第12讲 长方体和正方体（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第12讲 长方体和正方体 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解长方体和正方体的基本特征，包括面、棱、顶点的数量及特点。 2.熟练掌握长方体和正方体表面积与体积的计算公式，并能灵活运用这些公式解决各类相关问题。 3.学会分析在重合、挖出部分立体图形后，表面积和体积的变化情况，提升空间想象和逻辑推理能力。 4.针对已知面积求体积或已知体积求面积的问题，能够准确找到解题思路，运用恰当公式进行求解。 5.掌握体积转换的方法，能将不规则物体的体积转化为规则长方体或正方体的体积进行计算。 6.理解分割图形对表面积和体积的影响，学会通过合理分割解决复杂的几何问题。 知识梳理 知识点一、重合或者挖出立体的面积及体积 1.重合 （1）表面积变化：两个长方体或正方体拼接时，拼接面会重合，表面积会减少。例如两个棱长为 a 的正方体拼成长方体，拼接面为两个正方形，每个正方形面积为 ，那么表面积就减少了 。 （2）体积变化：体积不变，因为物体所占空间大小并未改变。两个正方体体积之和为 ，拼成的长方体体积也是 。 2.挖出 （1）表面积变化：从长方体或正方体中挖出一个小立体图形，若挖出部分的面与原立体图形表面相连，可能会增加小立体图形与原立体图形相连面的面积。比如在一个大正方体中挖出一个小正方体，若小正方体的一个面与大正方体表面重合，那么大正方体的表面积会增加小正方体 4 个面的面积（因为原来重合的一个面没了，但又多了小正方体露在外面的 5 个面，相抵后多 4 个面）。 （2）体积变化：体积会减少，减少的体积就是挖出的小立体图形的体积。 知识点二、已知面积求体积或者已知体积求面积 1.已知面积求体积 （1）长方体：已知长方体的底面积 （长×宽）和高 ，根据体积公式 可求体积。例如已知长方体底面积为 平方厘米，高为 厘米，体积 立方厘米。 （2）正方体：已知正方体一个面的面积 （棱长×棱长），可先求出棱长，因为正方体棱长 ，再根据体积公式 求体积。比如正方体一个面面积是 平方厘米，则棱长为 厘米，体积 立方厘米。 2.已知体积求面积 （1）长方体：已知体积 和高 ，可先求底面积 。若已知长方体体积为 立方厘米，高为 厘米，底面积 平方厘米。 （2）正方体：已知体积 ，先求棱长 ，再求一个面的面积 。如正方体体积为 立方厘米，棱长为 厘米，一个面面积 平方厘米。 知识点三、体积转换 1.不规则物体体积转换：把不规则物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水上升的体积就是不规则物体的体积。例如将一个石头放入一个长 厘米、宽 厘米、水高 厘米的长方体容器中，水面上升到 厘米，上升的水的体积就是石头体积，即 立方厘米。 2.形状变化但体积不变：一个长方体橡皮泥捏成正方体，虽然形状改变，但体积始终不变。已知长方体体积可直接得到正方体体积，再根据正方体体积公式求出棱长等其他量。 知识点四、分割图形 1.分割对表面积的影响：把一个长方体或正方体分割成几个小长方体或正方体，分割面会增加表面积。例如把一个棱长为 的正方体分割成两个相同的长方体，增加了两个正方形的面，表面积增加了 。 2.分割对体积的影响：体积不变，原立体图形的体积等于分割后所有小立体图形体积之和。如把一个长方体分割成三个小长方体，三个小长方体体积相加等于原长方体体积。 例题讲解 一、重合或者挖出立体的面积及体积 【例题1】计算下面立体图形的体积。（单位：cm） 【例题2】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【例题3】求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 二、已知面积求体积或者已知体积求面积 【例题1】有一个长方体，它的前面和上面的面积共是88平方厘米，并且长、宽、高都是质数，求它的体积是多少？ 【例题2】一长方体的体积是385立方厘米，它的长，宽，高分别是不同的质数．①求这个长方体的总棱长？②求这个长方体的表面积？ 三、体积转换 【例题1】如图，一个长方体的玻璃缸，缸内有一些水，水深为5.4分米。在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，假山石的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【例题2】在一个棱长为5分米的正方体容器中，放入一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体铁块（完全浸没），此时水深4.3分米。如果将铁块从容器中取出，取出后水深多少分米？ 【例题3】有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【例题4】在商城县的“大别山生态研学基地”，同学们正在观察一个特制的生态展示缸。这个密封的玻璃缸原本平放，缸内空间长6分米、宽2分米、高4分米，目前水深3分米。现在科考员小张将玻璃缸竖立放置后，那么缸里水深多少分米？ 【例题5】一块正方体钢坯的棱长是2分米，把它锻造成一块长方体钢坯，这块长方体钢坯的横截面是边长为5厘米的正方形，则这块长方体钢坯长多少米？如果每立方分米钢坯的质量是7.8千克，那么这块长方体钢坯的质量是多少千克？ 【例题6】如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 四、分割图形 【例题1】有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 【例题2】如下图，把这个长方体左面沿长的方向截去5厘米之后，表面积减少40平方厘米，并且剩下部分是一个正方体。求原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【例题3】如图，这是一个中间有孔的立体玩具，它是由8个棱长是2厘米的小正方体松木块粘拼而成的。已知每立方厘米松木的质量为0.55克，请计算这个立体玩具的质量。 考点练习 一、重合或者挖出立体的面积及体积 1．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 2．计算下面图形的表面积和体积。 3．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）。 4．计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 5．计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 6．