计数原理、概率与统计初步 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

计数原理、概率与统计初步 一、课标解读 1.排列与组合 · (1) 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题； · (2) 了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； · (3) 了解组合数的性质． 2.概率与统计初步 · (1) 了解随机现象和概率的统计定义； · (2) 理解必然事件和不可能事件的意义；了解基本事件和离散样本空间的概念；理解随机事件的概率的性质； · (3) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式，并能运用它求出简单随机事件的概率； · (4) 了解互不相容事件概率的加法定理和相互独立事件概率的乘法定理，并能利用这些定理解决一些简单的问题； · (5) 了解n次独立重复试验模型，了解n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，并能进行简单实际应用 · (6)理解不同抽样方法的原理与适用场景，能设计简单的抽样方案 · (7)能对数据进行初步整理，并用恰当的统计图表展示数据，会使用计算器或计算机软件处理数据 · (8)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 · (9)能判断变量间的相关关系，会求一元线性回归方程，并能进行初步预测 二、知识梳理 （一）排列组合 1. 排列与排列数 (1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． (3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__． 2. 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__． (4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__． 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3. 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__． 4. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n＋1__． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__． (3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n． 5. 二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是__C＝C__． (2)二项式系数先增后减，中间项最大． 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__． 重要结论 1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关． (2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （二）概率 1. 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义 符号表示 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) __A∪B__ __(或A＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) __A∩B__ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B为__不可能__事件，则称事件A与事件B互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，则称事件A与事件B互为对立事件 __A∩B＝∅，__ __且A∪B＝Ω__ 重要结论 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__． (4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__． 2.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 3.古典概型的概率公式 P(A)＝___. 4.事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__，则称事件A与事件B相互独立． 若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立． （三）离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)__. (2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝_np__，D(X)＝_np(1－p)__. （四）统计 1. 随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 （2）系统抽样 （3）分层抽样 2.统计图表 画频率分布直方图的步骤 1．求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差. 2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 3．将数据分组. 4．列频率分布表：一般分四列，即分组、__频数累计__、频数、__频率__.其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__. 5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝__频率__.各小长方形的面积和等于1． 3. 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 4.一元线性回归 对于具有线性相关关系的两个变量x和y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下：＝x＋ 其中 ＝－ 这个方程称为y对x的回归直线方程 回归直线方程的性质 ①经验回归方程一定过点 (，)　； ②一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是　>0　； ③的实际意义：当x增大一个单位时， 增大　个单位． 三、专题归纳小结 一、排列组合 （一）、专题核心内容总结 1. 核心概念辨析（一切的基础） 概念 定义 核心区别 计算公式 分类加法计数原理 完成一件事有n类方案，每类方案都能独立完成此事 “每类都能独立完成” → 方法数相加 N＝m1＋m2＋…＋mn 分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，每一步都完成了，这件事才算完成 “缺一步不可” → 方法数相乘 N＝m1·m2·…·mn 排列 (P) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列 “不仅取出来，还要排顺序” 组合 (C) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组 “只选不排” 选择口诀： “分类用加法，分步用乘法；有序是排列，无序是组合” 2. 经典模型（解题的钥匙） 模型 特征 对应方法 捆绑法 要求某些元素必须相邻 先将这些元素视为一个整体与其他元素排列，再排内部 插空法 要求某些元素互不相邻 先排其他元素，再将不相邻元素插入其空位 正难则反 直接求解情况复杂 先求总体情况数，再减去不满足条件的情况数 模型识别口诀： “相邻问题捆捆看，不相邻问题插空档；正面复杂反面爽，间接法是好方” （二）、解题策略与技巧 1. 三步定位法 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 “排列”还是“组合”混淆 从10人中选3人当代表，和选3人分别任班长、学委、团支书，结果一样 混淆“选代表”（无序组合）与“分配职务”（有序排列） 问自己：交换元素顺序，是另一种情况吗？ “分类”还是“分步”混淆 从4男3女中选2男1女组成小组，误用 “选男”和“选女”是同时完成的步骤，非分类 问自己：少选一个人，小组完成了吗？ 重复计数 4个球放入3个盒子，每盒不空，误用（先选3球各放一盒，再放剩下1球） 剩下1球放入任一盒，与先放入的球产生重复 复杂分配问题，先分组再分配 焦点位置不清 数字1,1,2,3,4组成五位数，能组多少个？误为 两个1是相同的，交换位置不算新情况 有重复元素时，要除以重复元素的全排列： （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 审题训练：带领学生逐字分析问题，用“三步定位法”判断是分类/分步、有序/无序。 模型识别：对四大经典模型进行专项训练，做到看到关键词（“相邻”、“不相邻”、“至少一个”）就能反应。 规范书写：要求写出简要的文字说明（如：“先排...再排...”），再用算式计算，避免盲目套公式。 2. 真题演练方向： 题型1：纯排列/组合问题（如：排队、选代表）。 题型2：排列组合综合问题（如：分配问题、数字问题）。 题型3：与概率结合（先利用排列组合，再套概率公式。 二、二项式定理 （一）、专题核心内容总结 1. 核心公式——二项展开式的通项公式 其通项公式（第k+1项）为： 口诀：“C右下n右上k，a幂降来b幂升；通项是第k加一项，千万小心别搞混” 2. 两个核心概念 概念 定义 区别与联系 二项式系数 指组合数  只与n,k有关，与a,b无关 项的系数 指该项中所有字母因数的积（包括符号和数字） 既与n,k有关，也与a,b有关 关键区别：二项式系数一定是组合数，而项的系数是常数。 （二）、解题策略与技巧 1. 求解特定项——通项公式法 策略：写出通项公式 → 利用未知数的指数条件建立方程 → 解出k → 代回求出该项。 2. 系数求和问题——赋值法 策略：观察所求系数和的形式，对展开式中的字母变量赋予特定的值（通常是0, 1, -1）。 概念 定义 所有项系数和 令 a=1,b=1 奇数项系数和 令a=1,b=1 和 a=1,b=−1，两式相加再除以2 偶数项系数和 两式相减再除以2 口诀：“系数求和想赋值，1和-1是法宝” （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 项数与k值的关系混淆 误认为项数r就等于公式中的k 牢记“k等项数减1” (k = r - 1) 二项式系数与项的系数混淆 混淆了“二项式系数”和“项的系数”（包含字母前的常数因子） 避坑指南：审题时圈出“系数”二字。若求“二项式系数”，只关注组合数；若求“项的系数”，则需计算所有常数和字母的乘积。 赋值法应用错误 未理解“各项系数之和”的含义。系数是“项”的常数因子，与变量取何值无关。求所有系数和，就是令所有变量取1 求各项系数和，就令所有字母取值为1 忽略常数项的特殊性 思维僵化，认为常数项一定是“第k项”。常数项指的是不含字母的项，即指数为0的项 当k求出来不是整数时，意味着没有满足条件的项，此时的答案通常是0 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 精准的公式逆用与变形能力 培养目标：看到题目能迅速反应出需要运用通项公式，并能准确写出其具体形式。 深刻的“赋值法”思想与应用能力 培养目标：深刻理解“系数和”的本质，掌握通过赋值法求解各项系数和的方法。 严密的“比较与分类”思维 培养目标：能清晰区分易混概念，并能对复杂问题进行分类讨论。 规范的书写与验算习惯 培养目标：通过规范流程，避免因“粗心”导致的错误，做到“会必对”。 2. 真题演练方向： 方向一：求特定项及系数（最基础、最高频） 1. 求常数项 2. 求含x的某次幂的项 方向二：系数和问题（赋值法的核心应用） 1. 求所有项系数和 2. 求奇数项/偶数项系数和 三、离散型随机变量的分布列 （一）、专题核心内容总结 1. 一个核心：分布列 分布列的本质是描述随机变量 的所有可能取值及其对应概率的表格，它全面刻画了随机变量的统计规律。 构成要素 含义 随机变量 所有可能的实验结果（数值化表示） 概率 每个结果发生的可能性 性质（必验！） 1. 非负性；2. 归一性 2. 两翼：数字特征 分布列虽然完整，但不够简洁。我们用“期望”和“方差”这两个数字特征来概括其核心信息。 特征 含义 实际意义 期望E(X) 又称均值，反映随机变量取值的“平均水平” 理论的“平均值” 方差D(X) 反映随机变量取值的“波动大小” 稳定性，方差大则波动大，风险高 口诀： “分布列，两行表，取值概率对上号；先验非负和归一，再算期望和方差。” “方差计算有两法，定义公式和简化； 减 平方，计算简便不易差。” （二）、解题策略与技巧 “三步一验”法 解决分布列解答题，有一套标准化的流程，遵循此流程能最大限度避免失误 第一步（定取值） 第二步（算概率） 第三步（列表格） 第四步（求特征） 第五步（下结论） （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 取值遗漏或重复 审题不清，列举不全面。 所有可能结果必须一一列出 二项式系数与项的系数混淆 组合数计算错误或逻辑错误。 强化排列组合基础，仔细审题 概率计算错误 未理解“各项系数之和”的含义。系数是“项”的常数因子，与变量取何值无关。求所有系数和，就是令所有变量取1 求各项系数和，就令所有字母取值为1 未验证分布列性质 过程不严谨，无法检验概率计算是否正确。 将“验证概率和”作为必要步骤 忽略公式应用条件 对模型识别不清。 先判断模型，再决定是否用公式 （四）、复习建议 学生能力培养重点： 模型识别能力：训练学生快速辨别“超几何”与“二项”分布。 规范书写能力：严格按照“三步一验”的流程书写，步骤分明，计算清晰。 实际应用能力：引导学生用期望和方差的含义解释实际问题（如：决策问题、稳定性比较）。 高考真题演练方向： 题型1（基础）：古典概型直接求分布列和期望。 题型2（高频）：结合超几何分布模型（抽奖、选人、取物）。 题型3（高频）：结合二项分布模型（多次独立重复实验、概率不变）。 四、统计 （一）、专题核心内容总结 1. 统计全流程“四步走” 统计活动遵循一个清晰的流程，理解该流程是解题的基础： 核心概念辨析： 总体 vs 样本：总体是研究对象的全体，样本是总体的一部分。任何结论都是关于样本的，用样本去估计总体。 简单随机抽样：从总体中逐个地、等概率地抽取个体。如抽签、随机数表法。 口诀：“总体是目标，样本是代表；抽样要随机，结论才可靠” 2. 数字特征“两大家族” 特征类型 代表成员 实际意义 集中趋势 平均数 数据的“平均水平” 中位数 数据的“中等水平”，不受极端值影响 众数 数据的“普遍水平” 离散程度 方差 衡量数据的波动大小 方差大，数据越分散 标准差 衡量数据的波动大小，单位与原数据一致 选择口诀：“平均水平看均值，极端值扰看中位；谁出现多看众数，波动大小看方差。” （二）、解题策略与技巧 “读、想、算、判”四步法 1. 统计图表题“读图三步曲” 统计图表是数据的可视化，读图能力是关键。 图表类型 看图要点 典型案例 频率分布直方图 1. 看组距：横坐标轴每段的长度。 2. 看高（频率/组距）：纵坐标高度。 3. 算频率：小长方形面积 = 频率。 求样本容量、特定范围内的频率、众数所在区间、中位数位置 扇形图（饼图） 1. 看比例：扇形的面积比例 ≈ 百分比。 2. 看角度：圆心角 = 360° × 百分比 求各部分的数量、比例 策略：“图表题，细观察；直方图，面积即频率；饼图看比例换算角。” 2. 数字特征题“选择与计算” 选择策略： 问“平均情况” → 平均数。 问“中等水平”或数据有极端值 → 中位数。 问“哪个最多” → 众数。 问“稳定性” → 方差/标准差（越小越稳定）。 （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 总体与样本混淆 概念不清 记住：被抽取的才是样本，被调查的全体是总体 中位数计算错误 未排序或未取平均。 先排序！数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。 直方图频率算错 概念混淆 牢记：小长方形的面积 = 高 × 组距 = 频率 忽略方差单位 对公式理解不深 提醒：方差是标准差的平方，单位也是平方关系 （四）、复习建议 1.学生能力培养重点： · 概念辨析：反复强调“总体 vs 样本”、“平均数 vs 中位数 vs 众数”、“方差 vs 标准差”。 · 计算能力：训练学生使用计算器快速、准确地计算平均数、方差（特别是用简化公式）。 · 读图能力：专项训练频率分布直方图、茎叶图的识图与信息提取。 2.高考真题演练方向： · 题型1（基础）：根据具体数据，求平均数、中位数、众数、方差、标准差。 · 题型2（高频）：结合频率分布直方图，求样本容量、频率、众数、中位数估计值、平均数估计值。 · 题型3（应用）：利用方差或标准差比较两组数据的稳定性（如：评价两名运动员的成绩谁更稳定）。 学科网（北京）股份有限公司 $