第二章 第11讲 专题强化二 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题-【衡中学案】2026年高考物理一轮总复习学案

例 ④（多选）张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所 A0B是等腰三 的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的两点，AO、 入角形，A0、B0 B0为长度相等的两根轻绳，C0为一根轻杆。转轴C在AB中点D 的合力方向沿 的正下方，A、0、B在同一水平面上。∠A0B=60°，∠D0C=30°， 着00的方向 衣服质量为m,重力加速度为g,则 动杆模型杆上 A.C0杆所受的压力大小为2mg 的力沿着杆 B.C0杆所受的压力大小为25g C.A0绳所受的拉力大小为3mg D.A0绳所受的拉力大小为mg 【跟踪训练】 数为0.5，绳的质量忽略不计，重力加速度g=10/s2,则 日如图为一名健身者正在拉 健身者受地面的支持力F、和摩擦力F,分别为() 绳锻炼，已知健身者质量为 A.FN=350N,F=25N 50kg,双手对绳的拉力均为100 B.F、=500-50√5N,F=50√3N N,两根绳间夹角0=60°，两根绳 C.F=350N,F=503N 关于上方连接的总绳对称且跟总 D.FN=350N,F=175N 绳处于同一平面，总绳与竖直方向 的夹角为30°。若健身者处于静 温馨提示：复习至此，请完成练案[10 止状态，健身者与地面的动摩擦因 第11讲 专题强化二动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题 轮总复习 核考点·重点突破 理 喜点1动态平衡问题的分析方法 类型一合成法和正交分解法的应用 039 (能力考点·深度研析) 例吧如图、昆虫接挂 树枝 1.动态平衡 在水平树枝下，其 基节 股节 动态平衡就是通过控制某些物理量，使物体的状 足的股节与基节间的夹角 态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可 为0，且六条足都处于相同 视为平衡状态，所以叫动态平衡。 的拉力下。若昆虫稍微伸 2.做题流程 直足，则足的股节部分受到的拉力 受力化“动为“静”画不同状态下的平衡“静”中求“动” A.增大 B.减小 分析 图构造矢量三角形 C.不变 D.先减小后增大 定性分 →根据矢量三角形边长关系确定矢量 类型二相似三角形法的应用 的大小变化 物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向 r三角函数关系 均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角 定量计算 正弦定理 →找关系求极值 形与几何三角形相似的方法。 相似三角形 ●考向1解析法 例如图所示为一商易起重装 置，AC是上端带有滑轮的 1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 固定支架，BC为质量不计的轻杆， (o 2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变杆的一端C用铰链固定在支架上， 量的关系表达式（通常要用到三角函数）。 另一端B悬挂一个质量为m的重 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在 卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°， 外两个力的夹角的正弦成正比，即 F F2 F3 现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA=30°（不计一切阻 sin asin B sin y 力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力 A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 ●考向2图解法的应用 类型一“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡 例 ④(2025·河北沧州联考)如图所示，两根相同的 问题 轻质弹簧一端分别固定于M、N两点，另一端 1.一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三 分别与轻绳OP、OQ连接于0点。现用手拉住OP、OQ 力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形， 的末端，使OM、ON两弹簧长度相同（均处于拉伸状 分析力的大小变化，如图甲所示。 态)，且分别保持水平、竖直。最初OP竖直向下，OQ 2.一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不 与OP成120°夹角。现使OP、0Q的夹角不变，在保持 O点不动的情况下，将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转 变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变 70°。已知弹簧、轻绳始终在同一竖直平面内，则在两 化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出 轻绳旋转的过程中 现，如图乙所示。 恒力 036 例图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简 化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A, 年 度 沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩 A.OP上的作用力一直减小 新 擦阻力，则下列说法正确的是 B.OQ上的作用力一直减小 C.OP上的作用力先增大后减小 计 OX定滑轮 D.0Q旋转至水平位置时，0Q上作用力最大 衡 耆点2平衡中的临界和极值问题 中学案 玻璃棚 (能力考点·深度研析) 1.临界问题 图 图2 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变 A.货物A对玻璃棚的压力不变 化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好 B.货物A对玻璃棚的压力越来越大 不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好” C.绳子的拉力越来越大 等。临界问题常见的种类： D.绳子的拉力越来越小 (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 类型二“一力恒定，另外两力方向变化但夹角一 (2)绳子恰好绷紧，拉力F=0。 定”的动态平衡问题 (3)刚好离开接触面，支持力F、=0。 1.圆周角法：如图所示，物体受 2.极值问题 个共点力作用而平衡，其中一力恒定， 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的 另外两力方向一直变化，但两力的夹 最大值和最小值问题。 3.解答临界和极值问题的三种方法：函数法、图解 角不变，作出不同状态的矢量三角形， 法和极限法。 利用两力夹角不变，可以作出动态圆 ●考向1函数法 (也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间 根据不同位置判断各力的大小变化。 的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如 2.正弦定理法：如图所示，物体受三个共点力作用 求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)》 而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与 例产风钢不药出的学加时 甲所示，车辕是马车车身上伸出的两根直木，它是驾在马上以便 拉车的把手。如图乙为马拉车时的简化模型，车辕前端距车轴的 Za111014 高度H约为1m,马拉车的力可视为沿车辕方向，马车的车轮与 甲 乙 地面间的摩擦力大小是其对地面压力的若想让马拉车在水平今车处于手衡状态，用合力为零表解 面上匀速前进且尽可能省力，则车辕的长度约为 ) →长辕长度L=gn日 A.2m B.3m 导出拉力与日角(0为拉力与水平方向的夹角)的 C.3 m D.2m 关素式，用数学方法求日为多少时，拉力最小 ●考向2 图解法 ●考向3 极限法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临 的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大 界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个 值和最小值 状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 例回（位问题）如图所示， ⑦(2024·山东卷) 三根长度均为1的轻绳 如图所示，国产人 分别连接于C、D两点，A、B两端 形机器人“天工”能平稳 被悬挂在水平天花板上，相距 通过斜坡。若它可以在倾 21。现在C点上悬挂一个质量 角不大于30°的斜坡上稳 为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则 力的最小值为 它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 A.mg B 3 mg B③ 总 2 n子g 温馨提示：复习至此，请完成练案[11 物 03 第12讲 实验二 探究弹轰弹力与形变量的关系 实验知识·自主回顶 一、 实验目的 大小F,以横坐标表示弹簧的伸长量x,在坐标系中找 1.探究弹力与 的定量关系 出实验所测得的各组(x,F)对应的点，用 2.学会利用图像研究两个物理量之间的关系的 连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力 方法。 大小与伸长量间的关系。 二、实验原理 三、实验器材 L.如图所示，弹簧在下端悬挂 除轻质弹簧（一根），钩码（一盒），刻度尺，铁架台 钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的 外，还需 ,三角板。 弹力与 大小 四、实验步骤 相等。 1.如图所示，将铁架台放于桌面上固定好，将弹簧 2.用刻度尺测出弹簧在不同的 的一端固定于铁架台的横梁上，在靠近弹簧处将刻度 钩码拉力下的伸长量，建立坐标系，以纵坐标表示弹力 尺（分度值为1mm)固定于铁架台上，并用 检 查刻度尺是否竖直。力，A正确，B错误；当F=10N时，F,=8N,F与重力在y轴上 大小T=三，由于拖船P也做匀速直线运动，对其受力分析如 的合力为4N,垂直于杆向上，此时杆对小球的弹力垂直于杆向 3 下，且F在水平方向上有分力，因此杆对小球还有摩擦力，小球 图乙所示，根据受力平衡有(Tsim30)2+(f+Tcos30°)2=2， 一共受4个力，C正确，D错误。 例2：A对球体受力分析，如图所示。 解得P:号B正确 30P 30°1 60°C Q ymg 甲 正交分解r轴方向：5nsm30°=Fsim30 跟踪训练7：B对B球，根据平衡条件，水平方向有Fcos30°= Fcos30°，竖直方向有F-sin30°+Fsin30°=mg,解得F=mg,对 Ly轴方向：F1cos30°+F2c0s30°+F=mg A、B整体，根据平衡条件，水平方向有Fcos30°=F,竖直方向 一水答NA正确 有Fn30e+八=2g=K解得=9放选B 跟踪训练4：B对轻杆和小球组成的系统进行受力分析，如图，设名师讲坛·素养提升 左侧斜面对杆AB支持力的大小为N。,由平衡条件有NA= 例4：AD设绳A0和绳B0拉力的合力为F,以O点为研究对象， mgcos30,得N=5n 2mg,故选B。 0点受到衣服的拉力（大小等于衣服的重力mg)、C0杆的支持 力F,和两绳的合力F,受力分析如图甲所示，根据平衡条件得 N F=0S60=2mg,由牛顿第三定律可知C0杆所受的压力大 小为2mg,故A正确，B错误；F=mgtan60°=√5mg,将F分解， 如图乙所示，绳AO和绳BO所受拉力的大小相等，即F,=F,, 由F=2F2cos30°，解得F2=mg,故C错误，D正确。 F F. 30P mg 110 跟踪训练5：A因AB边和AC边长度相等， 乙 ∠BAC=74°，由几何知识可知∠ABC=53° 跟踪训练8：C根据题意可知，总绳对人的作用 由于斜面倾角0=37°，故AB边竖直，推力FF 力大小为F=2 Frcos30°=1005N,对人受力 水平向右，对木楔的受力分析如图所示，根 据平衡条件可得Fcos0=F,+mgsin0,Fx= 分析，如图所示，由平衡条件有Fr=Fsin30°= Fsin0+mgcos0,摩擦力F,=uFN,联立解得F=20N,故A 503N,Fcos30°+Fx=mg,解得F=350N, mg 故选C。 正确。 例3：D对A、B整体受力分析，如图所示，由于T,=T.=mg(由于 第11讲专题强化二动态平衡问题 不计摩擦，所以滑轮两侧的绳子上的拉力大小相等，对配重P、 平衡中的临界和极值问题 Q分别受力分析，由力的平衡条件有1，=T。=mg),且二者共线核心考点·重点突破 反向，则由力的平衡条件有T。=2mg=1N,方向竖直向上；对A例1：B设昆虫的质量为m,每条股节部分受到的拉力均为T,则 单独受力分析，如图2所示，根据力的平衡条件，水平方向上有 T,cosa=Tcos0,竖直方向上有T sin a+T.sin0=mg,联立并 由力的平衡条件可得61s如0=mg,解得T=6器。向当昆虫稍 代人数据解得a=0=30°，T=T。=mg=0.5N。综上可知，D 微伸直足时，角变大，因此可知足的股节部分受到的拉力T将 正确。 减小，故选B。 例2：A以结点B为研究对象，分析 受力情况，作出力的合成图如图， T 平7 根据平衡条件知，F、F、的合力F合 与G大小相等、方向相反。根据三 2171g mg 角形相似得荒=品一盒又。 图1 图2 =6得人-影c,乙BcC馁慢变 跟踪训练6：B由题意可知货船S做匀速直线运动，对其受力分 小的过程中，AC、BC不变，则Fx不 析如图甲所示，根据受力平衡有2Tcos30°=f,解得缆绳的拉力： 变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 499 例3：C对货物A受力分析，其动态图如图所 核心考点·重点突破 示。货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直 跟踪训练1：(1)见解析图(2)5.15(5.10~5.20均可)53.3 方向的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越 (52.2~54.5均可)(3)不受影响偏小 来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变 [解析](1)作出m-x图像如图； 小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的 120 压力越来越小。故C项正确。 100 例4：A初状态系统平衡时，两弹簧弹力相 80 等，合力与两弹簧夹45°斜向左上方，则 60 由O点受力平衡知：OP、OQ两绳拉力合 40 力斜向下与OP夹45°角。保持0点不 20由 曲 动，则两弹簧伸长状态不变，合力不变 分心分m 将OP、OQ沿顺时针方向缓慢旋转70°， (2)根据图像数据确定：弹性绳原长约为5.15cm,弹性绳的劲 此过程OP、OQ合力不变，而两力夹角不 变，根据力三角形法可作图如示： 度系数约为k=A=An:=7120×10x10 △x △x (7.40-5.15)x10NVm≈ 由图可以看出，在旋转70°的过程中，表示OP的拉力ToP长度 53.3N/m 直在减小，说明OP上的作用力一直减小；表示OQ的拉力To (3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O,不影 长度先增大后减小，说明OQ上的作用力先增大后减小；当0Q 响直线的斜率，则由实验数据得到的劲度系数将不受影响；若 旋转至水平位置时，0Q对应的圆周角为180°-60°-45°= 实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则测得 75°<90°，说明此时OQ拉力不是最大值。故A正确，B、C、D 的弹簧伸长量偏大，则由实验数据得到的劲度系数将偏小。 错误。 跟踪训练2：(1)刻度尺(2)弹簧原长、弹簧所受外力与弹簧对 例5：D设车辕与水平方向的夹角为0，则当车匀速前进时，有 应的长度(3)200弹簧自身的重力(4)CBDAEFG Fcos0=k(mg-Fsin),解得F= cos9+n其中k=9,由 kmg [解析](1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长 3 和挂上钩码后的长度。 三角函数知识可得cos0+ks血0=2i血(60°+0)，则当0=30 (2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹 簧所受外力与弹簧对应的长度 时F最小，即此时车辕的长度约为1=sim30=2H≈2m,故 (3)取题图乙中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，图线的斜率表示劲 度系数，则k= 选D。 (3.5-0.5)×10Vm=200WVm,由于弹簧自 6-0 例6：C由对称性可知，AC绳和BD 身的重力，使得弹簧不加外力时就有形变量。 绳与竖直方向的夹角相等，设均为 A (4)根据实验操作的合理性可知先后顺序为C、BD、A、E、FG。 21-1 例1：(1)见解析图(2)mg102 0,由几何关系可知sin0= 2 [解析]（1)作出1-n图像如图所示。 2,则9=30°。对C点进行受力分 Iem 13.0 析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力Fo=mgtan30°，对D 12.5 点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2=FcD=mgtan30°，故 12.0 F,是恒力，BD绳对D点的拉力F方向一定，又F1与在D点施 11.5 加的力F3的合力和F2等值反向，如图所示，由图知当F垂直 于绳BD时，F最小，由几何关系可知，Fmi=F2sin60°= 11.0 10.5 2g,C正确。 10.0 01 23456/个 例7：B对机器人受力分析如图所示，由平 衡条件得，mgsin30°≤umgcos30°，解得 (2)由胡克定律得nmg=k(l-6),即1=紧n+,则=a,解 山≥令，放机器人的脚和斜面间的动摩搭 得k=,由图像可知斜率a=048,解得k=005x9.80 N/m 30°mg、 0.48×10- 因数不能小于5，B正确，A,C,D错误。 =102N/m。 例2：(1)ADBEC(2)49(3)无劲度系数是通过图像斜率与 第12讲 实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系 每个钩码重力的乘积得到的 [解析](1)根据题意，由实验原理可知，本实验通过改变钩码 实验知识·自主回顾 的数量来改变弹簧的弹力，通过手机的定位传感器确定弹簧的 一、1.弹簧形变量 形变量，通过作图的方法得到弹簧的劲度系数，则正确的实验 二、1.钩码总重力2.平滑的曲线 步骤为ADBEC。 三、重垂线坐标纸 (2)根据题意，由胡克定律F=xc可得mg=,整理得n= 四、1.重垂线5.弹力 g,由 五、1.弹力F伸长量x2.的曲线（包括直线）3.曲线 图像可知，图像的斜率为1，则有k=1cm,解得k=49Vm。 mg 500