指数函数和对数函数 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

指数函数、对数函数 一、课标解读 1.了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2.了解幂函数y=xa，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，1/2}． 3．理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则． 4．理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程． 5．了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用． 二、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 指数与指数运算 概念 定义 核心公式 指数运算 an（a>0，n∈R) 对数运算 换底公式 不同底对数转化工具 运算口诀： “指数乘除变加减，对数真数积变和；换底公式搭桥梁，1的对数为0要记牢” 2.函数图象与性质对比 （1）指数函数 参数 图象 过(0,1)，单增，渐近线y=0 过(0,1)，单减，渐近线y=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (1,a) (1,a) （2）对数函数 参数 图象 过(1,0)，单增，渐近线x=0 过(1,0)，单减，渐近线x=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (a,1) (a,1) （二）、解题策略与技巧 1. 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 2. 解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解log2(x−1)2=2得x=3漏解 未考虑真数(x−1)2>0（x≠1） 先写定义域再求解 底数分类错误 解a2x>ax+1未讨论a>1 或0<a<1 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简log23⋅log34误为log212 未用公式 logab⋅logbc=logac 弄清对数运算法则与换底公式条件 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 运算条件反射：每日5题指数/对数混合运算（强化公式变形能力） 图象思维渗透：解方程/不等式必画草图辅助分析 2、高频考向精炼： 题型1：比大小 题型2：求解复合函数定义域 3、真题演练方向： 近三年高考题中指对数运算，比较大小，求解指对数不等式，求解指对数方程。 学科网（北京）股份有限公司 $