4.2.3 借助一次函数表达式解决实际问题 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数在实际问题中的应用，通过复习一次函数定义，结合租车、水费等生活实例提问，搭建从定义到应用的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点是以生活实例（租车计费、水费分段收费等）为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量关系，通过列函数关系式、分段计算培养数学思维（推理与运算能力），用函数表达式解决问题体现数学语言表达现实世界。采用问题驱动、实例递进的教学方法，课堂小结分类梳理，帮助学生形成解决实际问题的模型，教师使用能高效落实核心素养，提升教学效果。

北师大版 数学 八年级 上册 4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 第 3课时 借助一次函数表达式解决实际问题 什么是一次函数？ 如果两个变量 x、y 之间的对应关系可以表示成y=kx+b（ k , b 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。即正比例函数可以表示为 y=kx（k≠ 0）。 想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 复习回顾 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 甲公司： 总费用=单价×里程 乙公司： 总费用=里程费+服务费 探索新知 探究点二： 列一次函数关系式 解：设用车里程为 x 千米，甲公司费用为 y甲 元，乙公司费用为 y乙 元， 由题意得 y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200， (1) 当 x = 30 时，y甲 = 15×30 = 450 . y乙 = 10×30 + 200 = 500 . 因为 450 ＜500，所以建议租用甲公司的客车. （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200 (2) 当 x = 52 时，y甲 = 15×52 = 780。 y乙 = 10×52 + 200 = 720。 因为 780 ＞720，所以建议租用乙公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同， 甲公司收费为 15x 元，乙公司收费为 (10x+200) 元， 据题意，15x＝10x＋200，解得 x＝40。 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200 你知道生活中还有哪些也是相关的计费问题？ 除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。 本质上都是一次函数的应用。 【例3】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (1)当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。 于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6。 根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式 (2)某户一年用水量是 250 m3，求该户这一年的水费； 解：当 x＝250 时， y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 用水量 250 m3 在哪一档？ 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (3)某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量。 1000.5 元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？ (3) 因为 3.45×220 = 759， 4.83×300 - 303.6 = 1145.4，759<1000.5<1145.4， 所以该户年用水量属于第二档。 设该户年用水量为 x m3，则 1 000.5 = 4.83x - 303.6 解这个方程，得 x = 270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 （1）在例 3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y (单位：元)与用水量 x 之间的关系式吗？ 当x＞300 时，总水费 y 等于三个档水费之和 分析：此时水费 y 由三部分组成，第一档 220m³ 水费、第二档 (300－220) m³水费以及超出 300 m³ 部分的水费。所以 y = 3.45×220＋4.83×(300－220)＋5.83×(x－300) y = 5.83x－603.6 尝试·思考 （2）像例 3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？ ①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等； ②注意：数据的准确性、灵活性与适应性等； 例如在出租车计费中，k 代表每千米的费用变化对总费用的影响，b 代表固定的服务费等。 讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？ 尝试·思考 1. 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用气量及分档计费标准： 解：y =2.73×300＋3.28（x－300），即 y=3.28x－165。 【教材P84 随堂练习】 计费档 户年用气量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 (1)当 300 < x≤600 时，写出燃气费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； 随堂练习 4. 为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用气量及分档计费标准： 【教材P84 随堂练习】 计费档 户年用气量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 随堂练习 (2)某户一年用气量是 400 m3，求该户这一年的燃气费； 当 x =400 时，y=3.28×400－165=1147（元）。 因为 2.73×300=819（元），3.28×600－165=1803元），819<1311<1803， 所以该户去年一年的用气量属于第二档。 设该户去年一年的用气量为 x m3，则 1311=3.28x－165。 解这个方程，得 x=450。因此，该户去年一年的用气量为 450 m3。 计费档 户年用气量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 (3)某户去年一年的燃气费是 1311 元，求该户去年一年的用气量。 一次函数在计费问题中的应用 方案优选问题 分段收费问题 课堂小结 1. 我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（    ） A. 10 m3 B. 15 m3 C. 20 m3 D. 25 m3 C 当堂反馈 解：A类收费: y ＝12＋0.2×300＝72（元）, B类收费: y＝0.25×300＝75（元）, 所以应选择A类收费方式。 （1）若每月平均通话时间为300 min，你选择哪类收费方式? 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计; B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计。 2. （2）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等? 解：由题意，得12＋0.2x＝0.25x, 解得x＝240。 所以每月通话时间为240 min时, 按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等。 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计; B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计． 2. 基础巩固题 3. 某市出租车收费标准如下：3 千米以内（含）收费 10 元，超过 3 千米的部分每千米加收 2 元。 （1）写出收费 y（单位：元）与行驶路程 x（单位：千米）（x≥3）之间的函数关系式； 解：当 x=3 时，y=10， 当 x＞3 时， y=10＋2(x－3)=2x＋4， 综上 y=2x＋4 （x≥3） 。 （2）若某人乘坐出租车付费 22 元，求其行驶的路程。 ∵22＞10， ∴2x＋4=22，解得 x=9， 所以行驶的路程为 9 km。 4.某城市出租车起步价为 10 元（3 公里以内），超过 3 公里后每公里收费 2 元。设行驶路程为 x 公里（x>3），车费为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并计算行驶 8 公里的车费。 解：当 x>3 时，y = 10 + 2 (x - 3) = 2x + 4。 当 x = 8 时，y = 2×8 + 4 = 20（元）。 自 2019 年 1 月 1 日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过 800 元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过 800 元但不超过 4000 元的，预扣预缴税款＝（每次收入－800）×20%. 当每次收入超过800元但不超过4000元时， y＝（x－800）×20%，即y＝0.2x－160; （1）当每次收入超过 800 元但不超过 4000 元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y（元）与每次收入 x（元）之间的关系式; 解 例 1 （2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元? （2）当 x＝3500 时，y ＝0.2×3500－160＝ 540（元）; （3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元? （3）因为（4000－800）×20%＝640（元），600 < 640 所以此人这次取得的劳务报酬不超过 4000 元. 设此人这次取得的劳务报酬是 x 元， 则 600 ＝0.2x －160．解得 x＝3800. 所以此人这次取得的劳务报酬是 3800 元. 解 漏刻计时 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”。其计时原理：水匀速漏入受水壶，受水壶中的浮子就会均匀升高，浮子升高的高度 h 与所经历的时间 t 之间的关系是 h = kt（k为常数）。 阅读·思考 $