直线与圆 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

直线与圆 一、课标解读 1.掌握两点间的距离公式，线段中点的坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念；掌握求直线斜率的方法；掌握直线的斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程； 3.掌握求两条相交直线的交点的方法；理解两条直线垂直和平行的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系； 4.会求点到直线的距离及两平行线之间的距离； 5.掌握圆的标准方程，理解确定圆的条件，能够根据条件求出圆的标准方程； 6.了解圆的一般方程的特点，会从一般方程中求出圆心坐标和半径长； 7.理解直线与圆的位置关系的判定，理解直线与圆相切的含义． 二、知识梳理 （一）直线 1.直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 __y－y0＝k(x－x0)__ 不含直线x＝x0 斜截式 __y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求__A2＋B2≠0__ 适用于平面直角坐标系内的所有直线 2.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔__A1A2＋B1B2＝0__． 3.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 4.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． （二）圆 1．圆的定义及方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__ 半径：__r__ 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝____ 2.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d__＜__r Δ__＞__0 相切 d__＝__r Δ__＝__0 相离 d__＞__r Δ__＜__0 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 直线的“两大公式”与“四种方程” 核心概念 公式/方程 适用场景 斜率公式 ​ 已知两点求斜率 距离公式 两点间距离公式： 点线间距离公式： 求长度、半径、判断位置关系 点斜式 已知一点和斜率（最常用） 斜截式 已知斜率和y轴截距 一般式 所有直线，用于计算距离 选择口诀：“知点知斜点斜式，知斜知截斜截式；一般式用于算距离” 2. 圆的“两种方程” 方程形式 公式 核心要素 标准方程 ​ 圆心  (a,b)，半径r 一般方程 圆心 半径 识别口诀：“标准方程看圆心，一般方程配方求；才表示圆” （二）、解题策略与技巧 直线与圆、圆与圆的位置关系判断 位置关系 判定方法 （几何法：d表示圆心到直线/圆心距） 判定方法 （代数法：联立方程） 直线与圆 相交: d<r Δ>0 相切: d=r Δ=0 相离: d>r Δ<0 策略选择口诀：“位置关系判，几何优先看；求弦长交点，代数更直观” （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略斜率不存在情况 求过点 P(1,2) 与圆相切的直线方程，漏解x=1 设直线方程时，先考虑斜率k是否存在 “长对正、高平齐、宽相等”，尤其注意虚线与实线的区别 点线距公式漏绝对值 求点(−1,2)到直线2x−y+1=0 的距离，得负值 公式分子漏加绝对值 严格公式书写，缺一不可 求弦长时用代数方法解不等式 求直线被圆截得的弦长，用代数方法 未考虑计算量问题 熟记几何方法 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： · 数形结合意识：养成“见数思形，见形想数”的习惯，多画图分析。 · 分类讨论思想：特别是涉及斜率、直线与圆的位置关系时。 · 运算能力：强化代数运算（如解方程组、求距离）的准确性和速度。 2. 真题演练方向： · 题型1：求直线的方程（各种形式灵活运用）。 · 题型2：判断直线与圆的位置关系。 · 题型3：求圆的切线方程（点在圆上/圆外）。 · 题型4：求弦长（代数法或几何法）。 · 题型5：与圆相关的最值问题（几何意义法）。 学科网（北京）股份有限公司 $