在的优弧上任意取一点，连接、， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ． 故选：A． 变式3-1．（2025·江苏徐州·三模）如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，先根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接与， ∴，又， ∴， 故选：A． 变式3-2．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理及其推论，等边三角形的判定，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆的内接四边形，可知，从而求得，再利用圆周角定理，可求得； （2）连接，根据弧与弧相等，可算得，结合半径相等，可判定和为等边三角形，从而推出四边形四边相等，从而得证． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： 由（1）可知，， 弧与弧相等， ， ， 和为等边三角形， ， 四边形是菱形． 变式3-3．（16-17九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为 【答案】/60度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，平行四边形的性质，由平行四边形的性质，得，由圆周角定理可知，，可知，在结合内接四边形对角互补可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由圆周角定理可知，， 则， 又∵四边形是圆的内接四边形， ∴，即：， ∴， 故答案为：． 类型四、构造圆内接四边形 例4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 变式4-1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，连接，，，，根据弧、弦的关系可得出，根据证明，可得出，根据证明，得出，根据圆内接四边形的性质，得出，则可求出，然后根据的圆周角所对的弦是直径即可得证． 【详解】证明：连接，，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 又四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴弦是的直径． 变式4-2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设度数为，弧度数为．探索和满足的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角，弧，弦的关系以及圆周角定理等． （1）根据圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理进行解答； （2）根据，继而利用圆内接四边形对角互补即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； （2）解：，探究如下： ∵度数为， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵度数为， ∴，即：． 变式4-3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），． (1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据垂径定理得出，根据圆心角与等弧的关系可求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）分点D在上和点D在上讨论，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵半径⊥弦， ∴， ∴， ∴ （2）解：当点D在上时 由（1）知∶， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 当点D在上时， 则， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点，连接，，根据题意得出，勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，， ∴是正六边形的外接圆的直径，则 依题意，， ∴， ∵是边上一个动点， ∴， ∵， ∴的值可能是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（    ） A．65 B．130 C．65或130 D．65或115 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形对角互补即可求解．本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解决本题的关键是掌握圆内接四边形对角互补． 【详解】解：如图所示， 当P在上时，， 当P在上时，， 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作于M，交延长线于N，过O作于H，连接，，由角平分线的性质推出，判定四边形是正方形，得到，由圆周角定理得到，推出，即可证明，得到，推出，求出，判定是等腰直角三角形，求出，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到的半径是． 【详解】解：过C作于M，交延长线于N，过O作于H，连接，， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的半径是． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由推出，得到． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知是的弦，且，弦于点E． (1)如图1，若点C是劣弧的中点，，求的长； (2)如图2，若点C是优弧的中点，，求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【分析】（1）延长、相交于点，连接，由（1）可知，，，再由、、、四点共圆，可得，推导出，得到，即可证明，据此求解即可； （2）连接、、与相交于点，先证明，得到，，再推导出，得到，即可得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长、相交于点，连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ； （2）解：连接、、与相交于点， 是优弧的中点， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线l与交于两点，E是上的一点，于点G，交于另一点F，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、补角和余角的性质等知识．延长交于点M，连接，则，利用补角的性质证明，再利用余角的性质证明即可． 【详解】证明：延长交于点M，连接，则， ． ， ． ， ． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证； （3）连接，同理（2）可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 9．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在中，是上一点，经过点A，C，D，交于点E，过点D作，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用同弧所对的圆周角相等，可得，即可得证； （2）连接，证明，，结合，可得，再进一步从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∵， ， ； （2）解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 11．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．（2026九年级·广西·专题练习）如图，已知正六边形内接于，的半径是1．连接，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)点到边的距离为 ； (3)该正六边形的周长为 ，面积为 ； (4)的长为 ，的周长为 ，的面积为 ，的面积为 ； (5)若点为的中点，则的长为 ． 【答案】(1) (2) (3) 6 (4) (5) 【分析】（1）由圆的内接正六边形可求得，再由可求得； （2）过作于，则，再根据勾股定理求解即可； （3）由可求得正六边形的周长，正六边形的面积＝的面积； （4）过点作于点，则，再根据勾股定理求得，然后按照周长公式和面积公式求解即可； （5）连接，则，点为的中点，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵正六边形内接于， ∴圆心角； 又∵正六边形内角和为，每个内角为， ∵ ∴． 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴是等边三角形， 过作于，则， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． （3）解：正六边形的边长等于圆的半径1， ∴周长为； 的面积为， 正六边形可以分成6个这样的三角形， ∴面积为． 故答案为：6；． （4）解：过点作于点，则 由勾股定理得，， ∵是直径， ∴ 由勾股定理得； ∴， ∴的周长为，面积为； 的面积为； 故答案为：． （5）解：连接，则 ∵点为的中点，，是直径， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要运用正六边形的性质、圆的性质、解直角三角形等知识来求解，正六边形的中心角为，内角为，边长等于圆的半径等性质是解题的关键。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $