21.2.3 因式分解法-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

21.2.3 因式分解法 知识储备 先对一元二次方程ax2十b.x十c=0的左边因式分 解，使方程化为两个一次式的 等于0的 易错点○ 解一元二次方程时，因方程两边除 形式，再使这两个一次式分别等于 ,从而实 X 以含未知数的代数式漏根 现 ,这种解一元二次方程的方法叫做因 4.小红解方程(x一2)2=x一2，只得到一个根为 式分解法 x=3,其错误原因是 ,漏掉 01基础练 的根是 必备知识梳理一 【点津】解一元二次方程时，方程两边不能同时除以 知识点一 用因式分解法解一元二次方程 含未知数的代数式，否则会漏掉一个根. 1.一元二次方程(x一2)(x+7)=0的解是 知识点二用适当的方法解一元二次方程 5.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来 2.【解法辨析】用因式分解法解下列方程，正确 解的是 () 的是 () A.(x-2)(x+3)=0B.(x-2)(x+5)=2 A.x(x+1)=0,.x+1=0 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 B.(x+1)(x-2)=1,∴.x+1=1或x-2=1 6.(1)在下列各题的横线上填写适当的解法， C.(x-1)(x-2)=2×3,∴.x-1=2或x-2=3 ①解方程(x-1)2=2,用 法较 D.(x-2)(3x-4)=0,∴.x-2=0或3x-4=0 适宜； 3.(1)(答题模板)阅读下列解方程x2+3x=0 ②解方程x2十2x=99,用 法较适宜； 的步骤，完成填空： ③解方程x2-x-1=0,用 法较适宜； ①方程左边分解因式，得 =0. ④解方程3x2+2x=0,用 法较 ②根据两个因式的积为0的性质，改写成两 适宜 个一元一次方程，得 或 (2)【教材P14练习T1变式】用适当的方法 ③解得x1=,x2= ,这种解一元 解下列方程： 二次方程的方法叫做因式分解法.这种解法 体现的数学思想是 02-19=3: A.转化思想 B.数形结合思想 C.分类讨论思想 D.建模思想 (2)【针对练习】用因式分解法解方程： ①x2-3.x=0; ②x2+2x+1=0: ②x2-2x-1=0; ③(x-3)2-25=0. 11九年极数学·上册 ③x(x-7)=8(7-x). (1)(3x+2)2-4x2=0; (2)2(x-3)2=x2-9. 02综合练 秀关健能力提升一 7.若实数k,b是一元二次方程2x(x-2)十x 2=0的两个根，且k>b,则一次函数y=kx 十b的图象不经过第 象限 () A.- B.二 C.三 D.四 8.菱形ABCD的两对角线的长是一元二次方 少解题妙招 一元二次方程解法的选择 程(x-3)(x一4)=0的两根，则菱形ABCD (1)形式上缺少常数项的一元二次方程，用提 的边长是 公因式法分解因式求解；(2)形式上缺少一次项的 9.【新中考·新运算型阅读理解题】对于实数 一元二次方程，用平方差公式因式分解或用直接 a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2一ab.例 开平方法求解；(3)二次项系数是1，一次项系数是 如，5※3=52一5×3=10.若(x+1)※(3x 偶数的一元二次方程，可用配方法求解；(4)公式 一2)=0，则x的值为 法适用所有的一元二次方程。 10.用适当的方法解下列方程： 微专题日用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(1)【新中考·解题方法型阅读理解题】 (2)根据乘法原理a·b=0,则a= 或b= 将x2+6x十8分解因式，可以按下面的方法 解答： 试用上述方法和原理解方程： 解：①分解二次项和常数项：x2=x·x,8=2 (2024·齐齐哈尔)x2-5x+6=0. ×4. ②竖写分解结果，交叉相乘再相加，其结果等 于一次项， 【针对练习】 →4x+2x=6x. 1.一个菱形的两条对角线的长是方程x2 10x+24=0的根，则该菱形的面积为( ③横向写出两因式： A.6 B.10 C.12 D.24 x2+6x十8=(x+2)(x+4). 2.【分类讨论思想】用因式分解法解方程x2一 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法 kx一16=0时，得到的两根均为整数，则k 叫做十字相乘法，用式子表示为x2十(a十b)x 的值可以为 +ab=(x十a)(x+b) 助学助教优质高数12+6代入ab+c2-4c+13=0中，得b2+6b+c2-4c+13=0.∴.(b+3)2+(c-2)2=0, ∴.b十3=0，c-2=0.∴.b=-3,c=2.∴.a=b+6=-3+6=3.把a=3,b=-3,c=2 代入方程ax2+bx十bc=0中，得3x2-3x-6=0,解得x1=2,x2=-1. 微专题一利用配方法求二次三项式的最值 【例】(.x2-2x)x-11x-11≥≥≥ 1.-2小-112.-4大233.74.5 21.2.2公式法 第1课时一元二次方程根的判别式 知识储备 1.判别式△△=b2-4ac2.两个不相等两个相等没有 基础练 1.2 -7 -4812.±23.D4.(1)解：.a=2,b=-3,c=-1,∴.△=b-4ac =(-3)”一4×2×(-1)=17>0..此方程有两个不相等的实数根.(2)解：化为一 般形式为16.x2+8x+3=0..a=16,b=8,c=3.∴.△=b2-4ac=64-4×16×3 -128<0..此方程没有实数根.5.(1)4十4m(2)>-1(3)=-1(4)<-1 6.3(答案不唯一)7.(1)2解：(2)由题意，得4一4(m-2)≥0.解得m≤6.8.m ≤0且m≠-19.A10. 重点强化专题（一）根的判别式的应用 1.B2.A3.A4.A5.(1)D(2)D6.C7.(1)证明：.△=b-4ac=[-(2k +1)]2一4(k+k)=1>0,∴.方程有两个不相等的实数根：(2)由(1)知AB≠AC,所以 当△ABC是等腰三角形时，则有AB=BC或AC=BC,即5是原方程的一个根，把x 5代入方程，得25-5(2k十1)+k+k=0.化简，得k2一9k+20=0.解得k1=4,k2=5. 第2课时用公式法解一元二次方程 知识储备 x=-b±B=4ac(B-4ac≥0) 2a 基础练 1.1)D(2)B2.(1)y+y-2=011-29-1±5 2×1 1-2(2)①解： a=1,b=-1,c=2,∴.b-4ac=(-1)2-4×1×2=-7<0..此方程无实数根. ②解：.a=1,b=-2√3，c=3,∴.△=b2-4ac=(-2√3)2-4×1×3=0..x 25±0=5，x=,=尽.③解：原方程化为一般形式为x-2x-3=0.:a 2×1 1,b=-2,c=-3,4=-4ac=(-2)2-4X1×(-3)=16>0.x=2告厘= 2×1 24=1士2.x,=3,x=-1.3.任务一：一方程没化成一般形式任务二：解： 移项化为一般形式：x2-6.x+2=0.a=1,b=-6,c=2,b2-4ac=(-6)2-4×1×2 28.x=6±，/2s=6±7=3±万.m=3+万，，=3-.4.D5.1-☑ 2 6.(1)解：原方程变形为y2-25y+10=0.:a=1,b=-2√5，c=10,A=b-4ac =(一2√5)2一4×1×10=-20<0..此方程无实数根.(2)解：原方程变形为3x +10x+5=0.a=3,b=10,c=5,.A=6-4ac=102-4×3×5=40>0.∴.x -10±√/40-5士√10 .∴x,=-5+ 2,x,=-510 2×3 3 3 3 7.解：设BC=x,则 AC=1.AC=BC,BC2=AC·AB.即x=1-x.解得x=二1十5 2 ,x2 5-1 -15(舍去).AB1 BC 2 5,1答：黄金分制数是5,1 2 2 8.(1)证明：，△ =b2-4ac=[-(3k+1)]2-4×1X(2k2+2k)=k2-2k+1=(k-1)2≥0，∴.无论k为 何值，方程总有实数根：(2)解：由(1)知x=3张+1±，D=36+1士-1).： 2 x1=2k,x2=k十1.△ABC是等腰三角形，∴.由题意知可分三种情况：①当2k=6 时，三边是6,6,4，此时周长是16：②当2k=k+1时，三边是6,2,2，不能构成三角形： ③当k+1=6时，三边是6,6,10，此时周长是22.∴.综上所述，△ABC的周长是16或22. 21.2.3因式分解法 知识储备 乘积0降次 基础练 1.x=2,x2=-72.D3.(1)①x(x+3)②x=0x+3=0③0-3A(2) ①解：x(x-3)=0.x=0或x-3=0.∴.x1=0,x2=3②解：(x+1)2=0.∴.x1=x2 -1.③解：(x-3+5)(x-3-5)=0.∴.x+2=0或x-8=0..x1=-2,x2=8. 4.未考虑x一2=0x=25.A6.(1)①直接开平方②配方③公式④因式分 解2)①懈：-1D=是1-1=士是=号=-合②解：“a=1,6 .5 =-2,c=-1,∴b-4如c=(-2)-4X1X(-1）=8.x=2±8=2±2E=1士 2 2 /2.∴.x1=1十/2，x2=1-√2.③解：原方程变形，得x(x-7)+8(x一7)=0..(a -7)(x+8)=0..x-7=0或x+8=0.∴.x1=7,x=-8.7.B8.2.59.-1或 1.510.(1)解：(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0.(5x+2)(x+2)=0.∴.x1=-0.4,x2 =-2.(2)解：2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.(x-3)(2x-6-x-3)=0.(x-3)(7 -9)=0.∴.x1=3,x2=9 微专题二用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(2)00解：(x-2)(x-3)=0.∴.x1=2,x2=3. 1.C2.0,±6，±15 分类强化专题 一元二次方程的解法（计算强化专练） 1.(1)解：(3x+2)2=25.3.x+2=士5.∴.x1=1,x2= 3· (2)解：x2-3=1.x2=4. x1=2,x2=-2.(3)解：2x十3=±(3x十2).2x+3=3.x+2,2x+3=-(3.x十2). x1=1,x2=-1.2.(1)解：x+2x=1.x2+2x+1=2.(x+1)=2.∴.x+1=士√2. x1=-1十√2，x2=-1-√2.(2)解：x2-6x+9=10000.(x-3)2=10000,x-3 =士100.∴.x1=103,x2=-97.3.(1)解：.a=2,b=-1,c=-6,.△=(-1)2-4 3 <2X(-6)=49,“x=Y里=..x三2，x2= (2)解：x2-2√5x+6 4 =0..a=1,b=一23，c=6.∴.△=（一2√/3）2一4×1×6=一12<0.∴.此方程无实数 根.4.(1)解：(2x-1)2=0.2x-1=0.x1=x,=2.(2)解：(x-2)(x-2-3) =0..x1=2,x2=5.(3)解：3(x+2)2-(x+2)(x-2)=0.(x+2)(3x+6-x+2) =0.x1=-2,x2=-4.5.(1)-4(x-5)(x+1)5-1(2)①解：(x+2)(x十 3)=0..x1=-2,x2=-3.②解：(x-9)(x+8)=0.∴x1=9,x2=-8.③解：(x -1)(x-6)=0.∴.x1=1,x2=6.④解：(x+9)(x-8)=0.x1=-9,x2=8. 6.解：设2y-1=a,则原方程可变形为a-a-2=0.解得a1=2,a2=一1.当a1=2 时，2y-1=2,解得y=1.5；当a2=-1时，2y-1= -1,解得y=0.y1=0,y2= 1.5.7.解：①当x-2≥0，即x≥2时，原方程化为：x2-2(x-2)-4=0.解得x1= 0,x2=2.:x≥2，∴.x=2.②当x-2<0,即x<2时，原方程化为：x2+2(x一2)-4= 0.解得x=一4，x2=2.:x<2,∴x=一4.综上所述，原方程的解是x1=2,x,=一4. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识储备 -b c aa 基础练 1.C2.(1)6(2)一23.(1)解：原方程变形为x2-2x一5=0.x1十x2=2,x1x2=一 5.(2)解：原方程变形为3x2-2=0..x十=0，x4x=一气 .4.(1)C(2)-2 35解：由题意，得x+x5,x2.0上1十22 ℃T2℃℃2 +x=(x十x)-2xx=5-2X(-2)=29.6.A7.m>7 8.解：(1)由题 意，得(-4)-4(-2m十5)>0.解得m>2;(2)由题意，得1十x,=4,x1x=5- 2m.:,十十xx。=34+5-2m=3.解得m=3,“m>号，m的值是3.9.3 10.2+2x-20=011.-3012.1)号 -2 (3)解：由题意，得m, 3 1 n是一元二次方程2x-3x-1=0的两根心m十n=之mm=-2:(n一m)2=（n +m)-mm=(受)广-4X(-合）=子∴-m=士平∴2-”mm=士 2· m n mn √/17 微专题三 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【例】55+3b3b+51010101036 1.C2.03.-4 21.3实际间题与一元二次方程 第1课时传播问题与数字问题 基础练 1.(1)97281(2)(1+x)=1442.(1)C(2)A3.解：设每轮传染中平均一 个人传染了x个人，则第一轮传染后有(1十x)人被传染，第二轮传染后有[1十x十x (1十x)]人被传染，根据题意，得(1十x)2=49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍 去).答：每轮传染中平均一个人传染了6个人.4.(1)B(2)75.C6.解：设这个 两位数十位上的数为x,则个位上的数为x十3.由题意，得10x十x十3=(x+3).解 得x1=2,x2=3.当x=2时，x+3=5;当x=3时，x+3=6.∴.这个两位数是25或 36.7.58.39.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8).由题意，得x(x十8)= 65.整理，得x2+8.x-65=0.解得x1=5,x2=-13(不合题意，舍去).答：这个最小数 15