精品解析：广东省湛江市第二十一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期10月高一月考 数学 考试时间：120分钟 ，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案. 【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同， 但，所以，不是同一函数，故A错误； 对选项B，因为定义域为R，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误； 对选项C，因为定义域为，定义域为， 定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误； 对选项D，因为定义域为R，定义域为R， 又，所以，是同一函数，故D正确. 故选：D 4. 设为实数，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例说明． 【详解】例如，但，A错； 例如，，但，B错； 例如，但，C错； ，则，，则，所以，D正确． 故选：D． 5. 已知p：；q：，则p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出p、q对应的不等式的解，进而可选出答案. 【详解】由题意，，即p：； ，即q：， 所以，，即p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题. 6. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论. 【详解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示： 由图可知的解集为. 故选：A. 7. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可. 【详解】由， 当且仅当时取等号，故A正确， ， 当且仅当无解，故取不到最小值2， 故选项B错误； 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当且仅当时取等号，故C不正确； 取时，不成立，故D不正确. 故选：A. 8. 设为实数，，若不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，不合题意；当时，，由此能求出的取值范围． 【详解】当时，， ，解得，不合题意； 当时， 不等式的解集为，， ， 解得． 的取值范围是． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件，可知方程有实根，分和两种情况，求出的范围，再结合选项得到的值即可. 【详解】因为，为真命题，所以方程有实根. 当时，符合题意； 当时，由方程有实根，可得，所以. 综上，实数的值可以是，和. 故选:ABC. 10. 已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案. 【详解】不等式的解集为，，故A正确； ，令，，即，故B正确； 由上所述，易知，， 由题意可得为一元二次方程，则，， 则，，即为方程的解， 则可知不等式的解集为，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 设函数，若，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分，和三种情况讨论，验证是否成立，综合可得的取值范围，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 若，，，满足， 若，，，满足， 若，，，不满足， 故a的取值范围为，分析选项：BCD符合， 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组即可得出的元素，从而得出． 【详解】解，得或 ． 故答案为： 13. 已知，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 14. 已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出和，作出函数的图象，由图象可得出方程的根，将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】，或. 方程的根可视为直线与函数图象交点的横坐标， 作出函数和直线的图象如下图： 由图象可知，关于的方程的实数根为、. 由于函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称， 关于的方程存在四个实数根、、、如图所示， 且，，， 因此，所求方程的实数根的和为. 故答案为：. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出或，从而求出交集； （2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 时，或， 故或= 【小问2详解】 是的充分不必要条件， 故是的真子集， 因为，故要满足是的真子集， 则或， 解得：或 故实数的取值范围是. 16. (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 17. （1）若不等式的解集为，解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得3和4为方程的根，且，进而结合韦达定理求得的值，进而求解不等式； （2）分类讨论求解不等式即可. 【详解】（1）由题意，3和4为方程的根，且， 则，解得，， 此时不等式， 即为，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，，即； 当时，可化为， 若，， 若，不等式化为， 当，即时，不等式为，即； 当，即时，或； 当，即时，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 【答案】（1）国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损； （2）处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少. 【解析】 【分析】（1）求二次函数最大值即可判断； （2）根据基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 当时，设该工厂获利为， 则， 所以当时，， 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损． 【小问2详解】 二氧化碳的平均处理成本， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值为， 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】（1）； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）比更远离，理由：因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【小问1详解】 根据题意可得：， 所以，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年第一学期10月高一月考 数学 考试时间：120分钟 ，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设为实数，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知p：；q：，则p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 8. 设为实数，，若不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 10. 已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 11. 设函数，若，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则______． 13. 已知，则______________. 14. 已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 17. （1）若不等式的解集为，解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 18. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 19. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $