第五章 指数函数与对数函数（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了函数的根式化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、指数函数的概念、指数函数的图像及其性质应用、对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、换底公式、对数函数的概念、对数函数的图像及性质、对数函数的应用等常见考点。 第5章 指数函数与对数函数 目录 考点一 根式的化简求值 2 考点二 指数幂的运算 3 考点三 分数指数幂与根式的互化 4 考点四 指数幂的化简、求值 4 考点五 指数函数的概念 5 考点六 指数函数的图像及其性质 6 考点七 指数函数的应用 7 考点八 对数的概念判断与求值 7 考点九 指数式与对数式的互化 8 考点十 对数的运算性质的应用 9 考点十一 换底公式 10 考点十二 对数函数的概念 10 考点十三 对数函数的图像及性质 11 考点十四 对数函数的应用 13 考点一 根式的化简求值 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合最简二次根式需满足的条件，即可判断求解. 【详解】因为，被开方数为小数，不符合最简二次根式的条件，故选项A不符合题意； 因为，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合最简二次根式的条件，故选项B不符合题意； 因为中，被开方数3是整数，且不含有能开得尽方的因数，故是最简二次根式，故选项C符合题意； 因为，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的条件，故选项D不符合题意， 故选：C. 2．下列运算正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式、指数、根式、绝对值的运算依次判断各选项即可得解. 【详解】对于A，，不一定等于，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D正确. 故选：D. 考点二 指数幂的运算 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数幂的运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】选项A.，该选项正确. 选项B.，该选项错误. 选项C.，该选项错误. 选项D.，该选项错误. 故选：A. 考点三 分数指数幂与根式的互化 5．设，则的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解. 【详解】因为，所以的分数指数幂形式为. 故选：D. 6．根式转化成分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式与分数指数幂的互化即可得解. 【详解】， 所以根式转化成分数指数幂的形式为. 故选：C. 考点四 指数幂的化简、求值 7．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的运算性质计算即可. 【详解】． 故选：B. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数的运算规则求解即可. 【详解】． 故选：C. 考点五 指数函数的概念 9．已知函数是指数函数，则（   ） A． B． C．16 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数的概念，即可求得参数a的值，继而求得函数解析式，即可代入求解. 【详解】因为是指数函数，所以，解得. 所以， 所以， 故选：A. 10．下列函数中指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的定义即可得解. 【详解】形如且为指数函数， 对于A，的指数不是，不为指数函数，故A错误； 对于B，满足指数函数的定义，故B正确； 对于C，的系数不是，不为指数函数，故C错误； 对于D，的指数不是，不为指数函数，故D错误； 故选：B. 考点六 指数函数的图像及其性质 11．当且时，无论取何值，函数的图像必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入函数解析式，当且时，，即可得解. 【详解】将代入函数中得， 所以函数的图像必过定点， 故选：. 12．指数函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据指数函数的图象和性质可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，且过点，， 所以选项ACD不符合，选项B符合题意， 故选：B． 考点七 指数函数的应用 13．某种细胞每3秒由1个分裂成2个，则10个这样的细胞30秒后变成（   ） A．11个 B．个 C．个 D．20个 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数的运算及指数函数的应用，即可求解. 【详解】因为某种细胞每3秒由1个分裂成2个， 所以1个这样的细胞30秒后变成个， 所以10个这样的细胞30秒后变成个. 故选：C. 14．2020年全年，某公司总耗电量为度，该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少，据此估计2023年该公司总耗电量为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【分析】根据题意列指数型函数解析式求解即可. 【详解】由题意可知2020年后第年，公司的耗电量为度， 2023年为2020年后第3年，公司的耗电量为度. 故选：C. 考点八 对数的概念判断与求值 15．已知，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对数的运算，代入求值即可. 【详解】，则. 故选：C. 16．已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式及对数的运算代入求值即可. 【详解】因为函数， 所以，. 故选：C. 考点九 指数式与对数式的互化 17．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数转对数，再拆分对数并代换，最后得出结果即可. 【详解】已知，根据对数的定义，可得， 同理得：， 由对数的运算法则得，， 又因为， 将，代入上式，可得： . 故选：B. 18．若，，则（   ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的互化以及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为，又， 所以， 故选：A. 考点十 对数的运算性质的应用 19．若，，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算法则，逐个判断得到答案. 