21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、教学目标 【知识与技能】 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 【过程与方法】 经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 一元二次方程根与系数的关系及其应用. 【教学难点】 探索一元二次方程根与系数的关系. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2） 学生口答： 2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ 学生口答： 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0). b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根. b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根. b2-4ac<0时,方程无实数根. 想一想：方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ （二）探索新知 探究 根与系数的关系 填表，观察、猜想（出示课件4） 方程 x1,x2 x1+x2 x1·x2 x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x+4=0 你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律. 出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ 教师引导： 归纳结论：（出示课件6） 如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则: x1+x2=-p,x1·x2=q. 教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7） 方程 x1,x2 x1+x2 x1·x2 2x2-3x-2=0  3x2-4x+1=0 上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律. ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. 师生共同归纳：（出示课件8） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= . 这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 请同学用求根公式证明.（一生板演） 教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？ 强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. 出示课件9,10：例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2+7x+6=0； （2）2x2-3x-2=0. 学生思考后，共同解答如下： 解：⑴这里a=1,b=7,c=6. Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1·x2=6. ⑵这里a=2,b=-3,c=-2. Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25> 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1 +x2=,x1·x2=-1. 出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0； ② 2x2-4x+1=0. 学生自主思考并解答. 解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1. ⑵原方程可化为： x1+x2=2,x1·x2=. 出示课件12：例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 学生思考后，共同解答如下： 解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 . 所以：x1·x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+= 得：k=－7. 答：方程的另一个根是k=－7. 出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 学生自主思考并解答. 解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0. 解这方程，得k=-2. 由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6. ∴ x1＝－3. 答：方程的另一个根是－3,k的值是－2. 出示课件14：例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值. 师生共同解答如下： 解：根据根与系数的关系可知： ∴ 出示课件15：设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: ⑴x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) . 学生自主解答后，口答： ⑴4；⑵1；⑶12；⑷14. 出示课件16：例4 设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12 +x22 =4，求k的值. 教师分析：将x1+x2=2(k -1) , x1x2 =k2，代入x12 +x22=4可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键. 解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k - 1）2-4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. ∴ 由根与系数的关系得x1+x2=2(k -1) , x1x2 =k2. ∴x12 +x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 =2k2-8k +4. 由x12 +x22=4，得 2k2-8k+4= 4, 解得k1=0 ,k2=4 . 经检验，k2=4不合题意，舍去. 师生共同总结归纳如下：（出示课件17） 教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 出示课件18：当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1. 学生自主思考并解答. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1. ∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2， 由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=. ∴（）2-4×=1. 解得k1=9,k2=-3. 当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3. （三）课堂练习（出示课件19-25） 1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 2. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= ,q= . 4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1+1)(x2+1); (2) 7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值. 参考答案： 1.D 2.；-3 3.1；-2 4.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0. 解得m=16, 设另一个根为x1,则：1×x1= ∴x1= 5.解：(1)根据根与系数的关系 得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则： 6.解: 根据根与系数的关系得： （1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1= （2） 7.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1, 由根与系数的关系，得 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1, ∴ ∴ ∵△＞0, ∴ 8.解：(1)方程有实数根， ＝（-2m）2-4m（m-2） ＝8m≠0 ∴m的取值范围为m＞0. (2)∵方程有实数根x1,x2， ∴ ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， ∴ 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． （四）课堂小结 通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法. （五）课前预习 预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。 七、课后作业 1.教材16页练习 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用. 2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. 3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $