第6章 平面图形的初步认识 习题课件 2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“直线、射线、线段”核心知识点，涵盖概念、性质及作图内容。通过墨斗弹线（数学文化）、银杏叶周长（生活实例）导入，搭建生活与数学的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计（夯实基础到发展素养），融入数学文化与实际应用。如墨斗问题培养数学眼光观察现实世界，银杏叶周长问题发展模型意识，规律探究题提升推理能力。助力学生深化理解，为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。

第6章 平面图形的初步认识 6.3 相交线 第3课时 垂线段 1 1.［2025常州新北区期末］在下列图形中，线段的长度表示点 到直 线 的距离的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2. 如图， 点表示一个村 庄， 表示一条河道．某测绘队在河道路线 上的点进行测量，测量角度 与线段 的长度如表所示： 度数 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 长度 693 586 549 550 570 620 则下面说法正确的是( ) B A.村庄到河道距离等于 B.村庄到河道距离小于 C.村庄到河道距离大于 D.村庄到河道距离等于 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.如图，现要从幸福小区修建一条连接街道 的 最短小路，过点作于点，沿 修建道 路就能满足小路最短，这样做的依据是___________ _________________________________________. 直线外一点 与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 返回 1 夯实基础 4 （第4题） 4.［2025无锡滨湖区期末］如图，于点 ， 于点，则到 的距离是___________， 到的距离是____________，到 的距离 是____________，到 的距离是____________． 线段的长 线段的长 线段的长 线段的长 返回 1 夯实基础 5 5.（8分）如图，在直线的异侧有， 两点，按要求画图取点，并 注明画图取点的依据. 1 夯实基础 6 （1）在直线上取一点，使线段 最短．依据是________________ __________. 过作， 垂足为点 解：如图. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短 1 夯实基础 7 （2）在直线上取一点，使 最短．依据是______________ ______. 连接交 于点 解：如图.两点之间，线段最短 返回 1 夯实基础 8 6.（14分）如图，是的边 上一点. （1）过点画的垂线，垂足为 ； 解：如图. 1 夯实基础 9 （2）过点画的垂线，交于点 ； 解：如图. （3）点到直线 的距离是线段____的长度； 1 夯实基础 10 （4）比较与 的大小，并说明理由. 解： ， 因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 所以，，所以 . 返回 1 夯实基础 11 7.［2025宿迁宿豫区模拟］如图，点处是一个工厂，直线 是一条河 流，且,是工厂的两个取水点，测得, ．现 要在河流上找一点，使点到点 的距离最短，则该距离可能为( ) D （第7题） A. B. C. D. 返回 2 提升能力 12 （第8题） 8. 如图，在三角形 中， ，，，，为直线 上 一动点，连接，则线段 长度的最小值是( ) C A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 返回 2 提升能力 13 （第9题） 9.如图，，垂足是点， ， ，，点是线段 上的一个动点， 连接，那么 长的范围是____________． 返回 2 提升能力 14 10.（8分） 如图，平原上有 ，，， 四个村庄，为解决当地缺水问题， 政府准备投资修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 点的位置，使它到四个 村庄距离之和最小； 解：如图，连接，交于点，则点 为蓄 水池位置，它到四个村庄距离之和最小. 2 提升能力 15 （2）计划把河水引入蓄水池 中，简述怎样开渠最短并说明根据. 解：如图，过作，垂足为 . 沿 开渠最短，依据是“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”. 返回 2 提升能力 16 11.（12分）已知：点为直线上一点，过点作射线 ， . （1）如图①，求 的度数； 解：因为 ， 所以 . 3 发展素养 17 （2）如图②，过点在直线下方作射线，使，作 的平分线，求 的度数； 解：由（1）知 ， 因为，所以 ， 所以 . 因为是 的平分线， 所以 ， 所以 . 3 发展素养 18 （3）如图③，在（2）的条件下，作射线，若与 互余， 求 的度数. 解：由（2）知 ， 因为与 互余， 所以 ， 所以 . 3 发展素养 19 ① ①当射线在 内部时，如图①， ； ② ②当射线在 外部时，如图②， . 综上所述，的度数为 或 . 返回 3 发展素养 20 $第6章 平面图形的初步认识 6.5 多边形 1 1.[2025连云港赣榆区月考]下列说法中错误的是( ) D A.多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B.四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C.多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D.各边都相等的多边形是正多边形 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.如图，下列关于外角的说法正确的是( ) D A.是 的外角 B.是 的外角 C.是 的外角 D.是 的外角 返回 1 夯实基础 3 3.[2025南京浦口区模拟]四边形没有稳定性，当用四根木棒围成的四边 形的形状发生改变时，发生变化的是( ) D A.四边形的内角和 B.四边形的边长 C.四边形的周长 D.四边形的对角线长 返回 1 夯实基础 4 4.如图，若 ， ，则 的度数为_____. （第4题） 返回 1 夯实基础 5 5.一个正多边形的周长是120，边长是10，则这个正多边形的边数是____． 12 返回 1 夯实基础 6 6.（6分）若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2 倍，求此多边形的边数. 解：设此多边形有条边，由题意，得 , 解得 ，所以此多边形的边数是6. 返回 1 夯实基础 7 7.（6分）如图，在中，是 的平分线， ， ．求 的度数. 解：因为 ，所以 . 又因为 ， ， 所以 . 因为是 的平分线， 所以 ， 在中， . 返回 1 夯实基础 8 （第8题） 8.如图，在中， ， ，则 为( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 返回 2 提升能力 9 9.一副三角板按如图叠放在一起，则 的度数是______． （第9题） 返回 2 提升能力 10 10.一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为_____ ____. 6或7 或8 返回 2 提升能力 11 （第11题） 11.如图，从一个多边形的某个顶点 出发，分别连接这个顶点与其余各 顶点，可以把这个多边形分割成若 干个三角形. （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测 边形可以分割成的三角形的个数是______； （2）若一个多边形按以上方法可分割成2 025个小三角形，则该多边形 的边数为_______. 2 027 返回 2 提升能力 12 12.（14分） 某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“ 边形 共有多少条对角线”这一问题时，设计了如图和如下表 格．请你完成探究过程并解决问题： 3 发展素养 13 （1）请在表格中的横线上填上相应的结果； 多边形的边数 4 5 6 … 从多边形的一个顶点出 发的对角线条数 1 2 ___ … ______ 多边形对角线的总条数 2 5 ___ … _ ______ 3 9 （2）十边形有____条对角线； 35 3 发展素养 14 （3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所 得的三角形个数的和能为2 025吗？若能，请求出这个多边形的边数； 若不能，请说明理由. 解：能. 设这个多边形的边数为 ， 由题意得 ， 解得 ， 所以这个多边形的边数为1 015. 返回 3 发展素养 15 $第6章 平面图形的初步认识 6.4 平行线 第2课时 利用“同位角相等”判定两直 线平行 1 （第1题） 1.[2025南京秦淮区期末]风筝是中国古代劳动 人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断 改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸 鸢”．如图所示的纸鸢骨架中，与 互为同 位角的是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.如图，直线，被直线所截， ，下列条件 能判定 的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 3 3.若与是同位角， ，则 ( ) D A. B. C. 或 D.不确定 返回 1 夯实基础 4 4.如图， （第4题） （1）与 是直线___、___被直线___所截成的同位角； （2） 与__________是同位角． ， 返回 1 夯实基础 5 （第5题） 5.[2025常熟期末]如图是过直线外一点作已知直线的平 行线的方法，其依据是_________________________． 同位角相等，两直线平行 返回 1 夯实基础 6 （第6题） 6.[2025盐城大丰区期末]如图，在 的延长线 上，从 可以判定____//____，这是因 为相等的两角是直线____和____被直线____所截 而成（与直线____无关）的同位角，判定平行的 根据是________________________． 同位角相等，两直线平行 返回 1 夯实基础 7 7.（6分）如图， ， ， 与 平行吗？为什么？ 解：与 平行， 因为 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 返回 1 夯实基础 8 8.（6分） 已知直线 及直线 外一点，过点作直线，使直线 . 解：如图，（1）在直线上取一点，作射线 ； （2）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点， ； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点 ； （4）以点为圆心，长为半径作弧，与弧交于点 ； 1 夯实基础 9 （5）作直线.则直线即为所求的直线 . 返回 1 夯实基础 10 （第9题） 9.[2025扬州邗江区模拟]如图，下列说法正确的是( ) C A.和不是同位角 B.和 是同位角 C.和是同位角 D.和 是同位角 返回 2 提升能力 11 10.如图所示绑在一起的木条，，．若测得 ， ， 要使木条，木条 至少要顺时针旋转_____. （第10题） 返回 2 提升能力 12 11.（6分）如图，平分， ， ，与 平行吗？试说明理由. 解： . 理由：因为平分， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 返回 2 提升能力 13 12.（6分） 如图所示，直线， 表示一条小河的 两条河岸线，小明和小刚想利用数学知识判断这里两条河岸线是否平行， 两人现在分别在小河的两侧，每人手中各有两根标杆和一个测角仪，请 你帮他们想想办法. 2 提升能力 14 解：如图所示， 在，，，处竖立四根标杆，且,,, 在同一 直线上，,分别在,上.用测角仪测量 和 的度数，若 ,由 ,可得此时 , 则与 平行，否则不平行.（答案中唯一） 返回 2 提升能力 15 13.（8分）如图，，在直线 上，已 知，， ， . （1）与 平行吗？为什么？ 解：.理由：因为 ， ， 所以，所以 . （2）与 平行吗？为什么？ 解：.理由：因为， ， 所以 ， ，因为 ， ， 所以 ，所以 . 返回 3 发展素养 16 $第6章 平面图形的初步认识 6.4 平行线 第3课时 利用“内错角相等”或“同旁内 角互补”判定两直线平行 1 1.[2024兰州]如图，小明在地图上量得 ，由此判断幸福大街与平 安大街互相平行，他判断的依据是( ) B （第1题） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.[2025南京期末]如图，下列条件中： ， ， ， ．能判断 的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 1 夯实基础 3 3.（1）如图，直线____，____被直线____所截，和 是内错角； （第3题） （2）如图，直线____，____被直线____所截，和 是同位角； （3）如图，直线____，____被直线____所截，和 是同旁内角． 返回 1 夯实基础 4 4.如图，请阅读以下说明过程，并补全所空内容. （第4题） （1）因为 （已知），所以____//____ （内错角相等，两直线平行）； （2）因为 （已知），所以____//____ （内错角相等，两直线平行）； （3）因为 （已知），所以____//____ （同位角相等，两直线平行）； 1 夯实基础 5 （4）因为 ___ _________________（已知），所以 （内错角相等，两直线平行）； （5）因为 ___ ____________________ （已知），所以 （同旁内角互补，两直线平行）． 5（答案不唯一） （答案不唯一） 返回 1 夯实基础 6 5.（6分）如图所示，已知，平分，与 平行吗？ 为什么？ 解：.理由：因为平分 ， 所以 ， 因为，所以，所以 . 返回 1 夯实基础 7 6.（6分）[2025泰州姜堰区月考]如图， ， ， 与 平行吗？为什么？ 解：.理由：因为， ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 返回 1 夯实基础 8 7. 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行 驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是( ) D A.第一次向左拐 ，第二次向右拐 B.第一次向左拐 ，第二次向右拐 C.第一次向左拐 ，第二次向右拐 D.第一次向左拐 ，第二次向左拐 返回 2 提升能力 9 8.如图， （第8题） （1）和 是直线____和____被直线____所截而成的______角； （2）能用图中数字表示的 的同旁内角是_________； （3）图中与 是同旁内角的角有___个. 内错 ， 3 返回 2 提升能力 10 9.如图， ，那么图形中的平行线有_________． CD与 （第9题） 返回 2 提升能力 11 （第10题） 10. 如图，直线上有两点， ，分 别引两条射线，， ， ，射线，分别绕点， 点以1度/ 秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线 转动一 周的时间内，所有满足与 平行的时间为 _____________． 秒，秒 返回 2 提升能力 12 11.[2025北京期末]已知，如图，，， 分别平分 与，且．试说明： ．（请根据条件进行推 理，得出结论，并在括号内注明理由） 返回 2 提升能力 13 解：因为，分别平分与 （已知）， 所以， （________________）. 因为 （______）， 所以 ___ ___（等量代换）. 因为 （______），所以 ___（__________）. 所以____//____（________________________）. 角平分线的定义 已知 1 2 已知 3 等量代换 内错角相等，两直线平行 返回 2 提升能力 14 12.（8分）如图，，分别平分和 ， 且 ，与 平行吗？为什么？ 解：平行.理由：因为，分别平分 和 ，且 ， 所以易得 ， 因为 ， 所以，所以 . 返回 3 发展素养 15 $第6章 平面图形的初步认识 6.2 角 第1课时 角的概念与度量 1 1.下列图形中，能用，， 三种方法表示同一个角的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 2.用一个放大10倍的放大镜看一个 的角，看到的角的度数是( ) B A. B. C. D.无法确定 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.［2025南京栖霞区期末］如图，在 内部作了一 条射线，下列说法错误的是( ) B A.不可以用 表示 B.这条射线记作射线 C.与 是同一个角 D. 返回 1 夯实基础 4 4.如图，将表中的角用不同方法表示出来： （第4题） ____ ___________ _______ ____________ _______ 或 或 返回 1 夯实基础 5 5.如图，以 为顶点的角有___个（不含平角），能用一个字母表示的角 是____，以 为顶点的角是______________（不含平角）. 4 ， （第5题） 返回 1 夯实基础 6 6.1个周角___个平角 ___个直角. 2 4 返回 1 夯实基础 7 7.（1）_____ ； （2）用度、分、秒表示 为___________； （3）［2025淮安期末］计算： ______． 5.14 返回 1 夯实基础 8 8.把一副三角板按如图所示方式拼在一起，则 _____． （第8题） 返回 1 夯实基础 9 9.（16分） 计算： （1） ； 解： ； （2） ； 解： ； （3） ； 解： ； （4） . 解： . 返回 1 夯实基础 10 10.若，， ，则( ) A A. B. C. D. 返回 2 提升能力 11 11.［2025无锡梁溪区期末］如图，，， 是同一直线上的三点， ，，是从点引出的三条射线，且 ， 则____ . 60 （第11题） 返回 2 提升能力 12 12.［2025南京玄武区月考］如图，将三个大小相同的正方形的一个顶 点重合放置，如果 ， ，那么的度数是____ . 15 （第12题） 返回 2 提升能力 13 13.（8分）如图，，，， 分别表示北、南、西、东， ，表示北偏西 ，表示北偏东 . 2 提升能力 14 （1）请在图中画出表示南偏西 的射线 和表示东南方向的射线 ； 解：射线, 如图所示. 2 提升能力 15 （2）通过计算判断射线 表示的方向. 解：因为 ，表示北偏西 ， 所以 ， 所以射线表示的方向为北偏东 . 返回 2 提升能力 16 14.（10分） 问题一： 甲、乙两车分别从相距的, 两地 出发，甲车速度为，乙车速度为 ， 两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， __________后两车相距 . 或 3 发展素养 17 问题二： 将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形钟表 的表面上，表示时针，表示分针（ 为两针的旋转中心）．下午3 点时，与 成直角.回答下列问题： （1）3：40时，时针与分针所成的角度为______； （2）分针每分钟转过的角度为___，时针每分钟转过的角度为_____； 3 发展素养 18 （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分 针成 角？ 解：设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过 ，时针与分针 成 角. ①当分针在时针上方时，由题意，得，解得 ； ②当分针在时针下方时， 由题意，得,解得 . 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或 ，时 针与分针成 角. 返回 3 发展素养 19 $第6章 平面图形的初步认识 6.4 平行线 第1课时 平行线的概念 1 1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ) C A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.［2025无锡滨湖区模拟］如图，在同一平面内， 经过直线外一点的4条直线中，与直线 相交的 直线至少有( ) B A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.如图，已知，，所以点 ， ， 三点共线的理由为__________________ ___________________________． 过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行 返回 1 夯实基础 4 4.如图，在长方体中，与线段 平行的线段有___条. 3 （第4题） 返回 1 夯实基础 5 5.（8分）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画 “平行线段”这种基本作图方法，此图是字母“ ”. （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出 一组平行线段，并用字母表示出来； 解：正面：；上面：；右侧： .（答案不唯一） （2）与有何位置关系，与 有何位置关系？ 解：， . 返回 1 夯实基础 6 6.（12分）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点 叫作格点，点，， 均在格点上．按下列要求画图： 1 夯实基础 7 （1）画射线 ； 解：如图，射线 即为所求. 1 夯实基础 8 （2）过点画的平行线 ； 解：如图， 即为所求. 1 夯实基础 9 （3）在线段上作一点，使得 . 解：如图，点 即为所求. 返回 1 夯实基础 10 7.［2025无锡梁溪区月考］下列说法中：①若,，则 ；② 若与相交，与相交，则与 相交；③相等的角是对顶角；④过一 点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有( ) C A.①② B.②③ C.②③④ D.③④ 返回 2 提升能力 11 8.若,, 是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有( ) B A.1个或2个或3个 B.0个或1个或2个或3个 C.1个或2个 D.以上都不对 返回 2 提升能力 12 9. 已知方格纸中线段、线段 和线段 ，如图所示．下列四位同学的观察结论 正确的有( ) 甲同学：；乙同学：和 互余;丙 C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 同学：线段的长为点到直线的距离；丁同学：线段 的长为点 到直线 的距离. 返回 2 提升能力 13 10.（12分）如图所示，在内有一点 . 2 提升能力 14 （1）过点画 ； 解：如图所示. 2 提升能力 15 （2）过点画 ； 解：如图所示. （3）用量角器量一量与相交的角与 的大小有怎样关系. 解：与相交的角有四个：，，，； ， ， ,所以和相交的角与 相等或互补. 返回 2 提升能力 16 11.（16分） 平面上有7条不同的直线，如果其中任何 三条直线都不共点. （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交 点个数. 解：如图①所示，交点共有6个.（答案不唯一） 3 发展素养 17 （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）. 解：如图②③.（答案不唯一） 3 发展素养 18 （3）你能否画出各直线之间的交点个数为的图形，其中 分别为6， 21，15？ 解：当 时，必须有6条直线平行，都与第7条直线相交，如图④； 当 时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线 平行）如图⑤； 当 时，如图⑥.（答案不唯一） 3 发展素养 19 （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能 发现什么规律？ 解：画图略.当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以 下规律：①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，② 当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这时交点最多.（合理即可） 返回 3 发展素养 20 $第6章 平面图形的初步认识 6.2 角 第3课时 角的大小比较 1 1.如图所示， 等于( ) D （第1题） A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.［2025盐城亭湖区月考］如图，正方形网格中有 和 ，如果每个小正方形的边长都为1，那 么 与 的大小关系为( ) A A. B. C. D.无法确定 返回 1 夯实基础 3 3.已知射线在内部，下列说法不能确定射线是 的平分 线的是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 4 4.如图，点在直线上，射线平分，若 ，则 ______． （第4题） 返回 1 夯实基础 5 5.如图， ， ，则 ______． （第5题） 返回 1 夯实基础 6 6. 在同一平面内， ， ，则 的度数为____________． 或 返回 1 夯实基础 7 7.（6分） 如图， ， ，平分，求和 的度数. 解：因为 ，平分 ， 所以 . 因为 ，所以. 返回 1 夯实基础 8 8.（6分） 如图，已知 和 ，利用直尺和圆规作一个角， 使它等于 ． 解：作，在 内部 作，如图， 即为 所求. 返回 1 夯实基础 9 9.如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合 放置，则 ， ， 三个角的数量关系为( ) C A. B. C. D. 返回 2 提升能力 10 10.如图①是的纸片，平分，如图②，沿 对折 成（与重合），从点引一条射线，使 ， 再沿把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为 ，则 ______. 返回 2 提升能力 11 11.已知 ，是的平分线， ， 是 的平分线，则 的度数为___________. 或 返回 2 提升能力 12 12.（10分）已知，射线在的内部，射线是 靠 近的三等分线，射线是靠近 的三等分线. 2 提升能力 13 （1）如图，若 ，平分 . ①补全图形； 解：依题意补全图形如图. ②填空： 的度数为_____； 2 提升能力 14 （2）探求和 的数量关系. [答案] 因为射线是靠近的三等分线，射线是 靠近 的三等分线， 所以， ， 所以，即和的数量关系为 . 返回 2 提升能力 15 13.（8分） 已知是过点的一条射线，， 分别 平分， . （1）如图①，如果射线在的内部， ，那么 _____； （2）如图②，如果射线在的内部， ，那么 _____； 3 发展素养 16 （3）如果射线在的外部， ，请借助图③探究 的度数. 解：分两种情况： ①如图①， 因为，分别平分， ， 所以， ，所以 ，所以 ； 3 发展素养 17 ②如图②， 因为，分别平分，，所以 ， ， 所以 ， 所以 . 综上所述，的度数为 或 . 返回 3 发展素养 18 $第6章 平面图形的初步认识 6.4 平行线 第4课时 平行线的性质 1 （第1题） 1.[2024重庆]如图，， ，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 2.[2025扬州邢江区期末]如图，下列判断中错误的是( ) C （第2题） A.因为，所以 B.因为，所以 C.因为，所以 D.因为，所以 返回 1 夯实基础 3 3.如图, （第3题） （1）若，则 ____（__________________ _______）； 两直线平行，同位 角相等 （2）若，则 ____（__________________ _______）； 两直线平行，内错 角相等 （3）若，则____ （________ ___________________）.（括号内填依据） 两直线 平行，同旁内角互补 返回 1 夯实基础 4 4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 ，则 的度数为 _____. （第4题） 返回 1 夯实基础 5 5.（8分）如图，直线分别与直线， 相交于 点，，平分，若 ，且 . （1）直线与 平行吗？为什么？ 解：直线与 平行，理由：如图， 因为， ， 所以 ， 所以 . 1 夯实基础 6 （2）求 的度数. 解：因为，所以 . 又因为平分，所以 ， 所以 ，所以 . 返回 1 夯实基础 7 6.（8分）[2025泰州模拟]已知：如图， ， . （1）判断与 的位置关系，并说明理由； 解：.理由如下：因为 ，所以 ， 所以.因为 ， 所以 ，所以 . 1 夯实基础 8 （2）若 ， 求 的度数. 解：因为,， , 所以 , . 因为 ,所以 . 所以 . 返回 1 夯实基础 9 （第7题） 7.如图，已知，则，， 三者之 间的关系是( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升能力 10 （第8题） 8.[2025泰州姜堰区模拟]光线在不同介质中的 传播速度是不同的，因此当光线从水中射向 空气时，要发生折射，由于折射率相同，所 以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，两条平行光线由水中射入空气中，直 线与水面平行， ，则 的度数为_____． 返回 2 提升能力 11 9.[2025连云港期末]如图①，已知长方形纸片，将纸片沿 折叠 后，点，分别落在，的位置，再沿 折叠成图②，若 ，则____ ． 72 （第9题） 返回 2 提升能力 12 10.（8分）如图，已知，在 上， 于点， . （1）与 相等吗？为什么？ 解：相等.理由：因为 ， 所以，所以 . 2 提升能力 13 （2）试求出 的度数. 解：因为，所以 ， 因为， ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 即 . 返回 2 提升能力 14 11.（12分）[2025徐州模拟]如图，已知点，在直线上，点 在线段 上，与交于点，， . （1）与 平行吗？为什么？ 解：平行.理由：因为，所以 . 3 发展素养 15 （2）试判断与 之间的数量关系，并说明理由. 解： . 理由：因为，所以 ， 又因为，所以 ， 所以，所以 . 3 发展素养 16 （3）若 ， ，求 的度数. 解：因为 ， ， 所以 . 又因为，所以 . 又因为，所以 ， 所以 . 返回 3 发展素养 17 $第6章 平面图形的初步认识 6.1 直线、射线、线段 第1课时 直线、射线、线段的概念 1 1.直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 2.［2025南京江宁区月考］如图，下列语句描述正确的是( ) （第2题） A A.点在直线上 B.点是直线 的一个端点 C.点在射线上 D.射线和射线 是同一条射线 返回 1 夯实基础 3 3.如图所示，图中有___条直线，是________，图中共有___条射线，它 们中能用图中字母表示的有__________________________，图中共有___ 条线段，它们是__________________________． 1 直线 6 射线，射线，射线 3 线段，线段，线段 （第3题） 返回 1 夯实基础 4 （第4题） 4. 如图，墨斗被认为是“百作手艺 祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记 的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人 墨客心中正直的化身．经过刨平的木板上的两个 点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条 两点确定一条直线 墨线，能解释这一实际应用的数学知识是___________________． 返回 1 夯实基础 5 5.［2025宿迁期末］金秋十月，南京清凉山公园色彩斑斓．小明同学捡 到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长 比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是__________ __________． 两点之间， 线段最短 （第5题） 返回 1 夯实基础 6 6.（8分） 如图，，，， 四点不在同一直线上， （1）画射线，直线，连接， ； （2）延长，交射线的反向延长线于点 . 解：如图. 返回 1 夯实基础 7 7.下列写法正确的是( ) C A.直线，交于点 B.直线，交于点 C.直线，交于点 D.直线，交于点 返回 2 提升能力 8 8.平面上有三点，经过其中任意两点画一条直线，共可画( ) D A.一条直线 B.两条直线 C.三条直线 D.一条或三条直线 返回 2 提升能力 9 9.［2025南京栖霞区期末］两个小朋友欣欣和希 希在捉迷藏，欣欣站在图中的点 处，没有看到 希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可 能躲藏的位置是点______处（图中带斜线部分为 足够高且不透明的障碍物）． 或 返回 2 提升能力 10 10.（12分）如图，平面上有四个点，，， ．按要求完成下列问题： 2 提升能力 11 （1）连接， ； 解：如图所示. 2 提升能力 12 （2）画射线与直线 ； 解：如图所示. 2 提升能力 13 （3）在图中找到一点，使它到,,, 四点的距离之和最小. 解：如图所示，连接,，交于点，则点 为所求作. 返回 2 提升能力 14 11. 【问题情境】如图①，直线 上有2个点，则图中有 2条可用图中字母表示的射线，有1条线段； （1）如图②，直线 上有3个点，则图中有___条可用图中字母表示的射 线，有___条线段； 4 3 3 发展素养 15 【初步探究】 （2）如图③，直线上有 个点，则图中有_________条可用图中字母表 示的射线，有_ ______条线段； 【拓展应用】 （3）利用发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准 备进行循环赛（即每两班之间赛一场），预计全部赛完共需____场比赛； （4）往返于， 两地的客车，中途停靠四个站（任意两站之间距离不 等），共有____种不同的票价，要准备____种车票. 15 15 30 返回 3 发展素养 16 $第6章 平面图形的初步认识 6.3 相交线 第2课时 垂直 1 1.［2025扬州一模］过直线外的点画直线 的垂线，下列各图中，三角 板摆放的位置正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.如图，已知直线与直线相交于点 ，下列条件 中不能说明 的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.［2024北京］如图，直线和相交于点 ， ，若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 4 4.［2025宿迁期末］在同一平面内，直线，，则直线 与 重合，理由是_____________________________________________ _______． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直 返回 1 夯实基础 5 5.（8分） 如图，为直线 上一 点，平分，于点 . （1）若 ，求 的度数； 解：因为 ，平分，所以 ， ， 所以 . 1 夯实基础 6 （2）试判断是否平分 ，并说明理由. 解：平分 ,理由如下： 因为平分，所以 . 因为于点，所以 ， 所以 ， ， 所以，所以平分 . 返回 1 夯实基础 7 6.（8分）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图. 1 夯实基础 8 （1）过点作射线的垂线，垂足为点 ； 解：如图，直线 即为所求. 1 夯实基础 9 （2）过点作射线的垂线，交射线于点 . 解：如图，直线 即为所求. 返回 1 夯实基础 10 （第7题） 7.甲,乙,丙共同完成这样一道题目：“直线， 相交于点，平分，，垂足为 （如图所示）．若 ，请用含 的代数式 表示，， 中任意两个角的度数．” 甲的结果是 ， ；乙 D A.甲对，乙错 B.甲和乙都错 C.乙和丙都对 D.乙对，丙错 的结果是 ，； 丙的结果是 ，． 下列判断正确的是( ) 返回 2 提升能力 11 8.如图，直线，相交于点，平分， 为平面上一点，且 ，若 ，则 ____________. 或 （第8题） 返回 2 提升能力 12 （第9题） 9. 如图，为了探清一口深井的底部情况，在井 口放置一面平面镜可改变光路，此时 ，当太 阳光线与地面所成夹角 时，要使太阳 光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整 平面镜与地面的夹角 _____． 返回 2 提升能力 13 10.如图，已知直线，相交于点，平分， . （第10题） （1）如果 ，则 ______， _____； （2）如果，则 _________（用含 的代数式表示）； （3）图中与 互余的角有_____________. , 返回 2 提升能力 14 11.（12分） 如图，点 在直线 上，点，与点，分别在直线 两侧，且 ， . （1）若平分，求 的度数； 解：因为平分 ， 所以 . 因为 ，所以 . 3 发展素养 15 （2）在（1）的条件下，平分，过点作射线 ，求 的度数； 解：当在 下方时，如图①， 因为平分， ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 3 发展素养 16 当在 上方时，如图②， 因为平分， ， 所以 . 因为，所以 . 因为 ， ， 所以 . 综上，的度数为 或 . 3 发展素养 17 （3）若在内部作一条射线，若 ， ，试判断与 的数量关系. 解：如图③,设 ，则 ， 所以. 因为，所以 , 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 返回 3 发展素养 18 $第6章 平面图形的初步认识 6.3 相交线 第1课时 对顶角 1 1. 下列各图中，与 是对顶角的为( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.［2024日照］如图，直线，相交于点 ．若 ， ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.小豆同学周末去香山踏青，看到了一座 色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔．为了测 量古塔底部的 的度数，小豆设计了 如下测量方案：作，的延长线 ， ，量出的度数，从而得到 的度数．这个测量方案的依据是________ _________________． 两直线 相交，对顶角相等 返回 1 夯实基础 4 4.如图，直线和直线相交于点，若 ，则 的 度数是______． （第4题） 返回 1 夯实基础 5 5.如图，直线，，相交于点，则 ______． （第5题） 返回 1 夯实基础 6 6.（6分）如图，直线，相交于点 ， ，平分 ，若 ，求 的度数. 解：因为 ， ， 所以 .因为 ，所以 . 所以 . 因为平分，所以 . 返回 1 夯实基础 7 7.（8分）［2025南京秦淮区期末］如图，直线 ， 相交于点，已知 ， . （1）求 的度数； 解：设，则 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 则 ，所以 . 1 夯实基础 8 （2）若平分，与 相等吗？为什么？ 解：相等.理由：因为 ，所以 .因为 平分 ，所以 ，所以 . 返回 1 夯实基础 9 （第8题） 8.［2025常州武进区期末］将两根长方形木条 , 按如图所示放置，固定木条，转动木条 ， 若减小 ，则下列说法正确的是( ) C A.减小 B.增大 C.增大 D.和 的和不变 返回 2 提升能力 10 （第9题） 9.如图，直线,相交于点，平分， 平分．若的度数为 ．则 ________．（用含 的代数式表示） 返回 2 提升能力 11 （第10题） 10.［2025泰州海陵区模拟］如图，直线, 相交 于点．已知 ，把 分成两个角， 且，将射线绕点 逆时针旋转 到，当 时， 的 度数是____________. 或 返回 2 提升能力 12 11.（8分）如图，直线与相交于点，射线在 的内部， . 2 提升能力 13 （1）如图①，当 时，请写出与 互余的角，并说明理由； 解：与互余的角为 .理由： 因为， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 即与 互为余角. 2 提升能力 14 （2）如图②，若平分，求 的度数. 解：因为平分 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 即 . 返回 2 提升能力 15 12.（8分） 如图①，已知射线在 内，若满足 ，则称射线为与 的“互补线”. 3 发展素养 16 （1）如图②，已知点是直线 上一点，射线 ,在直线同侧，且射线平分 ．试 说明：射线为与 的“互补线”； 解：因为射线平分 ，所以 . 因为 ，所以 ， 所以射线为与 的“互补线”. 3 发展素养 17 （2）如图③，已知直线,相交于点，射线为与 的 “互补线”，若 ，求 的度数. 3 发展素养 18 解：因为射线为与 的“互补线”， 所以 . 又因为 ， 所以 . 因为 ，且 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 . 返回 3 发展素养 19 $第6章 平面图形的初步认识 6.1 直线、射线、线段 第2课时 线段的长短 1 1. 已知点在线段上，则下列条件中不能确定点 是线段 的中点的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 2.如图，，则与 的大小关系是( ) （第2题） C A. B. C. D.无法确定 返回 1 夯实基础 3 （第3题） 3.如图①，线段， ，图②中线段 表示的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 4 4.已知线段，在直线上截取，则 ________ _____. 或 返回 1 夯实基础 5 5.［2024贵州］如图，在三角形中，以点为圆心，线段 的长为 半径画弧，交于点，连接．若，则 的长为___． 5 （第5题） 返回 1 夯实基础 6 6.如图，点是线段的中点，，若，则 ____ ． （第6题） 12 返回 1 夯实基础 7 7.（8分） 如图，点是线段的中点，是 上一点，且， . （1）求 的长； 1 夯实基础 8 解：设的长为 ， 因为，所以 . 又因为，所以 . 因为为线段 的中点， 所以 . 又因为， ， 所以，解得 ， 所以 . 1 夯实基础 9 （2）若为的中点，求 的长. 解：由（1）可得, . 因为为线段 的中点， 所以 . 又因为，所以 . 返回 1 夯实基础 10 8.（4分） 如图，已知线段，，且，求作线段 ， 使 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，线段 即为所求. 返回 1 夯实基础 11 9.［2025南通海门区期末］如图，点，分别是线段 上两点 ，用圆规在线段上截取， ， 若点与点恰好重合，，则 等于( ) B （第9题） A.6 B.8 C.10 D.12 返回 2 提升能力 12 10.［2025徐州泉山区期末］如图，已知线段，动点从点 出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点从点 出发，以 每秒的速度沿向左运动，设运动时间为 ．在整个 运动过程中，请你用含的式子表示线段 的长：__________________ _____________. （第10题） 或 返回 2 提升能力 13 11. 如图，线段，是的中点，是 的中 点，是的中点，是的中点， ，依此类推，线段 的长为_________. （第11题） 返回 2 提升能力 14 12.（12分） 如图，已知：是线段的中点，点在 上，，且 . （1）求线段 的长. 解：因为，所以 ， 所以 . 2 提升能力 15 （2）求线段 的长. 解：因为是线段 的中点， 所以 ， 所以 . （3）是线段 的中点吗？为什么？ 解：是线段 的中点．理由如下： 因为， ， 所以 ， 所以是线段 的中点. 返回 2 提升能力 16 13.（12分） 如图，点在线段上，点， 分别是， 的中点. （1）若，，求线段 的长. 解：因为，点是 的中点， 所以 . 因为，点是 的中点， 所以，所以 . 3 发展素养 17 （2）若为线段上任意一点，满足 ，其他条件不变， 你能猜想 的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现 的结论吗？ 解：，理由：因为点为的中点，所以 . 因为点为的中点，所以 . 所以 . 当为线段上任意一点，且，分别是， 的中点时， . 3 发展素养 18 （3）若在线段的延长线上，且满足，， 分别 为，的中点，你能猜想 的长度吗？请画出图形，写出你的结 论，并说明理由. 3 发展素养 19 解：当点在线段 的延长线上时，如图. MN的长为 .理由： 因为是的中点，所以 . 因为是的中点，所以 ， 所以 . 返回 3 发展素养 $第6章 平面图形的初步认识 6.2 角 第2课时 补角、余角 1 1.［2025南京玄武区月考］将一副三角板按下列位置摆放，其中 与 一定互余的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实基础 2 （第2题） 2.如图，点在直线 上， ，那么下列说法错误的是 ( ) D A.与相等 B.与 互余 C.与互补 D.与 互余 返回 1 夯实基础 3 3.（1）已知 ，那么的余角等于_____， 的补角等于______; （2）已知 的补角是，则 的余角的度数是________． 返回 1 夯实基础 4 4. 一个角的补角比它大 ，则这个角的余角为____ ． 40 返回 1 夯实基础 5 5.（1）已知与互余，与互余，则与 的关系是________， 理由是________________； （2）已知与互补，与互补，则与 的关系是_________， 理由是________________. 同角的余角相等 同角的补角相等 返回 1 夯实基础 6 （第6题） 6. 如图是某地球仪的示意图，,, 分别 是赤道平面、地轴、黄道平面（地球公转轨道平面），它 们交于点 ，我们知道地球仪的地球是倾斜的，地球仪的 地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不垂直于 黄道平面，所以地球是倾斜着进行公转的，就产生了黄赤 交角，其度数为 ，地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角 是互余的，则地球仪上地轴的倾斜角 等于________． 返回 1 夯实基础 7 7.（6分） 一个角的余角与这个角的补角的和比平角的 多 ，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为 ， 则 ，解得 . 所以这个角的度数为 . 返回 1 夯实基础 8 8.（8分）如图，已知 . 1 夯实基础 9 （1）试画出 的一个余角（用表示）和 的一个补角 （用 表示）； 解：如图①，图②所示，， 即为所求. （2）若，则______ ，_______ . 57.45 147.45 返回 1 夯实基础 10 9.若 与 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中： ； ； ； ,正确的 是( ) B A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 返回 2 提升能力 11 （第10题） 10.如图，将一副三角板重叠放在一起， ，直角顶点重合于 点．若 ，则 的度数 为( ) A A. B. C. D. 返回 2 提升能力 12 11.已知与互补，且 ，则 ______. 返回 2 提升能力 13 12.［2025无锡新吴区月考］如图，是直线， ， 则图中与互余的角是_______________，与 互补的角是 ______________. ， ， （第12题） 返回 2 提升能力 14 13.（8分）已知 . 2 提升能力 15 （1）如图①，若 ， ，求 的度数； 解：因为 ， ， 所以 . 因为， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 2 提升能力 16 （2）如图②，指出 的补角并说明理由. 解：的补角是 .理由：因为 ，所以是 的补角. 返回 2 提升能力 17 14.（8分） 如果两个角 的差的绝对值等于 ，那么就称这两个角互 为反余角，其中一个角叫作另一个角的反余 角．例如： ， ， （1）如图，为直线上一点， , 的反余 角是_______， 的反余角是_______________； 和 ，则和互为反余角，其中是的反余角， 也是 的反余角. 3 发展素养 18 （2）若一个角的反余角是它的补角的 ，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为 ， 若这个角是锐角，则它的反余角为 ， 由题意，得，解得 ； 若这个角是钝角，则它的反余角为 ， 由题意，得，解得 . 综上所述，这个角的度数为 或 . 返回 3 发展素养 19 $