集合、充要条件和逻辑用语 - 职教高考复习二轮专用《数学知识复习手册》

集合、充要条件和逻辑用语 一、课标解读 1.集合 · (1)集合及其表示: · (2)集合之间的关系: · (3)集合的运算: 2.充要条件 3.逻辑用语 二、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； （五）逻辑用语 1.量词 (1)全称量词 在陈述中表示对象的全体，“全部的”“所有的”“任意一个”等词在逻辑中通常被称为全称量词，记作“”，含有全称量词的命题叫作全称命题。 (2)存在量词 在陈述中表示的个体或一部分，“存在”“有的”“部分”“至少有一个”等词在逻辑中通常被称为存在量词，记作“”，含有存在量词的命题叫作特称命题。 2.逻辑联结词 (1)“且”即都的意思，符号表示为“”； (2)“或”即或者的意思，符号表示为“”； (3)“非”即否定的意思，符号表示为“”. 3.真值表 p q p q pq pq 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1、集合的基本概念与运算 集合表示：列举法、描述法。 集合关系：子集、真子集、相等。 特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 集合运算：交集、并集、补集（全集）。 2、充要条件的核心逻辑 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 集合包含法（重点！）： p 是 q 的充分条件 ⇔ P ⊆ Q p 是 q 的必要条件 ⇔ Q ⊆ P p 是 q 的充要条件 ⇔ P = Q （其中 P = {x | p(x)}, Q = {x | q(x)}） （二）、解题策略与技巧 集合问题 数轴法：解不等式型集合（尤其含参数） 步骤： ① 画数轴标边界； ② 讨论参数临界点； ③ 验证端点是否取等（易错点！） 充要条件问题 充要条件快速判定 口诀记忆： "前推后是充分，后推前是必要；双推等价是充要" （三）、易错点总结 集合运算 混淆子集与真子集：注意“子集”与“真子集”的区别，空集是任何集合的子集。 化简集合出现错误：化简由二次不等式、绝对值不等式组成的集合出现错误。 求并集时出现错误：把并集当作交集。 充要条件判断 逻辑方向混淆：混淆充分/必要方向的推理。 （四）、复习建议 专题训练侧重： 强化集合语言与数学表达的转换（如 "A∩B=∅" 等价于 "方程无公共解"）； 重点训练含参集合的讨论能力（占高考中档题分值）。 学生能力提升： 建立逻辑推理思维树：从定义出发，用集合工具可视化充要条件； 整理错题本：聚焦"空集遗漏"、"参数端点"、"逻辑方向反"三类高频错误。 真题演练方向： 近三年高考题中集合与充要条件的结合题（常以选择题前4题出现）； 学科网（北京）股份有限公司 $