第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质的应用。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知的周长是8，且，则顶点A的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断，再根据椭圆的定义可知，顶点A的轨迹方程是以为焦点的轨迹方程，再由的周长得出的值，即可得出顶点A的轨迹方程. 【详解】∵， ∴顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆， 设其方程为， 则，， ∴，， 又∵三点不共线， ∴顶点A的轨迹方程为，． 故选：A. 2． 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意假设抛物线的方程，再利用抛物线的焦半径公式求得，从而得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上， 所以可设抛物线的方程为，其准线方程为， 又抛物线上一点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离也为4，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 3．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程可知长半轴长a和短半轴长b，从而可求出焦距. 【详解】由椭圆方程可知， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D. 4．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，性质，结合中点坐标公式，两点间距离公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，，的周长为，所以， 因为，所以. 在椭圆中，，因为A是椭圆与y轴正半轴的交点，则设， 则，所以，解得. 因为中点，又线段的中点在直线上，所以，即， 则，解得. 故选：B.    5．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 6．已知抛物线方程为，其焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线方程为，其焦点坐标是，据此即可解答． 【详解】∵抛物线方程为， ∴ ∴， ∴交点坐标为， 故选：B． 7．若直线与双曲线只有1个交点，则实数值的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】联立方程组，根据交点个数为，分类讨论和的情况即可得解. 【详解】联立方程组得， 因为交点个数为， 当时，符合题意，解得或， 当时，，解得或， 综上所述，符合题意的值有个， 故选：. 8．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 【答案】D 【分析】根据题意求出值，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线，则，解得， 因为，，解得（舍）或， 故选：. 9．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得椭圆方程中的参数，再利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 则，则， 所以的周长为 . 故选：A. 10．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行判断即可. 【详解】由题可知：方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以. 故选：B 11．顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的焦点得到抛物线的开口方向与标准方程，从而得解. 【详解】因为抛物线顶点在原点，焦点为，焦点在轴负半轴上， 所以抛物线开口向下，其标准方程为，焦点坐标为， 因为焦点，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：C. 12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线中焦点到渐近线的距离等于实轴长列式整理，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线， 焦点为，渐近线为，即， 则焦点到渐近线的距离， 所以， 则其离心率为， 故选：A. 13．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 14．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 15．若直线经过抛物线的焦点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，再将焦点坐标代入直线方程中即可得解. 【详解】抛物线的焦点坐标在轴正半轴，且， 所以焦点坐标为， 将焦点坐标代入直线方程，，解得， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于 . 【答案】/ 【分析】先由渐近线方程得出的关系，再由的关系和离心率公式计算即可. 【详解】设焦点在轴上的双曲线为， 因为渐近线方程为，所以，即， 由得，， 因为，所以， 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 17．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，分析求解即可. 【详解】设椭圆的另一个焦点为， 由椭圆的定义可知，， 因为，所以， 又因为分别为中点， 所以， 故答案为：. 18．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 【答案】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，进而求得，从而得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 所以，则， 则短轴长. 故答案为：. 19．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【分析】利用抛物线的定义列出式子，解得答案. 【详解】设点的纵坐标为， 抛物线的准线为，焦点为， 由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等， 即， 解得， 故答案为：. 20．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，已知椭圆的焦距是4，离心率为，斜率为2的直线过椭圆左焦点，且交椭圆于，两点，是坐标原点.求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距以及离心率求出椭圆的方程. （2）首先求出直线l的方程，再求出线段AB的长度以及原点到直线的距离，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）已知椭圆的焦距是4，则，即. 离心率为，解得，进而. 则椭圆的标准方程为. （2）斜率为2的直线过椭圆左焦点，则直线的方程为. 将直线代入到椭圆的方程，化简得. 则. 根据弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以三角形的面积为. 22．已知椭圆的焦距为2，离心率是，直线的斜率为且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有交点，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质列出方程组即可得解. （）根据题意写出直线方程，联立方程组结合即可得解. 【详解】（1）由题意知解得， 椭圆C的方程为. （2）直线的斜率为且过点，直线的方程为， 联立方程组，化简得， 又直线与椭圆C有交点， ，解得或， 直线与椭圆C有交点时，的取值范围是. 23．如图，已知是双曲线的左、右焦点，经过原点的直线与交于两点（在的左支上）．    (1)若点坐标为，且的一条渐近线方程为，求的标准方程； (2)若，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程求出之间的关系，再根据点坐标为求出标准方程. （2）根据双曲线的定义以及题目条件求出双曲线的离心率. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为，所以. 又因为点在双曲线上，且坐标为，所以. 再将代入，可得，解得，. 从而的标准方程. （2）因为关于原点对称，所以，， 则四边形是平行四边形，所以，. 又因为，，设，则，. 进而在中，， 所以，则. 由双曲线的定义可知，. 所以，则离心率. 24．设斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点.若（为坐标原点）的面积为4，求： (1)直线的一般式方程； (2)抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线得到点的坐标，进而得到直线的方程，从而求得点的坐标，进而由题意得到关于的方程，解之即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点， 又直线的斜率为，且过点， 则直线的方程为，即， 当时，， 所以直线与轴交于点的坐标为， 又， 得，则， 又，所以， 则直线的方程为，即. （2）由（1）得抛物线的标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质的应用。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知的周长是8，且，则顶点A的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 3．椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 6．已知抛物线方程为，其焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．若直线与双曲线只有1个交点，则实数值的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足，则的值为（   ） A．或7 B．1 C．9 D．7 9．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 10．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 13．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 15．若直线经过抛物线的焦点，则（    ） A． B． C．0 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于 . 17．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则 18．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 19．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 ． 20．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，已知椭圆的焦距是4，离心率为，斜率为2的直线过椭圆左焦点，且交椭圆于，两点，是坐标原点.求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的面积. 22．已知椭圆的焦距为2，离心率是，直线的斜率为且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有交点，求的取值范围. 23．如图，已知是双曲线的左、右焦点，经过原点的直线与交于两点（在的左支上）．    (1)若点坐标为，且的一条渐近线方程为，求的标准方程； (2)若，且，求双曲线的离心率． 24．设斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点.若（为坐标原点）的面积为4，求： (1)直线的一般式方程； (2)抛物线的标准方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $