第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 圆锥曲线定义应用 1 考点二 标准方程求解 2 考点三 几何性质分析 2 考点四 椭圆与双曲线离心率求值 2 考点五 双曲线渐近线应用 2 考点六 抛物线焦点与准线应用 3 考点七 中点弦问题 3 考点八 弦长计算 3 考点九 焦点三角形计算 4 考点十 轨迹方程推导 4 考点一 圆锥曲线定义应用 1．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 2．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 考点二 标准方程求解 3．若抛物线上一点到其焦点的距离为4，则该抛物线的标准方程为 ． 4．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 考点三 几何性质分析 5．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 6．若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 椭圆与双曲线离心率求值 7．椭圆上一点P满足，则椭圆的离心率 . 8．已知直线是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的离心率为 . 考点五 双曲线渐近线应用 9．双曲线，则双曲线的渐近线方程为 . 10．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 考点六 抛物线焦点与准线应用 11．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 12．已知抛物线上点到焦点的距离为8，则抛物线标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 考点七 中点弦问题 13．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 14．已知直线l过抛物线的焦点，并交该抛物线于A，B两点，若，则弦AB的中点M到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D． 考点八 弦长计算 15．已知抛物线的方程为． (1)若抛物线上的点（点在第一象限）到其焦点的距离为6，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求所在直线与抛物线的交点弦长． 16．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，求弦长. 考点九 焦点三角形计算 17．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 18．设和是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，求三角形的面积． 考点十 轨迹方程推导 19．已知三边、、的长成等差数列，且，点、的坐标分别为、，则动点的轨迹方程是（     ） A． B． C． D． 20．已知动点与两定点的距离之差的绝对值满足，则动点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 圆锥曲线定义应用 1 考点二 标准方程求解 2 考点三 几何性质分析 2 考点四 椭圆与双曲线离心率求值 2 考点五 双曲线渐近线应用 2 考点六 抛物线焦点与准线应用 3 考点七 中点弦问题 3 考点八 弦长计算 3 考点九 焦点三角形计算 4 考点十 轨迹方程推导 4 考点一 圆锥曲线定义应用 1．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可求得，继而求得的值，即可求得焦距. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，， 所以， 所以焦距为. 故选：D. 2．平面上到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义进行判断，以及之间的基本关系计算即可. 【详解】由平面上动点到两定点的距离之和为8,且， 所以该点的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 设椭圆方程为，且，则， 所以，所以椭圆方程为. 故选：A 考点二 标准方程求解 3．若抛物线上一点到其焦点的距离为4，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】. 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为. 因为抛物线上一点到其焦点的距离为4， 所以，解得. 所以抛物线的标准方程. 故答案为：. 4．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图得到焦点与短轴顶点的坐标，进而求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 考点三 几何性质分析 5．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为， 所以，则，，解得. 因为，所以，解得. 故选：C. 6．若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点的位置以及双曲线的定义得到关于m的不等式组即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：D. 考点四 椭圆与双曲线离心率求值 7．椭圆上一点P满足，则椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】分类讨论和的情况，由椭圆方程得到，结合椭圆方程，得到，再由得到，即可解得. 【详解】因为椭圆， 若，则，，则， 所以，即， 即， 所以离心率； 若，则，所以， 因为，所以不符合题意，故排除此情况， 综上，椭圆的离心率为. 故答案为： 8．已知直线是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线求出的值，根据求出值，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线C：（）， 则，， 所以双曲线的渐近线为， 则，解得， 所以，解得， 离心率， 故答案为：. 考点五 双曲线渐近线应用 9．双曲线，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线方程的求法即可得解. 【详解】对于双曲线， 令，整理得， 所以双曲线的渐近线方程为. 10．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程得出值，结合焦点位置代入渐近线方程公式中即可得解. 【详解】双曲线，焦点在轴上， 则，， 所以渐近线方程为， 故选：. 考点六 抛物线焦点与准线应用 11．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程确定，进而得到焦点到准线的距离. 【详解】抛物线化为，可得 所以抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C. 12．已知抛物线上点到焦点的距离为8，则抛物线标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将点代入抛物线方程并由抛物线的定义可得，联立求解即可. 【详解】抛物线上点到焦点的距离为8， 得， 因为，所以由②得， 代入①，得， 整理得，即， 解得或， 所以抛物线标准方程为或. 故选：D. 考点七 中点弦问题 13．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设弦与椭圆的交点分别为， 因为弦的中点坐标为，所以. 联立，化简整理得，. 所以，解得，所以， 经检验，此时，则椭圆的短轴长为. 故选：C. 14．已知直线l过抛物线的焦点，并交该抛物线于A，B两点，若，则弦AB的中点M到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由抛物线方程求出准线方程，再由抛物线的定义可求解的值，即可求解中点M到y轴的距离. 【详解】设，， 由题可得抛物线的准线方程为：， 由抛物线的定义可得， ，弦的中点M到y轴的距离为. 故选：D. 考点八 弦长计算 15．已知抛物线的方程为． (1)若抛物线上的点（点在第一象限）到其焦点的距离为6，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求所在直线与抛物线的交点弦长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据抛物线的定义和已知抛物线方程即可解得. （2）将直线方程与抛物线方程进行联立，根据韦达定理即可解得. 【详解】（1）抛物线的方程为，，， 若抛物线上的点（点在第一象限）到其焦点的距离为6， 则点的横坐标为，将代入抛物线解析式中， 即，解得， 又点在第一象限，． （2）由（1）得，则所在直线的方程为， 设直线与抛物线交于另一点， 设，联立， 则由韦达定理可得， ， 即所在直线与抛物线的交点弦长为9． 16．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出的值即可得解. （2）根据直线的点斜式方程求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组代入弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意设椭圆的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线的倾斜角为，所以斜率， 直线过点，所以直线的方程为， 设， 将代入，得，整理得， 由韦达定理，可得， 所以， 所以弦长为. 考点九 焦点三角形计算 17．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 【答案】4 【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4. 【详解】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为. 故答案为：4 18．设和是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，求三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据双曲线方程得到的关系，结合三角形余弦定理进行化简，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】双曲线，∴， 则，即． 由双曲线的定义，知．① 在中，根据余弦定理，得 ．② ②-①2，得． 所以．    考点十 轨迹方程推导 19．已知三边、、的长成等差数列，且，点、的坐标分别为、，则动点的轨迹方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，可得动点的轨迹方程是椭圆右半部分（不包括轴上的点），继而求得的值，即可求解. 【详解】因为点、的坐标分别为、，所以， 因为三边、、的长成等差数列， 所以， 即动点到定点，的距离的和为定值，且， 所以动点的轨迹是椭圆且， 所以，即轨迹方程为， 又，所以动点的轨迹是椭圆右半部分（不包括轴上的点）， 轨迹方程为，. 故选：B. 20．已知动点与两定点的距离之差的绝对值满足，则动点的轨迹方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合双曲线的定义求出值即可得解． 【详解】由知，点到与两定点的距离之差的绝对值为， 又因为，结合双曲线的定义可知，点的轨迹是双曲线，双曲线的焦点为，， 且，解得， 又因为，所以， 故双曲线的标准方程为． 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $