精品解析：甘肃省武威市凉州区高坝镇中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，是解题的关键． 根据一元二次方程一般式的各项系数，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的化为一般式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是：3，，， 故选：D． 2. 对于任何实数a，抛物线与（ ） A. 对称轴相同 B. 顶点相同 C. 最大值相同 D. 都有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线与抛物线的对称轴相同， 故选：A． 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两个长度相等的弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误； B．在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D．符合圆周角定理，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解得： 故选D 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6. 已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（ ） A. 2015 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，代数式求值．掌握抛物线上点的坐标满足其解析式是解题关键． 由点在抛物线上，可得出，即．再将其代入中即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 7. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 8. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之积和两根之和是解题的关键． 根据一元二次方程的两根之积等于，代入求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为 ∵的一个根为， ∴由根与系数的关系得：， ∴， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数，其中a、b、c满足和，则该二次函数图象的对称轴是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可用a分别表示出b和c，再利用对称轴公式可求得答案． 【详解】解：∵和， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用a分别表示出b、c是解题的关键． 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知直线上有一点，则点P关于原点对称的点M的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道有关对称点坐标之间关系的题目，也涉及到直线方程，做题时首先要把点的坐标代入直线方程求出m的值，其次学生要掌握关于原点对称点的坐标是原来坐标的相反数. 【详解】解：∵点在直线 ∴，解得： ∴ ∵点P关于原点对称的点M的坐标 ∴ 故答案为：. 12. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝________度． 【答案】25° 【解析】 【分析】根据CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD得到：∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，即可求∠ABD=∠AOD=25.° 【详解】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=50°， ∴∠ABD=∠AOD=25°． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13. 如图，在平面内将绕直角顶点C逆时针旋转得到．若，，则A、E两点间的距离是____． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求得，再根据旋转的性质得，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， 又∵绕直角顶点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 14. 某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为____元． 【答案】55 【解析】 【分析】设此商品的售价为x元，由题意得y=x[40-(x-40）]-30×[40-（x-40）]，化简变形即可求解； 【详解】解：设此商品的售价为x元； 则利润为：y=x[40-(x-40）]-30×[40-（x-40）] 化简为：y=-x2+110x-2400 所以：y=-（x-55）2+625 当x=55时，有最大值，故此商品的最佳售价应为55； 故答案为：55． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 15. 如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有______．（把正确的答案的序号都填在横线上） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据图象开口向上得到a＞0；由与y轴交点在负半轴得到c＜0，即ac＜0；②由抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3，可以得到方程的根是，；③当x＝1时，y＜0，可以得到a＋b＋c＜0；④由于对称轴是直线x＝1，所以得到x＞1时，y随着x的增大而增大. 【详解】解：①∵开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴交点在负半轴， 故c＜0， 即ac＜0， 故正确； ②∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3， ∴方程的根是，， 故正确； ③当x＝1时，y＜0， ∴a＋b＋c＜0， 故错误； ④∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3， ∴对称轴是直线x＝1， ∴x＞1时，y随着x的增大而增大， 故正确. 故正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x＝1，x＝−1时对应的y值． 三、解答题（共75分） 16. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． 先移项，再提公因式，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， ， 解得，． 17. 已知：抛物线经过、两点，顶点为A． 求： 抛物线的表达式； 顶点A的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）A的坐标为（1，4）． 【解析】 【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式； （2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，解得． 故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1=﹣（x﹣1）2+4，所以顶点A的坐标为（1，4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设抛物线的解析式（一般式、顶点式或交点式），再把抛物线上的点的坐标代入得到方程组，然后解方程可确定抛物线的解析式．也考查了二次函数的性质． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把绕点逆时针旋转得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； . 【解析】 【分析】此题考查中心对称与旋转变换作图． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）根据中心对称的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1）证明：∵m≠0，=m2﹣4m+4=（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即， ∴方程总有两个实数根； （2）正整数m的值为1或2 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 【详解】（1）略 （2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=， 当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2． 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作，与过点B的切线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的切线， ． ， ，， 是的直径， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得到，再由平行线的性质得到，，再由直径所对的圆周角是直角推出，求出，证明，即可证明； （2）求出，则，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得． 即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？ 【答案】每件衬衫应降价元，进货件． 【解析】 【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【详解】设每件衬衫应降价x元． 根据题意,得(44−x)(20+5x)=1600， 解得x1=4,x2=36. ∵“扩大销售量，减少库存”， ∴x1=4应略去， ∴x=36. 20+5x=200. 答：每件衬衫应降价36元，进货200件. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键. 22. 如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE． （1）若AD=6，BE=8，求EF的长； （2）求证：CE=EF； （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】（1）EF =2.5； （2）连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE； ∵∠AED=∠ACB=90° ∴B、C、D、E四点共圆 且BD是该圆的直径， ∵点F是BD的中点， ∴点F是圆心， ∴EF=CF=FD=FB， ∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF， 由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE， ∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45° ∴∠ECF=45°=∠CEF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CE=EF． （3）（1）中的结论仍然成立． 如图，连接CF，延长EF交CB于点G， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴DE∥BC， ∴∠EDF=∠GBF， 在△EDF和△GBF中，  ， ∴△EDF≌△GBF， ∴EF=GF，BG=DE=AE， ∵AC=BC， ∴CE=CG， ∴∠EFC=90°，CF=EF， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∴CE=FE； 【解析】 【详解】试题分析：（1）等腰直角三角形的斜边长是直角边的 倍，得到DE=3由于BE=4，利用勾股定理，得BD=5，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得以解决； （2）连接CF,需要证明 是等腰直角三角形，根据四点共圆，得到点F是四边形DCBE的外接圆，且F是圆心,根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得 从而 ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得 ，得证 是等腰直角三角形，结论得证； （3）连接CF，延长EF交CB于点G，利用ASA证明△EDF≌△GBF，得出EF=GF，BG=DE=AE，进而证明CE=CG,得出△CEF为等腰直角三角形，利用三线合一证明 结论得证． 试题解析： （1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3， ∴AE=DE=3， 在Rt△BDE中， ∵DE=3，BE=4， ∴BD=5， 又∵F是线段BD的中点， ∴EF=BD=2.5； （2） 略 （3） 略 【方法点睛】本题目用的知识点：（1）直角三角形斜边上的中线是斜边的一半；（2）当看到两条线段的比是时，想方设法去转化到等腰直角三角形的斜边和腰上，因为等腰三角形斜边长是腰长的 倍；（3）等腰三角形的三线合一；（4）四点共圆，利用圆的观点类解决问题，简便易行. 23. 如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5） （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）6；（3）点P有4个，分别是（，），（，），（，﹣），（，﹣） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0） ，由题意可得抛物线经过B，C，D三点，将这三点坐标代入抛物线解析式，求出a，b，c，的值即可求出抛物线的解析式；（2）由解析式求出A，点坐标，再由B，C点坐标求出AB，OC的值，利用三角形面积公式求出△ABC的面积；（3）由上题可知S△ABP=6÷2=3，设P点的纵坐标为n，因为AB是4，所以由面积求出三角形ABP的高，即n的绝对值，再分别带入抛物线解析式，即可求出P点横坐标，对应写出P点坐标即可． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0） ， 由题意可得函数经过B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三点，将三点坐标代入得：， 解得 所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3； （2）由题意得，当y=0时，-x2+2x+3=0， 解得：x1=-1，x2=3， ∴A点坐标为（-1，0）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴AB=4，OC=3, S△ABC= 4×3÷2=6，即△ABC的面积是6； （3）设P点的纵坐标为n， ∵S△ABP=S△ABC， ∴S△ABP=3，即AB•|n|=3，AB=4， 代入解得n=±， ∴=﹣x2+2x+3， 解得：x=或-=﹣x2+2x+3，解得：x=， ∴这样的点P有4个， 它们分别是（，），（，），（，﹣），（，﹣） 考点：1．求二次函数解析式；2．抛物线与三角形面积综合知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 2. 对于任何实数a，抛物线与（ ） A. 对称轴相同 B. 顶点相同 C. 最大值相同 D. 都有最小值 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 两个长度相等的弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则代数式的值为（ ） A. 2015 B. C. D. 7. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，其中a、b、c满足和，则该二次函数图象的对称轴是（　　） A. B. C. D. 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知直线上有一点，则点P关于原点对称的点M的坐标是_____． 12. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝________度． 13. 如图，在平面内将绕直角顶点C逆时针旋转得到．若，，则A、E两点间的距离是____． 14. 某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为____元． 15. 如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有______．（把正确的答案的序号都填在横线上） 三、解答题（共75分） 16. 解方程． 17. 已知：抛物线经过、两点，顶点为A． 求： 抛物线的表达式； 顶点A的坐标． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把绕点逆时针旋转得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 19. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作，与过点B的切线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？ 22. 如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE． （1）若AD=6，BE=8，求EF的长； （2）求证：CE=EF； （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 23. 如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5） （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $