专题01 函数（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为函数。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 大题专项 专题1 函数 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1.函数 （1）函数的表示方法：理解函数表示的解析法、列表法和图像法；理解分段函数的概念。 （2）函数的应用：初步掌握从实际问题中抽象出分段函数、二次函数模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 28 二次函数的实际应用 10 （1）分值：一般考查1题，2025年分值占10分。 （2）内容：二次函数、分段函数的应用。 2024 解答题 32 分段函数的实际应用 10 2023 解答题 33 二次函数的实际应用 10 2022 解答题 33 二次函数的实际应用 10 2021 解答题 33 二次函数的实际应用 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试解答题部分仍有1道题目考查函数知识点，分值共12分左右，内容为包含二次函数在内的分段函数应用。试题倾向于让学生经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，考查数据分析、运算能力、数学建模等核心素养，难度较大。 四、知识梳理 1.数学建模的相关知识 问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验、推广应用 2.分段函数及函数的实际应用 函数应用的内涵：函数应用的内涵是把实际问题抽象为数学问题. 函数应用的步骤 (1)读题:即读题目,弄清题目中的相关量及其数学含义. (2)建模:根据题目的描述,建立相关量之间的数学关系.常见函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等. (3)解模:用相应的数学知识和方法去求解函数. (4)检验:把解出的数学结论放回到实际问题中去检验,得出符合条件的结论. 二次函数的最值问题：在现实生活中被广泛应用.解决此类问题时,一般先构造函数,然后利用单调性、值域等求出最值. 分段函数模型：分段函数的应用主要是自变量在每一段变化范围所对应的法则不同，可以先将其作为几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起. 五、经典例题解析 【考试题型1】二次函数的应用 【例1】（2025年浙江高职考真题）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t   0 0.5   1 1.5   2 2.5   3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 (1)若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； (2)记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c的值； (3)根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】(1)不会响，理由见解析 (2)，， (3)没有落地，理由见解析 【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【详解】（1）由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. （2）由题意得，， 则解得，，. （3）由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 【一题一小结】：此类题中涉及对图表数据进行分析，要求考生能够读懂题目和进行简单的数据分析、整理。同时数据多为包含小数点的数值，计算时需要仔细、清楚，建议考生在计算时一步一步扎实计算，草稿清楚，排版整齐。 【例2】某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 【答案】(1) (2)32分钟 【知识点】待定系数法、分式型函数模型的应用、其它常见函数模型的应用 【分析】（1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据函数图像上的点确定函数解析式，进而由函数解析式求解即可； 【详解】（1）设加热过程中函数解析式为， 点在函数图象上，，解得， 当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，，反比例函数解析式为：， 当时，，即， 自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟）. 【一题一小结】：此类题中涉及对分段函数图像进行分析，要求考生能够熟练掌握函数表示的三种形式的互相转化，读懂题目和进行简单的数据分析、整理，学会用待定系数法求解函数解析式。 【例3】某城市出租车的计价方式如下，乘车里程在3km以内（包括3km），起步价8元；超过3km时，超过的部分每1km加收2元．另外，超过6km时，超过的部分每1km再加收20%的空驶费．不足1km按1km计算，不考虑其他费用． (1)写出应收费用y（单位：元）与乘车里程x（，单位：km）的函数解析式． (2)某人乘车时，若里程表显示为4.6km，则他应付多少元？ (3)若某人付了47.6元，则他乘车里程范围是多少千米？ 【答案】(1) (2)12 (3) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】（1）由题干条件按取值范围写出分段函数即可， （2）根据（1）得出的分段函数，代入解析式求出函数值即可； （3）根据函数值，代入解析式求出的取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 当且时，； 当且时，； 当且时，． 综上所述， （2）当里程表显示为时，不足按计算， 故按计费， 他应付元． （3）当时，， 当时，， 则令， 解得， 由题意可得，他乘车里程范围是（km）． 【一题一小结】：此类题中涉及考生阅读理解能力的考查，要求考生能够从题干文字表述中抓取分段函数的关键信息，具备分类讨论的意识，准确分类，理清数量关系，正确列式计算，最后形成分段函数解析式。 【例4】某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每生产100台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述条件，完成下列问题： (1)写出总利润函数的解析式（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂有盈利，求产量x的范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 【答案】(1) (2)大于100台，小于820台 (3)400台 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由分段函数的值域或最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、求二次（型）函数的最值 【分析】（1）根据题意表示出总成本，再利用销售收入减去总成本，即为利润. （2）利用二次函数的图像和性质以及分段函数，即可求解. （3）根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以. （2）由（1）知， 当时，由，得， 解得，所以， 当时，由，解得，所以， 综上得当时有， 所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. （3）当时，函数，在定义域上单调递减， 所以（万元）， 当时，函数， 当时，有最大值为54（万元）． 所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元. 【例5】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，在讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.用表示学生接受和掌握概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），则有以下关系式： (1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)一道数学难题，需要55的接受能力以及13min 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题? 【答案】(1)开讲10min 后，学生达到最强接受能力，能维持6 min. (2)老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题. 【分析】（1）先求分段函数每一段的最值，再综合求最大值. （2）分类讨论，在不同定义域内取，解出的值，进而判断是否能够完成. 【详解】（1）由题意， 当时，， 故当时，函数单调递增，故其最大值为 . 当时，. 当时，单调递减，且. 因此，开讲10min 后，学生达到最强接受能力，能维持6 min. （2）当时，令，解得或， 因为，所以舍去， 当时，令，解得. 因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为. 故老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题. 【一题一小结】：此类题中涉及考生阅读理解能力的考查，要求考生能够从题干文字表述中抓取分段函数的关键信息，具备分类讨论的意识，准确分类，理清数量关系，正确列式计算，最后形成分段函数解析式。 【例6】如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32，设矩形场地的长为，宽为，面积为． (1)分别求出y与x，S与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加8，矩形场地的最大总面积能否达到？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，面积最大为 (3)不能，理由见解析 【知识点】求二次（型）函数的最值、利用二次函数模型解决实际问题、其它常见函数模型的应用 【分析】（1）根据篱笆的总长度表示y与x的关系，进而利用矩形面积求法得出S与x的函数解析式； （2）利用二次函数最值求法得出答案； （3）由题意得出S与x的函数解析式，将代入，解方程即可判断. 【详解】（1）根据题意得，；. （2）， ， 当时，矩形场地的总面积最大，最大为. （3）若购买的篱笆总长增加，即， 由题意得， 将代入得：，解得：， ，不符合要求，舍去， 矩形场地的最大总面积不能达到． 【一题一小结】：此类题中涉及考生图形分析能力的考查，要求考生能够对图形中数量关系进行准确分析，理清数量关系，正确列式计算，尤其需要注意函数的定义域。 【例7】某超市以8元/个购进一批新的玩具，当以16元/个出售时，每天可以售出40个，国庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销，经调查发现，当售价每降1元，每天可多卖出10个玩具.设玩具的售价降低了x元，销售这种玩具每天可获利为W元. (1)求W与x的函数关系式； (2)这种玩具的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)W (2)这种玩具的售价定为14元时，每天可获得最大利润，最大利润是360元. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据总利润单利润数量列出函数关系式. （2）根据二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意可知， . （2）由（1）可知，， 当时，W有最大值， . 故这种玩具的售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是360元. 【一题一小结】：此类题中是二次函数应用的典型题，属于“每每”问题。要求考生能够理清数量关系，正确列式计算，尤其需要注意函数的定义域。 六、专题归纳小结 近年来，浙江省高职考函数解答题主要内容为包含二次函数在内的分段函数应用。试题倾向于让学生经历从实际问题中抽象出函数模型的过程，考查数据分析、运算能力、数学建模等核心素养。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $