23.2&23.3中心对称 图案设计【九大考点+九大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

23.2&23.3中心对称 图案设计 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一．中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）． 技巧：轴对称与中心对称的区别 轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分． 中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分． 知识点二．关于中心对称的图形的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形是全等图形． 技巧：．确定对称中心的方法 （1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心． （2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形 这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来． 知识点四．中点对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 知识点四．关于原点对称的点的坐标特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 知识点五．图案设计 图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案． 技巧：利用基本图案进行组合设计 几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案． 【题型探究】 题型一：中心对称的判断 【例1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）下列各组图形中，和成中心对称的是（   ） A．B．C．D． 【变式1】．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 题型二：画中心对称图形 【例2】．（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知，如图四边形与点． 求作：四边形，使得四边形与四边形关于点成中心对称图形． 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画关于原点成中心对称的； (2)求的面积； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 【变式2】．（25-26九年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点 O 成中心对称的； (2)画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 题型三、中心对称的性质求解 【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，对角线，且，点P是边上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结， (1)的面积为______． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)当四边形为菱形时，求线段的长． (4)当四边形为矩形时，连结，的面积为______． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 【变式2】．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 题型四、判断中心对称图形 【例4】．（25-26九年级上·全国·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A．B． C． D． 题型五、中心对称图形的对称中心 【例五】．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2023·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 题型六：中心对称图形的规律问题 【例6】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式1】．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 题型七、关于原点对称的点的坐标问题 【例7】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【变式2】．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2025 题型八、图案设计 【例8】．（25-26九年级上·全国）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（   ） A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移 【变式1】．（25-26九年级上·全国）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 题型九：中心对称综合问题 【例9】．（25-26九年级上·重庆）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 【变式2】．（22-23九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)的面积为　　 ； (2)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (3)画出关于点O的中心对称图形； (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 【高分演练】 一、单选题 1．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A．B． C． D． 3．（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级上·安徽淮北·自主招生）能用来证明勾股定理的“赵爽弦图”曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）若点和点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．8 D． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 9．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是 （填序号）． 13．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 14．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值是 ． 15．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：点 与点 关于点 中心对称；连接，，，则平分；连接，则点 ， 到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 17．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 三、解答题 18．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，画出，点的坐标是_____； (2)画出将关于点的中心对称图形，点的坐标是_____； (3)我们发现点、关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____． 20．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． (1)把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称． 21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 23．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2&23.3中心对称 图案设计 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一．中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）． 技巧：轴对称与中心对称的区别 轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分． 中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分． 知识点二．关于中心对称的图形的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形是全等图形． 技巧：．确定对称中心的方法 （1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心． （2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形 这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来． 知识点四．中点对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 知识点四．关于原点对称的点的坐标特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 知识点五．图案设计 图案的设计与日常生活息息相关，通常是利用基本图形的变换来完成设计工作．图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转这三种基本形式，也有很多图形的形成是经过n次变换复合而成的，其复合形式灵活多样，我们可以根据各自的审美情趣，创造出各种各样的图案． 技巧：利用基本图案进行组合设计 几个基本图案组合在一起，可能形成一个复合型图案，我们还可以进行多次变换，设计出较大型美丽图案． 【题型探究】 题型一：中心对称的判断 【例1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）下列各组图形中，和成中心对称的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，和成中心对称，如图所示： 故选：D． 【变式1】．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式2】．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 题型二：画中心对称图形 【例2】．（25-26九年级上·北京海淀·期中）已知，如图四边形与点． 求作：四边形，使得四边形与四边形关于点成中心对称图形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查作图中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称变换的性质分别作出的对应点，顺次连接即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画关于原点成中心对称的； (2)求的面积； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）分别作点、、关于原点成中心对称的点、、，并依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）根据平行四边形的性质，利用平移法即可解决问题； 本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2） （3）①四边形是平行四边形时，，， 根据平移的性质把向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到． 因此将向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到． ②四边形是平行四边形时，，， 根据平移的性质把向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到． 因此将向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到． ③四边形是平行四边形时，，， 根据平移的性质把向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到． 因此将向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到，此时在轴上，不符合题意，舍去． 综上，满足条件的点的坐标为，． 故答案为，． 【变式2】．（25-26九年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点 O 成中心对称的； (2)画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形． （1）分别确定关于原点 O 对称的，再顺次连接即可． （2）分别确定绕点 O 顺时针旋转 后得到的对称点，再顺次连接，再根据的位置可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求， ∴． 题型三、中心对称的性质求解 【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，对角线，且，点P是边上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结， (1)的面积为______． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)当四边形为菱形时，求线段的长． (4)当四边形为矩形时，连结，的面积为______． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)； (4)． 【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式即可求解； （2）根据对称的性质得到，，即可得出结论； （3）由菱形的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解； （4）当四边形为矩形时，点与点重合，此时点在一条直线上，D为直角三角形，根据矩形和平行四边形的性质求出和的长度，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：， ， ， 的面积， 故答案为：； （2）证明：∵点，点关于点的对称， ， ∵点，点关于点的对称， ， ∴四边形是平行四边形； （3）解：∵四边形为菱形， ，， 在中， ， ， ， ； （4）解：当四边形为矩形时，点与点重合，如图： ∴点在一条直线上， 为直角三角形， ∵四边形为矩形， ，， ∵四边形为平行四边形， ， ， 的面积， 故答案为：． 【变式1】．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得，再结合中心对称图形的性质，可得的长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∵与关于B点中心对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13 【变式2】．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、判断中心对称图形 【例4】．（25-26九年级上·全国·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.熟知二者的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】 解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合； 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合； 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 题型五、中心对称图形的对称中心 【例五】．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质：中心对称图形的对应点的连线段被对称中心所平分；根据此性质，对应点的中点即为点E，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：由图知，，其中点坐标为， 即点E的坐标为； 故选：A． 【变式1】．（2023·北京大兴·一模）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M． 【详解】解：如图， 相交于点M， ∴点M是与对称中心， 故选：A． 【变式2】．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，得到点E即为的中点，根据两点中点坐标公式即可得到答案． 【详解】解：∵中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置， ∴点E即为的中点， ∵， ∴， 故选A 题型六：中心对称图形的规律问题 【例6】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 【变式1】．（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 【变式2】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 题型七、关于原点对称的点的坐标问题 【例7】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 【变式1】．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点与关于原点对称，所以，． 则． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意， ∴， ∴； 故选B． 题型八、图案设计 【例8】．（25-26九年级上·全国）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（   ） A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，熟知旋转、轴对称、平移的定义和性质是解题的关键． 观察时紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：平移是沿直线移动一定距离得到新图形， 旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形， 轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． 观察图形结合上述知识可知，该图案不包含的变换是平移． 故选：D 【变式1】．（25-26九年级上·全国）下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换作图的知识，掌握各种图形变换是解题的关键． 根据平移、旋转和轴对称变换的定义和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A、经过平移即可得出原图； B、经过一次平移，再绕顶点顺时针旋转，逆时针旋转即可得出原图案； C、经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到原图形； D、绕顶点旋转即可得出该图案． 故选：C 【变式2】．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 题型九：中心对称综合问题 【例9】．（25-26九年级上·重庆）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或或或或 或或． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求， 的坐标为； （3）解：由（2）图可得，． ． 当点在轴上时，设， 若，则， 解得，即． 若，则， 解得．即或． 若，则， 两边平方得， 即，解得或，即或． 当点在轴上时，设： 若，则， 解得，即． 若，则， 解得或，即或． 若，则， 解得．即或． 综上，点P的坐标为或或或或或或 或或． 【变式1】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)请你画出关于原点对称的； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点即为所求． 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】．（22-23九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)的面积为　　 ； (2)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (3)画出关于点O的中心对称图形； (4)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为　　 ． 【详解】（1）解：， ∴的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据图形可知：对应点的连线交于点∴旋转中心的坐标为： 故答案为：． 【高分演练】 一、单选题 1．（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键． 根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、变换方式是平移，不符合题意； B、变换方式是旋转，符合题意； C、变换方式是轴对称，不符合题意， D、变换方式不是旋转，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意； B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意； C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意； D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·安徽淮北·自主招生）能用来证明勾股定理的“赵爽弦图”曾作为2002年在我国举行的第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：是中心对称图形，但不是轴对称图形． 故选：B 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 6．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）若点和点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，求代数式的值，熟练掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征，分别列出关于的方程，求出的值即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 9．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质． 【详解】解：或或， 点关于点成中心对称的点的极坐标表示为：或或， 故选：B． 11．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可. 【详解】根据图形的特殊性可以得出，内层图案是按轴对称设计的，外层图案是按旋转设计的，说法①②错误，说法③④正确． 故答案为：③④. 13．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称以及三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．根据三角形的中位线定理可得，再根据中心对称的性质可得，即可得解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 与关于点成中心对称， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是由边长为 的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：点 与点 关于点 中心对称；连接，，，则平分；连接，则点 ， 到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确地画图，熟练掌握相关知识点．根据描述，作图，逐一进行判断即可； 【详解】解：①如图：    点与点关于点中心对称；故①正确； ②如图：    由图可知：， ∴为等腰三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴经过的中点， ∴平分，故②正确； ③如图，点到的距离为，点到的距离为，    ∴， ∴点，到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出的顶点坐标为，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 三、解答题 18．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，将三个顶点以点为旋转中心顺时针旋转，连接旋转后的三个点作图即可画出旋转后对应的； （2）根据旋转的性质，将三个顶点以点为旋转中心顺时针旋转，连接旋转后的三个点作图即可画出旋转后对应的； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，由动点最值问题-将军饮马模型可得，点即为所求，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：取点关于轴的对称点，连接，连接交轴于点，连接，如图所示： 由对称性可知，，则， 即当点三点共线时，值最小，为线段， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、作图-中心对称、轴对称﹣最短路线问题、动点最值问题-将军饮马模型、三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马模型解法是解答本题的关键． 19．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，画出，点的坐标是_____； (2)画出将关于点的中心对称图形，点的坐标是_____； (3)我们发现点、关于某点中心对称；对称中心的坐标是_____． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）连接，取线段的中点，则点、关于点中心对称，即可得出答案． 本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标是． 故答案为：． （3）解：连接，取线段的中点， 则点、关于点中心对称， 对称中心的坐标是． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． (1)把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点________中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移(作图)， 画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把向右平移4个单位长度得到； （2）分别找出关于原点的对称点，得到； （3）分别连结与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）观察图形可知，与关于点中心对称， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． (3)已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 【详解】（1）解：如图即为所求， 此时，； （2）解：如图，即为所求， 此时，， 可看作以点为旋转中心，旋转得到的， 故答案为：，，180； （3）解：如图所示， 因为A的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为， 所以直线必过点，且直线垂直平分线段， ∵可以看作的正方形的对角线， ∴直线经过点，假设直线的解析式为， 将，代入得，解得 所以直线的解析式为． 22．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)画图见解析，的坐标 (2) 【分析】本题考查坐标与图形的旋转和平移，对称中心． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，，，连线即可； （2）根据已知可得对应点的中点坐标，即为对称中心的坐标． 【详解】（1）解：作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，点与点重合，连接，，，即可得，， 如图，为所求，点的坐标为 （2）解：∵点的对应点的坐标为，，， ∴将向下平移个单位长度得到， 设与恰好关于点成中心对称，则点为的中点， ∵，， ∴，， ∴， ∴这个对称中心的坐标为． 故答案为：． 23．（25-26九年级上·北京·阶段练习）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点． (1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． （1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， 轴， 如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解： ， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最大，即，解得：， 当在上时，m值最小，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图，绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $