第15章 第30课时 等腰三角形、等边三角形习题课（课后作业）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（人教版2024）

宝典刺练|数学·八年级上册（R) 第30课时 等腰三角形、等边三角形习题课 A基础巩固●。· 落实课标 1.等腰三角形的一个角为100°，则顶角的度数为 ( ) A.40° B.80° C.100° D.40°或100° 点拨：本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和，根据等腰三角形的两个底角相等，结 合三角形的内角和定理，得到钝角只能是项角. 2.【2024秋·福建厦门·期中】如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,若BD=5,则 BC= A.10 B.12 C.8 D.6 点拨：本题主要考查等腰三角形“三线合一”，根据“三线合一”可得BC=2BD,据此可得答案. D R A B D F 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 3.如图，△ABC是等边三角形，E为边BC上一点，在AB边上取一点D,使AD=AE,且 ∠AED=65°，则∠EAC的度数是 ( ) A.10° B.20° C.15° D.5° 点拨：本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质、三角形内角和定理 4.【2024秋·河北沧州·期末】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅 在焊接立柱时，只用找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅 这种操作方法的依据是 ( A.等边对等角 B.等角对等边 C勾股定理的逆定理 D.等腰三角形的“三线合一” 点拨：本题考查等腰三角形的“三线合一” B能力提升●。· 灵活应用 5.已知一个等腰三角形的两边长分别为a,b,其中a,b满足|b一7+(a一3)2=0，那么这个等 腰三角形的周长是 点拨：本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义、三角形三边的关系，根据三角形 三边的关系结合等腰三角形的定义，分边长为α的边是腰和底边两种情况讨论是本题的解 题关键. 6.如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD,则∠ECD等于 点拨：本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识 34 数学·课后巩固作业 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1. (1)求∠ABD的度数； (2)求AD的长. 点拔：本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、等角对等边、含30度角的直 角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键. C拓展探究。。· 深度思考 8.如图，△ABC是边长是16cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别沿 AB,BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是3cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点P 到达点B时，P,Q两点都停止运动，设运动时间为ts,解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ是等边三角形？ (2)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，∠BQP是直角？ 0 点拨：本题考查了直角三角形的相关性质、等边三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角 形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题关键 35参考答案 (2)解：如答图，过E点作EM⊥AB于点M,EN⊥AD于 ∴.△AOD是直角三角形， 点N. C拓展探究 .AE平分∠DAB, 6.解：(1)①AB=CE十CD,理由如下： ∴.EM=EN. 由(1)，得AE-FE,∠BAE=∠F, :△ABC和△ADE都是等边三角形， ·∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC=BC,AD=AE. 即∠EAB=∠EFC .∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC. 在△AEB和△FEC中， 「∠AEB=∠FEC, ∴∠BAD=∠CAE. AE=FE, 又AB=AC,AD=AE,∴.△BAD≌△CAE ∴.BD=CE.∴.AB=BC=BD+CD=CE+CD, ∠EAB=∠EFC, 即AB=CE+CD; ∴.△AEB≌△FEC(ASA)..CF=AB=9, 由(I),得DA=DF, ②AB十CD=CE,理由如下： '△ABC和△ADE都是等边三角形， ..DA=DF-DC+CF-=3+9-12. ∴.AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60° “S=SAE=7AB,EM=号EM,S=Sam=AD .∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC. ·EN=6EN, ∴.∠BAD=∠CAE.∴.△ABD≌△ACE..CE=BD .CB+CD=BD,..AB+CD=CE. 3 :5-GEN- (2)补全图形，如答图，过点E作EM∥AB交CB于点M ,在等边三角形ABC中，∠B=∠ACB=60°， 第27课时等腰三角形的判定 ·∠EMC=∠ECM=60° .△EMC为等边三角形， A基础巩固 又，△EDF为等边三角形，同(1) ①得△EMD≌△ECF, 1.B2.D3.A4.D .∠EDM=∠EFC=90°..ED1 B能力提升 CM. 5.26.40 又：△EMC为等边三角形， 答图 7.证明：：AB=AC,∠ACB=∠B. 又：∠A=36,∠ACB=∠B=2180°-∠A0=72. CD=合CM=2CE=2.BD=12-2=10. :CD平分∠ACB,∠ACD=∠DCB=号∠ACB=36 第29课时 有一个角为30°的直角三角形的性质 ∴.∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-36°-72°=72°. A基础巩固 .∠B=∠CDB.∴.CD=BC.△CDB是等腰三角形 1.B2.C3.B4.5 C拓展探究： B能力提升 8.(1)解：∠CEB=2∠AEC=45°，.∠AEC=22.5°. 9 ∴∠AEB=45°+22.5°=67.5°. 5.A6.87. ∠A=90°，.∠B=90°-∠AEB=22.5°： :C拓展探究 (2)证明：如答图所示，取BC的中点D,作DF⊥AB交 8.