【详解】选项A，，该选项错误； 选项B，，该选项正确； 选项C，，该选项错误； 选项D，，不一定等于，该选项错误； 故选：B. 20．设且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算性质，逐一分析选项即可. 【详解】对于选项A：，故A选项错误； 对于选项B ：，故B选项正确； 对于选项C：，故C选项错误； 对于选项D：，故D选项错误． 故选：B． 考点十一 换底公式 21．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 22．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算以及换底公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 考点十二 对数函数的概念 23．已知函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入函数解析式列方程求解即可. 【详解】已知函数， 由得，， 即，解得， 故选：D. 24．下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的定义即可求解. 【详解】形如且的函数为对数函数， A选项中，函数不符合对数函数的定义，故A选项错误； B选项中，函数为指数函数，故B选项错误； C选项中，函数为对数函数，故C选项正确； D选项中，函数为幂函数，故D选项错误； 故选：C. 考点十三 对数函数的图像及性质 25．函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数的图像即可得解. 【详解】 函数，，图像为  ， 将轴下方图象翻转（轴上方图象不变）， 可得函数的图像大致为  ， 故选：. 26．函数且的图像一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求解出的值，再将其代入到函数解析式，求出的值，即可得定点的坐标. 【详解】令，即当时， ， 所以函数图像过点， 故选：C． 考点十四 对数函数的应用 27．下列点在函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中各点依次代入函数解析式验证即可解得. 【详解】选项AB：函数中，故AB错误. 选项C：令，则，即在图像上，正确. 选项D：令，则，错误. 故选：C 28．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的图象与性质判断. 【详解】 由图知，， 作直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为， 可得， 故选：B. $编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了函数的根式化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、指数函数的概念、指数函数的图像及其性质应用、对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、换底公式、对数函数的概念、对数函数的图像及性质、对数函数的应用等常见考点。 第5章 指数函数与对数函数 目录 考点一 根式的化简求值 2 考点二 指数幂的运算 3 考点三 分数指数幂与根式的互化 4 考点四 指数幂的化简、求值 4 考点五 指数函数的概念 5 考点六 指数函数的图像及其性质 6 考点七 指数函数的应用 7 考点八 对数的概念判断与求值 7 考点九 指数式与对数式的互化 8 考点十 对数的运算性质的应用 9 考点十一 换底公式 10 考点十二 对数函数的概念 10 考点十三 对数函数的图像及性质 11 考点十四 对数函数的应用 13 考点一 根式的化简求值 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ）. A． B． C． D． 考点二 指数幂的运算 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三 分数指数幂与根式的互化 5．设，则的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 6．根式转化成分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 考点四 指数幂的化简、求值 7．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．（   ） A． B． C． D． 考点五 指数函数的概念 9．已知函数是指数函数，则（   ） A． B． C．16 D．4 10．下列函数中指数函数的是（    ） A． B． C． D． 考点六 指数函数的图像及其性质 11．当且时，无论取何值，函数的图像必过定点（   ） A． B． C． D． 12．指数函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   考点七 指数函数的应用 13．某种细胞每3秒由1个分裂成2个，则10个这样的细胞30秒后变成（   ） A．11个 B．个 C．个 D．20个 14．2020年全年，某公司总耗电量为度，该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少，据此估计2023年该公司总耗电量为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 考点八 对数的概念判断与求值 15．已知，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知函数，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 考点九 指数式与对数式的互化 17．已知，，则（   ） A． B． C． D． 18．若，，则（   ）． A． B． C． D．1 考点十 对数的运算性质的应用 19．若，，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 20．设且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 考点十一 换底公式 21．的值为（   ） A． B． C． D． 22．已知，则（   ） A． B． C． D． 考点十二 对数函数的概念 23．已知函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 考点十三 对数函数的图像及性质 25．函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   26．函数且的图像一定经过点（   ） A． B． C． D． 考点十四 对数函数的应用 27．下列点在函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 28．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． $