三角函数的定义、图像和性质 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

三角函数定义、图像与性质 一、课标解读 1.理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 2.掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 3.理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 4.掌握同角三角函数的基本关系式（两个），能运用这些公式进行化简和求值运算． 5.掌握4组诱导公式：能运用诱导公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式． 6.掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质，了解余弦函数的图象和性质， 掌握已知三角函数值求指定区间内的角度（一般指定区间为(-,]及）． 二、知识梳理 （一）角的概念 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2. 三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角函数定义与弧度制 核心内容 公式/规则 易错警示 任意角定义 终边相同的角：β=α+2kπ 象限角注意 k 的奇偶影响 弧度制转换 180°=π rad 1°＝ rad 特殊角换算必记（如 30∘=） 三角函数定义 ， ；；． x=0 时 tanα 不存在 口诀： “一全二正弦，三切四余弦”（象限正负口诀） “角度化弧度，π当 180°” 2. 同角关系式 平方关系 （注意象限符号） 3.诱导公式“奇变偶不变” 角度形式 化简规则 示例 奇变（sin↔cos），偶不变， 符号看象限（α 为锐角） sin(π+α)=−sinα 4. 三大函数图象与性质 函数 图象特征 定义域 值域 周期 单调区间（增→减） y=sinx “波浪线”，原点中心对称 R [−1,1] 2π 　，k∈Z ↑； 　，k∈Z ↓ y=cosx “波浪线”，y轴对称 R [−1,1] 2π [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z ↑； [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z ↓ 5.图象变换“三步法” 变换类型 操作规则 相位平移 y=f(x+ϕ)：左加右减 周期变换 y=f(ωx)：ω>1压缩 振幅伸缩 y=Af(x)：( A)倍纵坐标拉伸 口诀： “左加右减针对x，周期只跟ω走；振幅A管高低，相位ϕ定左右” （二）、解题策略与技巧 1.三角函数定义与弧度制 象限判断：遇到角先确定其所在象限。 弧度制应用：在涉及弧长、扇形面积公式时，角度必须化为弧度。 2.同角关系求值“三定原则” 定象限 定符号 定公式 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 弧度制漏单位 求sin1误为sin1∘ 看见数字先辨弧度/角度 诱导公式符号错 cos(π−α)=−cosα误为正号 奇变偶不变，符号看象限 忽略定义域 求​定义域 分母≠0 图象平移方向反 误为向左移 提系数： （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 特殊角三角函数值速记：手形记忆法（左手五指对应0∘,30∘,45∘,60∘,90∘，分母为2，分子为​） 图象变换动态理解：用几何画板演示y=Asin(ωx+ϕ)参数变化 2、真题演练方向： 近三年高考题中三角函数定义、同角关系式、诱导公式、三角函数最值、周期、单调性、奇偶性问题。 学科网（北京）股份有限公司 $