(1)证明：AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, BE于点F,连接CF, ,∴.DE=DF,∠AED=∠AFD=90°..∠DEF=∠DFE. 则BC=2BD,BF=CF, ∴.∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE,即∠AEF=∠AFE. ∴.∠BCF=∠B=22.5° ..AE-AF. ,∠BCE=∠A+∠AEC=112.5°， DE=DF,AE=AF,∴点A,D都在EF的垂直平分线上， ∴.∠ECF=112.5°-22.5°=90° 答图 .AD垂直平分EF; ,∠CEB=45°，∴.△CEF是等腰直角三角形. (2)解：.∠BAC=60°，AD平分∠BAC, ..CE=CF=BF. ∠EAD=30°.∴.AD=2DE,∠EDA=60° ∠A=∠BDF=90°， AD垂直平分EF,∴.∠EOD=90. 在△ACE和△DFB中，∠AEC=∠B, .∠DEO=30°..DE=2DO. CE=FB, .AD=4DO.∴.AO=3OD=6 ∴.△ACE≌△DFB(AAS)..AE=BD.∴.BC=2AE. 第30课时 等腰三角形、等边三角形习题课 第28课时等边三角形 A基础巩固 A基础巩固 1.C2.A3.A4.D 1.C2.A3.B4.A B能力提升 B能力提升 5.176.45 5.(1)证明：△BOC≌△ADC,.OC=DC.∠OCD=60°， 7.解：(1)：∠C=90°，∠DBC=60°， .△OCD是等边三角形； ∴.∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30. (2)解：△AOD是直角三角形，理由如下 ∠A=15°，∠A+∠ABD=∠BDC, :△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60° ∴.∠ABD=15° ,△BOC≌△ADC,a=150°， (2)在△BDC中，∠BDC=30°，∠C=90°， ∴.∠ADC=∠BOC=a=150° .BD=2BC=2. ∴.∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°. ∠ABD=15°=∠A,.AD=BD=2. 35 高效课堂宝典训练数学入年级上册(R) C拓展探究 ∴∠ACD=∠BCE=90°，Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). 8.解：(1)△ABC为等边三角形，∠B=60°，∴BP=BQ .∠ACB=∠ECD=90°一∠ACE=60°，∠CBF= 时，△BPQ为等边三角形 ∠CAD=90°-60°=30°. 根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, .∠CFB=180°-∠CBF-∠BCF=90° 16 .BE⊥AC; BP=(16-30cm.16-3t=2,解得t= (2)解：：Rt△ADC≌Rt△BEC,BE=AD=6. :-9时，△BPQ是等边三角形， :∠CBE=30,∠BCE=90,CE=2BE=3. (2)根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, ,∠ECF=∠ACD-∠ECD=30°，BE⊥AC, ∴.BP=(16-3t)cm. EF=号CE=是.∴BF=BE-EF=号. ∠BQP=90°，∠PBQ=60°，∠BPQ=30° ÷BQ-2BP,即21=2(16-3， C拓展探究： 6.A 解得=9当：=9时，∠BQP是直角 微专题6特殊三角形常见辅助线的作法 第31课时综合与实践：最短路径问题 A基础巩固 A基础巩固 1.证明：过点A作AD⊥BC于点D,如答图所示， :∠B=∠C,AB=AC,.BD=CD, 1.C2.C3.②相等 M,N是边BC的三等分点， B能力提升 .BM-MN-CN, 4.105.C .'BD-BM=CD-CN, 6.解：(1)如答图，△A'BC即为所求； 即MD=ND, (2)如答图，点P即为所求. .AD为线段MN的垂直平分线， M D N Y ∴.AM=AN 答图 2.解：(1).∠NBC=60°，∠NAC=30°， .∠ACB=60°-30°=30°，∴.AB=BC, ,AB=15×2=30海里， .BC=30海里， m 0 草地 从海岛B到灯塔C的距离为30海里； A 羊圈 (2)过C作CP LAB于P,如答图， 则线段CP的长度即为小船与灯塔C的最 ?B休息区 短距离， 河流 DB ,∠NBC=60°，∠BPC=90°， .∠PCB=90°-60°=30°， 6题答图 7题答图 7.解：如答图，AC+CD十BD=A'C+CD十BD=A'B',故 ·PB=之BC-15海里， 牧羊人应让羊群在点C处吃草，在点D处饮水，才能使他 .15÷15=1(小时)， 答图 出行路线最短 ∴这条船继续向正北航行，在上午的11 C拓展探究 时小船与灯塔C的距离最短。 8.C B能力提升 微专题5手拉手模型 3.(1)证明：：△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， :E为AB的中点，∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线， A基础巩固 .∠BEC=90°，∠BCE=30°，∴.2EB=BC, 1.A2.B ED=EC,∴.∠EDC=∠ECD=30°， 3.(1)证明：：∠BAD=∠CAE,∴.∠BAC=∠DAE. ∴.∠DEB=60°-30°=30°， (AB=AD. .BD=BE,∴.2BD=BC: 在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠DAE, (2)解：如答图，过点E作EF∥BC,交 LAC-AE. AC于点F, ∴.△ABC≌△ADE(SAS). △ABC为等边三角形， (2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE, ∴.∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠A=6O, ∴.∠ADE=∠B. .△AEF为等边三角形， ∠BAD=20°，AB=AD,∠ADB=∠B=80. .∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE, 答图 ∴.∠ADE=80°. .ED=EC, ∴.∠CDF=180°-∠ADB-∠ADE=20 ∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC, B能力提升 .∠EDB=∠FEC, ∠EBD=∠EFC, 4.19 在△BDE和△FEC中，∠EDB=∠FEC, 5.(1)证明：，△CDE是等边三角形， ED=EC, .CE=CD,∠D=∠ECD=60°. ∴.△BDE≌△FEC(AAS),.BD=EF, :△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角 .AE=BD=2,.CD=BC+BD=12+2=14. 形，且AD=BE, 36