计算下面图形的表面积和体积。 7．计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 8．如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这物体的表面积？ 二、已知面积求体积或者已知体积求面积 1．王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 2．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209平方厘米，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 3．一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米。如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米。如果高增加4厘米，长和宽不变，它的体积增加52立方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 三、体积转换 1．妈妈买了一些苹果，小明准备做实验测量其中一个苹果的体积。他先将600毫升水倒入长方体容器里，量得水深是8厘米，然后他将苹果浸入水中，发现有水溢出来，量得溢出的水是20毫升。请你算一算这个苹果的体积。 2．认真看图，想一想，你能计算出铁块的高度吗？ 3．一个长16厘米、宽4厘米、高20厘米的玻璃水缸中，原来水缸中水深10厘米，把一个正方体铁块放入后，水面上升到12厘米，正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 4．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 5．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以黏土为原料，通过手工捏制成形。小希喜欢捏泥塑，她将一块棱长为4厘米的正方体黏土捏成了一个底面积为20平方厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 6．小王同学想知道一个瓶子的容积，他先把这个瓶子装满水，然后将水倒入一个从里面量长20厘米，宽10厘米，高9厘米的长方体透明箱子，这时他测量水面的高度是4厘米，请问这个瓶子的容积是多少毫升？ 7．如图，一个密封的长方体水缸，长10厘米，宽8厘米，高15厘米，里面的水深1.2分米。小军不小心把水缸弄倒了，求现在水缸内水深多少厘米？ 8．一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，如图①。现一头抬高后如图②，AB＝4厘米。 如果这头再抬高，水面与玻璃缸口正好重合，如图③，这时CD的长是多少厘米？ 9．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 10．有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。将容器A中的一部分水倒入容器B，使得两个容器内水面高度相同。这时容器A和容器B中各有多少升水？ 11．一块如图所示的长方形地，已知甲地比乙地高50厘米，现在想把这块地推平整，要从甲地推下多少厘米厚的土填在乙地上？ 12．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 四、分割图形 1．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 2．从一个大长方体上切下一个体积是126立方厘米的小长方体（如图）。剩下长方体的体积是多少立方厘米？ 3．“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 4．一个棱长为1米的正方体，沿长、宽、高分别切了2刀、3刀，4刀后，分成大小不等的60个小长方体。这60个小长方体的表面积之和是多少平方米？ 5．一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 6．在人工智能材料研发实验中，研究人员发现一种新型复合材料制成的长方体模型，该长方体模型正好可以锯成三个大小相等的小正方体模型。在切割过程中，它们的表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米。已知这种新型复合材料每平方厘米的成本为5元，若要制成这样的长方体模型，材料成本是多少元？ 7．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 8．下图是由若干个棱长1厘米的小正方体拼成的，它的表面积和体积各是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 长方体和正方体 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深入理解长方体和正方体的基本特征，包括面、棱、顶点的数量及特点。 2.熟练掌握长方体和正方体表面积与体积的计算公式，并能灵活运用这些公式解决各类相关问题。 3.学会分析在重合、挖出部分立体图形后，表面积和体积的变化情况，提升空间想象和逻辑推理能力。 4.针对已知面积求体积或已知体积求面积的问题，能够准确找到解题思路，运用恰当公式进行求解。 5.掌握体积转换的方法，能将不规则物体的体积转化为规则长方体或正方体的体积进行计算。 6.理解分割图形对表面积和体积的影响，学会通过合理分割解决复杂的几何问题。 知识梳理 知识点一、重合或者挖出立体的面积及体积 1.重合 （1）表面积变化：两个长方体或正方体拼接时，拼接面会重合，表面积会减少。例如两个棱长为 a 的正方体拼成长方体，拼接面为两个正方形，每个正方形面积为 ，那么表面积就减少了 。 （2）体积变化：体积不变，因为物体所占空间大小并未改变。两个正方体体积之和为 ，拼成的长方体体积也是 。 2.挖出 （1）表面积变化：从长方体或正方体中挖出一个小立体图形，若挖出部分的面与原立体图形表面相连，可能会增加小立体图形与原立体图形相连面的面积。比如在一个大正方体中挖出一个小正方体，若小正方体的一个面与大正方体表面重合，那么大正方体的表面积会增加小正方体 4 个面的面积（因为原来重合的一个面没了，但又多了小正方体露在外面的 5 个面，相抵后多 4 个面）。 （2）体积变化：体积会减少，减少的体积就是挖出的小立体图形的体积。 知识点二、已知面积求体积或者已知体积求面积 1.已知面积求体积 （1）长方体：已知长方体的底面积 （长×宽）和高 ，根据体积公式 可求体积。例如已知长方体底面积为 平方厘米，高为 厘米，体积 立方厘米。 （2）正方体：已知正方体一个面的面积 （棱长×棱长），可先求出棱长，因为正方体棱长 ，再根据体积公式 求体积。比如正方体一个面面积是 平方厘米，则棱长为 厘米，体积 立方厘米。 2.已知体积求面积 （1）长方体：已知体积 和高 ，可先求底面积 。若已知长方体体积为 立方厘米，高为 厘米，底面积 平方厘米。 （2）正方体：已知体积 ，先求棱长 ，再求一个面的面积 。如正方体体积为 立方厘米，棱长为 厘米，一个面面积 平方厘米。 知识点三、体积转换 1.不规则物体体积转换：把不规则物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水上升的体积就是不规则物体的体积。例如将一个石头放入一个长 厘米、宽 厘米、水高 厘米的长方体容器中，水面上升到 厘米，上升的水的体积就是石头体积，即 立方厘米。 2.形状变化但体积不变：一个长方体橡皮泥捏成正方体，虽然形状改变，但体积始终不变。已知长方体体积可直接得到正方体体积，再根据正方体体积公式求出棱长等其他量。 知识点四、分割图形 1.分割对表面积的影响：把一个长方体或正方体分割成几个小长方体或正方体，分割面会增加表面积。例如把一个棱长为 的正方体分割成两个相同的长方体，增加了两个正方形的面，表面积增加了 。 2.分割对体积的影响：体积不变，原立体图形的体积等于分割后所有小立体图形体积之和。如把一个长方体分割成三个小长方体，三个小长方体体积相加等于原长方体体积。 例题讲解 一、重合或者挖出立体的面积及体积 【例题1】计算下面立体图形的体积。（单位：cm） 【答案】560cm3 【分析】把立体图形分割成两部分，一个是长为10cm、宽为8cm、高为（10－6）cm的长方体，另一个是长为（10－5）cm、宽为8cm、高为6cm的长方体；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出两个长方体的体积，再相加，即是立体图形的体积。 【详解】如图： 10×8×（10－6）＋（10－5）×8×6 ＝10×8×4＋5×8×6 ＝320＋240 ＝560（cm3） 立体图形的体积是560cm3。 【例题2】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：238平方厘米；体积：199立方厘米 【分析】由图可知，长方体的长、宽、高分别为9厘米、5厘米、3厘米；正方体的棱长为4厘米。 该图形的表面积是由正方体的4个侧面积（因为正方体和长方体重叠部分不计入在内）和长方体表面积组成。长方体的表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），正方体4个面的面积为：S＝a×a×4（a为正方体的棱长），把数据分别代入公式计算后，再把结果相加即可得出该图形的表面积。 长方体的体积公式为V＝abh（a为长，b为宽，h为高），正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为棱长），把数据分别代入公式计算后，再把结果相加即可得出该图形的体积。 【详解】（9×5＋9×3＋5×3）×2 ＝（45＋27＋15）×2 ＝（72＋15）×2 ＝87×2 ＝174（平方厘米） 4×4×4＝64（平方厘米） 表面积：174＋64＝238（平方厘米） 9×5×3＝135（立方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 体积：135＋64＝199（立方厘米） 该图形的表面积是238平方厘米，体积是199立方厘米。 【例题3】求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：64cm2；体积：29cm3 【分析】由图可知，长方体挖去了一个棱长为1cm的正方体，少了2个边长为1cm的正方形面积，但又增加了4个边长为1cm的正方形面积，所以共增加了2个正方形面积。增加的面积为1×1＋1×1＝1＋1＝2cm2。已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式即可得到长方体表面积，再减去2即可得到整个图形的表面积。 长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，把数据代入公式可得到长方体体积，被挖去的正方体的棱长为1cm，根据正方体体积公式V＝a3，a为棱长，把数据代入公式可得到被挖去的正方体体积。再用长方体体积减去挖去的正方体体积即可解答。 【详解】表面积：1×1＋1×1＝1＋1＝2（cm2） （5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（cm2） 62＋2＝64（cm2） 体积：5×2×3＝30（cm3） 13＝1×1×1＝1（cm3） 30－1＝29（cm3） 该图形的表面积是64cm2，体积是29cm3。 二、已知面积求体积或者已知体积求面积 【例题1】有一个长方体，它的前面和上面的面积共是88平方厘米，并且长、宽、高都是质数，求它的体积是多少？ 【答案】165立方厘米 【分析】前面和上面两个面面积和为88，就是长×高＋长×宽＝88，长、宽、高都是质数，据此可确定，这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后再根据长方体体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】因为上面的面积＝长×宽，前面的面积＝长×高，所以长×（高＋宽）＝88； 11×8＝88 8＝3＋5 11×3×5 ＝33×5 ＝165（立方厘米） 答：这个长方体的体积是165立方厘米。 【例题2】一长方体的体积是385立方厘米，它的长，宽，高分别是不同的质数．①求这个长方体的总棱长？②求这个长方体的表面积？ 【答案】92厘米，334平方厘米 【详解】试题分析：先把114分解质因数，根据质因数情况确定长方体的长、宽、高，再求棱长和和长方体的表面积． 解：385=5×7×11， （5+7+11）×4， =23×4， =92（厘米）， （5×7+7×11+5×11）×2， =（35+77+55）×2， =167×2， =334（平方厘米）． 答：这个长方体的总棱长为92厘米．这个长方体的表面积为334平方厘米． 三、体积转换 【例题1】如图，一个长方体的玻璃缸，缸内有一些水，水深为5.4分米。在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，假山石的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】60立方分米 【分析】由题意可知，玻璃缸内空白部分的体积＝容器的底面积×空白部分的高度，在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，说明假山石的体积等于玻璃缸内空白部分的体积再加上溢出水的体积，据此解答。 【详解】10×8×（6－5.4） ＝10×8×0.6 ＝80×0.6 ＝48（立方分米） 12升＝12立方分米 48＋12＝60（立方分米） 答：假山石的体积是60立方分米。 【例题2】在一个棱长为5分米的正方体容器中，放入一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体铁块（完全浸没），此时水深4.3分米。如果将铁块从容器中取出，取出后水深多少分米？ 【答案】3.1分米 【分析】由题意可知，铁块的体积等于上升的水的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁块的体积，再用长方体铁块的体积除以正方体容器的底面积，求出铁块放入正方体容器中，上升部分的高度，再用放入铁块后的高度减去铁块放入正方体容器中上升部分的高度，即求出取出后水深度。 【详解】4×3×2.5 ＝12×2.5 ＝30（立方分米） 4.3－30÷（5×5） ＝4.3－30÷25 ＝4.3－1.2 ＝3.1（分米） 答：取出够水深3.1分米。 【例题3】有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】6.4厘米 【分析】已知一块正方体橡皮泥的棱长是8厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 把这块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出这个长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷（16×5） ＝512÷80 ＝6.4（厘米） 答：这个长方体的高是6.4厘米。 【例题4】在商城县的“大别山生态研学基地”，同学们正在观察一个特制的生态展示缸。这个密封的玻璃缸原本平放，缸内空间长6分米、宽2分米、高4分米，目前水深3分米。现在科考员小张将玻璃缸竖立放置后，那么缸里水深多少分米？ 【答案】4.5分米 【分析】已知长方体玻璃缸平放时，玻璃缸的底面是一个长6分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出此时玻璃缸的底面积；平放时水深3分米，根据长方体的体积＝底面积×高，求出水的体积； 再把玻璃缸竖立放置，水的体积不变，玻璃缸的底面变成一个长4分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出此时玻璃缸的底面积；再根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时缸里的水深。 【详解】水的体积： 6×2×3＝36（立方分米） 竖立放置后水的高度： 36÷（2×4） ＝36÷8 ＝4.5（分米） 答：缸里水深4.5分米。 【例题5】一块正方体钢坯的棱长是2分米，把它锻造成一块长方体钢坯，这块长方体钢坯的横截面是边长为5厘米的正方形，则这块长方体钢坯长多少米？如果每立方分米钢坯的质量是7.8千克，那么这块长方体钢坯的质量是多少千克？ 【答案】3.2米；62.4千克 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体钢坯的体积；由于体积不变；用正方体钢坯的体积÷长方体钢坯横截面的面积，进求出长方体钢坯的长度；再用长方体钢坯的体积×7.8，即可求出长方体钢坯的质量，据此解答，注意单位名数的换算。 【详解】2分米＝0.2米；5厘米＝0.05米 （0.2×0.2×0.2）÷（0.05×0.05） ＝（0.04×0.2）÷0.0025 ＝0.008÷0.0025 ＝3.2（米） 2×2×2×7.8 ＝4×2×7.8 ＝8×7.8 ＝62.4（千克） 答：这块长方体钢坯长3.2米，这块长方体钢坯的质量是62.4千克。 【例题6】如图：A地的面积是24平方米，B地的面积是16平方米，A地比B地高5米。把A地的土运到B地上面，使A，B两地同样高，这样B地可升高多少米？ 【答案】3米 【分析】根据题意可知，面积为24平方米，高为5米的长方体土堆的土，铺到面积为（24＋16）平方米地方，铺土的厚度就是B地可升高的高度，据此即可解答。 【详解】24×5÷（24＋16） ＝120÷40 ＝3（米） 答：这样B地可升高3米。 四、分割图形 【例题1】有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】375立方厘米 【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。 【详解】小正方体一个面的面积是： （平方厘米） 小正方体的棱长： 因为，所以小正方体的棱长是5厘米； 长方体体积为： （立方厘米） 答：原木料的体积是375立方厘米。 【例题2】如下图，把这个长方体左面沿长的方向截去5厘米之后，表面积减少40平方厘米，并且剩下部分是一个正方体。求原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】28立方厘米 【分析】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，剩下部分是一个正方体，说明长方体的宽和高相等，所以表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和，每个长方形的长是5厘米，宽是正方体的棱长。 已知表面积减少了40平方厘米，那么一个这样的长方形的面积是40÷4＝10平方厘米。又因为长方形的长是5厘米，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形的宽（即正方体的棱长）为10÷5＝2厘米。原来长方体的长比正方体的棱长多5厘米，所以原来长方体的长为2＋5＝7厘米。原来长方体的宽和高都等于正方体的棱长，即2厘米，根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和。 40÷4＝10（平方厘米） 10÷5＝2（厘米） 2＋5＝7（厘米） 7×2×2＝28（立方厘米） 答：原来长方体的体积是28立方厘米。 【例题3】如图，这是一个中间有孔的立体玩具，它是由8个棱长是2厘米的小正方体松木块粘拼而成的。已知每立方厘米松木的质量为0.55克，请计算这个立体玩具的质量。 【答案】35.2克 【分析】分析题目，这个立体玩具是由8个棱长是2厘米的小正方体组成，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出一个小正方体的体积，再乘8即可求出立体玩具的体积，最后用玩具的体积乘0.55即可得到玩具的质量。 【详解】2×2×2×8×0.55 ＝8×8×0.55 ＝64×0.55 ＝35.2（克） 答：这个立体玩具的质量是35.2克。 考点练习 一、重合或者挖出立体的面积及体积 1．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】408立方厘米 【分析】该图形由一个正方体和一个长方体组成，分别求出正方体体积和长方体体积，再相加得到总体积。根据正方体体积公式V＝a3（a是棱长），长方体体积公式V＝abh（a、b、h分别是长、宽、高）计算。 【详解】正方体体积：6×6×6＝216（立方厘米） 长方体体积：4×4×12＝192（立方厘米） 总体积：216＋192＝408（立方厘米） 图形的体积是408立方厘米。 2．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】224dm²；192dm³ 【分析】本题需要计算由3个相同小正方形拼成长方体的表面积和体积。需要明确长方体的长为4×3＝12dm，宽为4dm，高为4dm，再代入长方体的表面积和体积公式计算出结果。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。或者计算表面积时，看作由4个长12dm，宽4dm的长方形和2个边长为4dm的正方形组成；计算体积时看作由3个棱长为4dm的正方体组成的长方体。 【详解】（1）表面积：（12×4＋12×4＋4×4）×2 ＝（48＋48＋16）×2 ＝112×2 ＝224（dm²） 或4×4×2＋12×4×4 ＝32＋192 ＝224（dm²） （2）体积：12×4×4 ＝48×4 ＝192（dm³） 或4×4×4×3 ＝16×4×3 ＝64×3 ＝192（dm³） 图形的表面积是224 dm²，体积是192dm³。 3．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）。 【答案】表面积292cm2；体积280cm3 【分析】观察图形可知，立体图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的表面积－重合部分的面积，其中重合部分是2个5×4的面；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 立体图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】（10×5＋10×4＋5×4）×2＋（4×5＋4×4＋5×4）×2－5×4×2 ＝（50＋40＋20）×2＋（20＋16＋20）×2－5×4×2 ＝110×2＋56×2－5×4×2 ＝220＋112－40 ＝292（cm2） 10×5×4＋4×5×4 ＝200＋80 ＝280（cm3） 图形的表面积是300cm2，体积是280cm3。 4．计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】216平方厘米；189立方厘米 【分析】由平移可知，图形的表面积等于棱长为6厘米的正方体的表面积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可；图形的体积等于棱长为6厘米的正方体的体积减去棱长为3厘米的正方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 6×6×6－3×3×3 ＝36×6－9×3 ＝216－27 ＝189（立方厘米） 所以图形的表面积为216平方厘米，体积为189立方厘米。 5．计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【答案】205立方分米 【分析】组合图形的体积等于棱长为5分米的正方体的体积加上长为10分米、宽为8分米、高为1分米的长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】5×5×5＋8×10×1 ＝25×5＋80 ＝125＋80 ＝205（立方分米） 组合图形的体积是205立方分米。 6．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】240m2；192m3 【分析】先根据计算出完整表面积，再用同样的方法计算出挖去的长方体的上下面的面积，接着算出挖去的长方体的侧面积，最后用完整表面积减去挖去的上下面的面积再加上多出的挖去的长方体的侧面积即可；根据计算出完整体积，再用同样的方法计算出挖去的长方体的体积，最后相减即可。 【详解】5×5×2＋8×5×4－1×1×2＋1×8×4 ＝50＋160－2＋32 ＝240（） （） 7．计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【分析】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 8．如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这物体的表面积？ 【答案】198平方厘米 【分析】根据题意可知表面积减少了6个边长为2厘米正方形的面积，即减少的面积为：6×（2×2）＝24平方厘米；同时表面积也增加了12个长5厘米宽2厘米的长方形的面积，再从中去掉两个棱长2厘米的正方体的表面积，即增加的表面积为：12×（5×2）－6×（2×2）平方厘米；据此进行解答。 【详解】正方体木块上面： 减少了的面积：6×（2×2）＝24（平方厘米） 增加了的面积：12×（5×2）－2×6×（2×2）＝120－48＝72（平方厘米） 5×5×6－24＋72 ＝150－24＋72 ＝198（平方厘米） 答：这个物体的表面积是198平方厘米。 二、已知面积求体积或者已知体积求面积 1．王苼用一根铁丝做了一个体积是42立方厘米的长方体框架，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，如果用这根铁丝做一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【答案】96平方厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，这个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且都是质数，那么把42分解质因数即可得到长方体的长、宽、高。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据求出这根铁丝的长度，即正方体的棱长之和。正方体有12条棱，且长度都相等，用棱长之和除以12可以求出正方体的棱长。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此代入求得的棱长，求出它的表面积。 【详解】42＝2×3×7，长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米、7厘米。 （2＋3＋7）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米。 2．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209平方厘米，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 【答案】374立方厘米 【分析】前面和上面的面积之和是209平方厘米，即长×宽＋长×高＝209，且长、宽、高都是质数，据此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】长×宽＋长×高＝209 长×（宽＋高）＝209 209＝11×19 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，这样都有一个数是合数； 19＝2＋17＝3＋16＝5＋14＝7＋12＝11＋8＝13＋6，只有2和17都是质数。 所以这个长方体的长、宽、高分别11厘米，17厘米，2厘米。 11×2×17 ＝22×17 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 3．一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米。如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米。如果高增加4厘米，长和宽不变，它的体积增加52立方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】140平方厘米 【分析】一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米，根据长方体的体积，得出左右面的面积是24平方厘米；同理得出上下面和前后面的面积，再根据长方体的表面积＝（左面面积＋前面面积＋上面面积）×2。 【详解】48÷2＝24（平方厘米） 99÷3＝33（平方厘米） 52÷4＝13（平方厘米） （24＋33＋13）×2 ＝70×2 ＝140（平方厘米） 答：答：原长方体的表面积是140平方厘米。 三、体积转换 1．妈妈买了一些苹果，小明准备做实验测量其中一个苹果的体积。他先将600毫升水倒入长方体容器里，量得水深是8厘米，然后他将苹果浸入水中，发现有水溢出来，量得溢出的水是20毫升。请你算一算这个苹果的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，我们需要先求出长方体容器的底面积，因为已知倒入600毫升水时水深8厘米，根据长方体体积公式体积＝底面积×高，可推出底面积＝体积÷高，这里水的体积是600毫升（600立方厘米），水深8厘米，所以能算出容器底面积。然后，苹果浸入水中后，水面从8厘米上升到12厘米，上升了12－8＝4厘米，这部分水的体积加上溢出的20毫升水的体积就是苹果的体积。算出上升部分水的体积后，再加上溢出的水的体积，就得到苹果的体积，据此解答。 【详解】因为1毫升＝1立方厘米，所以600毫升＝600立方厘米 长方体容器的底面积：600÷8＝75（平方厘米） 水面上升的高度：12－8＝4（厘米） 上升部分水的体积：75×4＝300（立方厘米） 溢出的水的体积是20毫升，即20立方厘米 苹果的体积：300＋20＝320（立方厘米） 答：这个苹果的体积320立方厘米。 2．认真看图，想一想，你能计算出铁块的高度吗？ 【答案】8厘米 【分析】没放铁块时液体高度是8cm，放入铁块后液体高度变为10.5cm，那么液体上升的高度为：10.5－8＝2.5（cm），根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出放入铁块后液体上升部分的体积，这部分体积就是铁块的体积。再根据正方形的面积＝边长×边长，求出铁块的底面积，最后根据公式：长方体的高＝体积÷底面积，求出铁块的高度。 【详解】10×8×（10.5－8） ＝10×8×2.5 ＝200（cm3） 200÷（5×5） ＝200÷25 ＝8（cm） 所以铁块的高度是8cm。 3．一个长16厘米、宽4厘米、高20厘米的玻璃水缸中，原来水缸中水深10厘米，把一个正方体铁块放入后，水面上升到12厘米，正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】128立方厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块的体积等于放入正方体铁块后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【详解】16×4×（12－10） ＝16×4×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 答：正方体铁块的体积是128立方厘米。 4．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【答案】3分钟 【分析】把假山石刚好淹没，也就是此时空玻璃鱼缸内水面高度刚好到1.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，则此时玻璃鱼缸内：水的体积＋石头的体积＝6×4×1.5，其中石头的体积是6立方分米，进而将水的体积计算出来，又知水以“每分钟10立方分米的流量”向鱼缸注水，用除法即可算出所需要的时间。 【详解】假山石刚好淹没时，鱼缸内水的体积： 6×4×1.5－6 ＝24×1.5－6 ＝36－6 ＝30（立方分米） 30÷10＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 5．泥塑艺术是我国一种古老常见的民间艺术，它以黏土为原料，通过手工捏制成形。小希喜欢捏泥塑，她将一块棱长为4厘米的正方体黏土捏成了一个底面积为20平方厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】先算正方体体积，它棱长为4厘米，按正方体的体积公式：，得出体积为4×4×4立方厘米；黏土捏成长方体后体积不变，即正方体的体积就是长方体的体积，已知长方体的底面积为20平方厘米，根据，用长方体的体积除以长方体的底面积，就能得到长方体的高。 【详解】 （厘米） 答：捏成的长方体的高是3.2厘米。 6．小王同学想知道一个瓶子的容积，他先把这个瓶子装满水，然后将水倒入一个从里面量长20厘米，宽10厘米，高9厘米的长方体透明箱子，这时他测量水面的高度是4厘米，请问这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】800毫升 【分析】瓶子装满水，水的体积等于瓶子容积；将水倒入长方体箱子后，水的形状为长方体，体积可通过长方体体积公式计算。根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），长方体箱子长为20厘米，宽为10厘米，水面高度为4厘米。把数据代入公式计算即可。 【详解】20×10×4＝800（立方厘米） 800立方厘米＝800毫升 答：这个瓶子的容积是800毫升。 7．如图，一个密封的长方体水缸，长10厘米，宽8厘米，高15厘米，里面的水深1.2分米。小军不小心把水缸弄倒了，求现在水缸内水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】从左图可知，长方体水缸的长10厘米，宽8厘米，水深1.2分米即12厘米，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出水的体积； 把水缸弄倒后，水的体积不变。从右图可知，水缸的底面积变为（15×8）平方厘米；根据长方体的高h＝V÷S，求出此时水缸内水的深度。 【详解】1.2分米＝12厘米 水的体积： 10×8×12 ＝80×12 ＝960（立方厘米） 放倒后水的高度： 960÷（15×8） ＝960÷120 ＝8（厘米） 答：现在水缸内水深8厘米。 8．一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水，如图①。现一头抬高后如图②，AB＝4厘米。 如果这头再抬高，水面与玻璃缸口正好重合，如图③，这时CD的长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，水的体积始终保持不变。首先看题图②，玻璃缸长30厘米、宽15厘米，AB＝4厘米，此时水面到缸口高度为20－4＝16厘米，水的体积可通过类似长方体体积的思路计算，即把水的形状看作底为直角三角形、高为玻璃缸宽的柱体。然后在题图③中，水面与缸口重合，水的体积不变，用水的体积除以高，求出底面面积，根据直角三角形的面积，求出其底边，再用长方体玻璃缸的长，减去其底边，即可求出CD的长。据此解答。 【详解】计算水的体积： 30×（20－4）÷2×15 ＝30×16÷2×15 ＝480÷2×15 ＝240×15 ＝3600（立方厘米） 计算CD的长： 30－3600÷15×2÷20 ＝30－240×2÷20 ＝30－24 ＝6（厘米） 答：这时CD的长是6厘米。 9．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【详解】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 10．有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。将容器A中的一部分水倒入容器B，使得两个容器内水面高度相同。这时容器A和容器B中各有多少升水？ 【答案】0.8升；2升 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷两个容器底面积的和＝水面高度，再分别用两个容器的底面积×水面高度，即可求出两个容器中的水量，根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，统一单位即可。 【详解】（16×10×17.5）÷（16×10＋20×20） ＝2800÷（160＋400） ＝2800÷560 ＝5（厘米） 16×10×5＝800（立方厘米） 800立方厘米＝800毫升＝0.8升 20×20×5＝2000（立方厘米） 2000立方厘米＝2000毫升＝2升 答：这时容器A和容器B中各有0.8升、2升水。 11．一块如图所示的长方形地，已知甲地比乙地高50厘米，现在想把这块地推平整，要从甲地推下多少厘米厚的土填在乙地上？ 【答案】20厘米 【分析】观察上图可知，把长为60米、宽30米、高50厘米土堆平铺到长为100米、宽为30米的长方形地上面，50厘米减去铺的厚度即等于甲地推下的厚度，据此即可解答。 【详解】50厘米＝0.5米 60×30×0.5÷（100×30） ＝900÷3000 ＝0.3（米） 0.5－0.3＝0.2（米）＝20厘米 答：要从甲地推下20厘米厚的土填在乙地上。 12．一个容器由一个内空棱长10厘米的正方体和一个内空长20厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体组合形成（如图）。正放时（长方体在下面）水深10厘米，倒放时（正方体在下面，放平）水最深处多少厘米？ 【答案】17.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝长×宽×高计算出水的容积，根据倒置后水的容积不变计算水深即可。先判断出水的容积大于正方体的体积，则水深超过正方体的棱长，在长方体还有一部分水深。用水的容积减去正方体的体积，求出在长方体里面的水的容积，再除以长方体的底面积，即可求出此时长方体中的水深。用正方体的棱长加上此时长方体中的水深，求出水的总深度。 【详解】20×20×10 ＝400×10 ＝4000（立方厘米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（20×20） ＝3000÷400 ＝7.5（厘米） 10＋7.5＝17.5（厘米） 答：倒放时（正方体在下面，放平）水最深处17.5厘米。 四、分割图形 1．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】木块的表面积增加200平方厘米；每块长方体木块的体积250立方厘米 【分析】观察可知，表面积增加的是4个长是10厘米，宽是5厘米的长方形的面积；每块长方体的长是10厘米，宽是厘米，高是5厘米。根据长方形的面积＝长×宽，，代入数据计算即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） （15÷3）×10×5 ＝5×10×5 ＝250（立方厘米） 答：木块的表面积增加200平方厘米，每块长方体木块的体积是250立方厘米。 2．从一个大长方体上切下一个体积是126立方厘米的小长方体（如图）。剩下长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】294立方厘米 【分析】根据题意和图意可知，切下的小长方体的体积是126立方厘米，长为6厘米，根据“V÷h＝S”求出长方体的截面积； 剩下长方体的长是（20－6）厘米，根据“V＝Sh”求出剩下长方体的体积。 【详解】126÷6＝21（平方厘米） 21×（20－6） ＝21×14 ＝294（立方厘米） 答：剩下长方体的体积是294立方厘米。 3．“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】1024平方厘米 【分析】根据题意，这4个长方体龙泉印泥盒子按图中方式用彩纸包在一起，则组合成一个长（12×2）厘米、宽8厘米、高（5×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出至少需要彩纸的面积。 【详解】长：12×2＝24（厘米） 高：5×2＝10（厘米） （24×8＋24×10＋8×10）×2 ＝（192＋240＋80）×2 ＝512×2 ＝1024（平方厘米） 答：至少需要1024平方厘米的彩纸。 4．一个棱长为1米的正方体，沿长、宽、高分别切了2刀、3刀，4刀后，分成大小不等的60个小长方体。这60个小长方体的表面积之和是多少平方米？ 【答案】24平方米 【分析】由正方体的特征可知，正方体的6个面是完全相同的正方形，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长为1米的正方体的表面积是6平方米，每切一刀，总面积比原来增加2个切面的面积，即（1×1×2）平方米，因为分成60个小长方体，一共切（2＋3＋4）刀，进而求出增加的面积，最后加上原来正方体的表面积，据此解答。 【详解】大正方体的表面积：1×1×6＝6（平方米） 增加的面积：1×1×2×（2＋3＋4） ＝1×1×2×9 ＝2×9 ＝18（平方米） 6＋18＝24（平方米） 答：这60个小长方体的表面积之和是24平方米。 5．一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 【答案】72平方厘米；36立方厘米 【分析】根据图可知，若用三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，每一种切法就增加两个面，把三种切法增加的面积相加，即可求出长方体的表面积。 根据长×高×2＝36，长×宽×2＝24，宽×高×2＝12，据此求出长、宽、高，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体体积。 【详解】36＋24＋12 ＝60＋12 ＝72（平方厘米） 36÷2＝18，即长×高＝6×3； 24÷2＝12，即长×宽＝6×2； 12÷2＝6，即宽×高＝2×3； 长方体的长是6厘米，宽是2厘米，高是3厘米。 6×2×3 ＝12×3 ＝36（立方厘米） 答：原来长方体的表面积是72平方厘米，体积是36立方厘米。 6．在人工智能材料研发实验中，研究人员发现一种新型复合材料制成的长方体模型，该长方体模型正好可以锯成三个大小相等的小正方体模型。在切割过程中，它们的表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米。已知这种新型复合材料每平方厘米的成本为5元，若要制成这样的长方体模型，材料成本是多少元？ 【答案】630元 【分析】把一个长方体锯成三个大小相等的小正方体，需要锯2次。每锯1次增加2个正方形的面，那么锯2次就增加了2×2＝4个正方形的面。已知切割后表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米，这增加的36平方厘米就是4个正方形面的面积之和。那么一个正方形面的面积是36÷4＝9平方厘米。长方体由三个小正方体拼成，其表面积相当于14个小正方体的面（3×6－4＝14，三个小正方体共3×6＝18个面，拼接减少4个面），所以长方体表面积为9×14＝126（平方厘米）。每平方厘米成本5元，用126乘5即可解答。 【详解】2×2＝4（个） 36÷4＝9（平方厘米） 3×6＝18（个） 18－4＝14（个） 9×14＝126（平方厘米） 126×5＝630（元） 答：材料成本是630元。 7．如图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】观察图形可知，将大正方体切成8个下正方体后，看似增加了很多面，但是可以合在一起来分析，从图中可知切成如图8个小正方体只需要切3次，则增加3×2＝6个大面，因为表面积增加了216平方厘米，所以每个大正方形面积为216÷6＝36（平方厘米），所以原正方体棱长为36＝6×6，所以大正方体体积为6×6×6＝216（立方厘米） 【详解】3×2＝6 216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6 6×6×6＝216（立方厘米） 答：原来正方体的体积是216立方厘米。 8．下图是由若干个棱长1厘米的小正方体拼成的，它的表面积和体积各是多少？ 【答案】表面积168平方厘米；体积140立方厘米 【分析】观察图形可知，4个顶角处各少了一个小正方体，因为少正方体的地方各露出了3个面，所以这个立体图形的表面积与长6厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体的表面积相等；根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据求解。 立体图形的体积＝长6厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体的体积－4个棱长1厘米的小正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【详解】表面积： （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 体积： 6×6×4－1×1×1×4 ＝144－4 ＝140（立方厘米） 答：它的表面积是168平方厘米，体积是140立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $