21.2.1 配方法（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦“解一元二次方程——配方法（第1课时）”，核心为直接开平方法解x²=p(p≥0)和(x+n)²=p(p≥0)型方程。导入通过复习平方根定义及x²=9、x²=5等实例，衔接旧知引出新知，构建知识支架。 以“正方体盒子刷漆”实际问题驱动探究，分类讨论x²=p的解培养推理意识（数学思维），将(x+n)²=p中整体看作未知数体现抽象能力（数学眼光），练习含纠错与应用助学生用数学语言表达（数学语言），提升解题能力与教学效率。

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 一、教学目标 【知识与技能】 1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程； 2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法. 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 【过程与方法】 通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法. 【情感态度与价值观】 在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 解形如x2=p(p≥0)的方程. 【教学难点】 把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2） 一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.. a(a≥0)的平方根记作：±. x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x=±. 2. 求出下列各式中x的值，并说说你的理由.（出示课件3） ⑴x2=9； ⑵x2=5. 解：⑴x=±=±3 ；⑵ x=±. 思考：如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ （二）探索新知 探究 直接开平方法 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5） 教师问：设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为6x2dm2，10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2，由此你可得到方程为10×6x2=1500，你能求出它的解吗？ 学生思考后，共同解答如下：. 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2， 可列出方程: 10×6x2=1500， 由此可得x2=25. 开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． 教师问：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（出示课件6） (1) x2=4；(2) x2=0；(3) x2+1=0. 学生回答：⑴根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. ⑵根据平方根的意义，得x1=x2=0. ⑶根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 教师归纳：（出示课件7） 一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，； (2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1 = x2 =0； (3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例1 利用直接开平方法解下列方程:（出示课件8） (1) x2=6；(2) x2－900=0. 师生共同讨论解答如下： 解：(1)直接开平方，得 （2）移项，得x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 出示课件9：解下列方程： (1) (2) 学生自主思考并解答. 解：(1)移项，得 系数化为1，得 即 （2）移项，得 系数化为1，得 教师问：对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？（出示课件10） 学生自主讨论后回答： 解：把x+3看做一个整体， 两边开平方得 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 教师总结：由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例2 解下列方程：（1）（x＋1）2= 2；（出示课件11） 教师分析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 师生共同解答如下： 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 即x1=-1+，x2=-1- . （2）（x－1）2－4 = 0；（出示课件12） 教师分析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 师生共同解答如下： 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 即x1=3，x2=-1. (3) 12（3－2x）2－3 = 0.（出示课件13） 教师分析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 师生共同解答如下： 解：（3）移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）²=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5， ∴ x1= x2=. 出示课件14，学生自主思考并解答. 例3 解下列方程：（出示课件15） （1）； （2）. 师生共同解答如下： 解：（1） 方程的两根为 （2） 方程的两根为 出示课件16，学生自主思考并解答. （三）课堂练习（出示课件17-21） 1. 一元二次方程x2﹣9=0的解是______________． 2.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=，x2= D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 3. 填空: (1)方程x2=0.25的根是______________ . (2)方程2x2=18的根是______________. (3)方程(2x-1)2=9的根是______________ . 4.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. 解： ① ② ③ ④ 5.解方程 参考答案： 1.x1=3，x2=﹣3解析：∵x2﹣9=0，∴x2=9， 解得：x1=3，x2=﹣3． 故答案为：x1=3，x2=﹣3. 2.D 3.⑴x1=0.5,x2=-0.5 ⑵x1＝3,x2＝-3 ⑶x1＝2,x2＝－1 4.解：不对，从②开始错，应改为 5.解： 方程的两根为 （四）课堂小结 (1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？ (2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流. （五）课前预习 预习下节课（21.2.1）第2课时的相关内容。 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望. 2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫. 3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $