21.1 一元二次方程-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的概念，通过雕像设计实际问题导入，引导学生列出方程后对比旧知，以类比一元一次方程为支架，梳理新知形成脉络。 以生活情境驱动学习，如方盒制作、排球邀请赛等问题培养数学眼光，通过问题链引导归纳概念发展推理意识，例题训练强化符号意识与运算能力，助学生建立数学与生活联系，教师教学层次清晰，提升课堂效率。

21.1 一元二次方程 一、教学目标 【知识与技能】 1.通过设置具体问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义； 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念. 【过程与方法】 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题. 【情感态度与价值观】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共1课时。 四、教学重难点 【教学重点】 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 【教学难点】 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 五、课前准备 多媒体课件 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 教师问1：观察图片。要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 学生回答：设雕像下部高x m，依题意得方程x2=2(2-x),整理，得 x2+2x-4=0. 教师问2：上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ （二）探索新知 探究一 一元二次方程的概念 见教材第2页问题1.(出示课件4) 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的? 【讨论结果】(出示课件5)设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小. 见教材2~3页问题2.(出示课件6) 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 教学过程中,教师可设置如下问题: (1)这次排球赛共安排 场; (2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛； (3)由此可列出的方程为 ，化简得 .教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣. 【讨论结果】（课件6展示）设应邀请x个队参赛，通过分析可得到·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0. 观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：(出示课件7) （1）方程各项都是整式； （2）方程中只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【归纳结论】(出示课件8) 一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 想一想 是一元二次方程吗？（出示课件9） 共同总结：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）(出示课件10) A. B.3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax2+bx+c=0 师生共同讨论，总结如下： 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可． 生1：A不满足整式方程； 生2：B含有两个未知数； 生3：C整理结果为x2-3x+2=0，满足三个条件，为正确答案 生4：D若a=0，则不满足未知数最高次数为2条件。 出示课件11，由学生讨论，并解答，教师总结给出答案. 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(出示课件12) (1)ax2-x=2x2；(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 师生共同讨论，总结如下： 方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 出示课件13，由学生讨论，并解答，教师总结给出答案. 探究2 一元二次方程的一般形式（出示课件14） 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为ax2+bx+c=0 的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 也就是（出示课件15） 思考 1.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？（出示课件16） 教师归纳： 【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数. 2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？（出示课件17） 共同探讨后教师归纳： 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例3.将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（出示课件18） 师生共同讨论解答如下： 解：去括号，得3x2-3x=5x+10 整理，得3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. 方法点拨：（出示课件19） （1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数. （2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的. （3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号. 出示课件20，引导学生思考并解答. 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81； 解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1. (2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81． 出示课件21，引导学生思考并解答. （3）4x(x+2)=25； (4)(3x-2)(x+1)=8x-3. 解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25． (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1． 探究4从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？ 【探讨结论】1.一元二次方程根的概念（出示课件22）：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n. 例4已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m.（出示课件23） 分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程. 解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得-m+6=0, 解得m=6. 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题. 出示课件24，引导学生思考并解答. 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：依题意把x=3代入原方程，得 32+3a+a=0 整理，9+4a=0， 即a=- 出示课件25，引导学生思考并口答. 出示课件26，引导学生思考并口答. （三）课堂练习（出示课件27-34） 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2； x2=0； (x+3)(2x-4)=x2； 3y2=(3y+1)(y-2)； x2=x3+x2-1； 3x2=5x-1. 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元一次方程．当k 时，是一元二次方程． 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______． 5.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）. 6.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 7.（1）已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. （2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? (3)若a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 参考答案： 1.× √ √ × × √ 2.；1；3；-2 ；3；；1 ；4；0；-5 ；3；-2；-5 3.＝－1；≠±1 4. 5.解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据题意，得 200×150-3x2=200×150×， 整理，得x2-2500=0.. 6.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x. 根据题意有 75（1+x）2 =108.， 整理，得 25x2+50x-11=0. 7.解：⑴依题意把x=1代入原方程，得 7a×12+b×1+c=0, 即 a+b+c=0. ⑵a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0， 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. ⑶a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0， 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0， 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2 （四）课堂小结 教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳. （1）一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项； （2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？ （3）通过这节课的学习你还有哪些收获？ （五）课前预习 预习下节课（21.2.1）的相关内容. 七、课后作业 1.教材4页习题21.1 2.配套练习册练习 八、板书设计： 九、 教学反思： 1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度. 2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位. 3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识. 4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功. 学科网（北京）股份有限公司 $