函数-分段函数、二次函数 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

函数--分段函数、二次函数 一、课标解读 1.分段函数的应用； 2.二次函数性质的应用； 二、知识梳理 （一）分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集. （二）二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 零点. 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 上单调递减，在上单调递增 在 上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 二次函数的核心知识点 知识领域 核心知识点 关键公式/说明 三种表达式 一般式​ y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式 y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 图像特征 开口方向 a > 0开口向上；a < 0开口向下 对称轴 一般式：；顶点式：x = m 顶点坐标 与坐标轴交点 与y轴交点：(0, c)；与x轴交点：由解的情况决定 主要性质 单调性（增减性） 以对称轴为界：a>0 时，对称轴左侧递减，右侧递增；a<0 时，对称轴左侧递增，右侧递减 最值 a>0：最小值 y = （顶点纵坐标）；a<0：最大值（顶点纵坐标） （2） 、解题策略与技巧 1、求二次函数的解析式 这是基础也是关键。通常根据已知条件，选择适当形式： 一般式 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)：已知任意三点坐标时常用。 顶点式 y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，：已知顶点坐标或最值或对称轴时使用非常方便。 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，：已知抛物线与x轴的两个交点坐标时使用（尤其当点不是与x轴的交点时，代入另一点求a） 策略：“数形结合”，注意挖掘题目中的隐藏条件，如顶点、对称性、交点等。 2、二次函数在给定区间上的最值问题 这是高频考点，尤其需要注意定义域（区间）的限制。 解题步骤： 1.配方或将一般式化为顶点式，找到顶点和对称轴。 2.判断给定区间是否包含顶点横坐标。 3.画示意图辅助分析：若区间包含顶点横坐标，顶点纵坐标就是一个最值，另一个最值在区间端点处取得；若区间不包含顶点横坐标，最值都在端点处取得。 4.比较区间端点和顶点（若在区间内）的函数值，确定最大（小）值。 注意：开口方向（a的正负）直接影响是最大值还是最小值。 3、 二次函数与实际应用问题 常以生活中的情景（如利润最大、面积最大、抛物线形拱桥/隧道/喷泉等）为背景建立二次函数模型求解。 利润最大化：理解“单件利润 × 销售量”等基本关系，列出函数解析式，再求最值。 面积最大化：通常用变量表示出所需图形的长和宽，建立面积关于变量的二次函数。 抛物线形建筑问题（如拱桥、隧道）：建立合适的平面直角坐标系是关键。通常选择抛物线的顶点或端点作为原点，会使表达式更简单，便于计算。 策略：耐心读题，明确变量及其关系，正确建立函数模型后，问题就转化为求最值或特定值。 4、 分段函数标准化解题流程 第一步：解析背景，确定定义域（一切的基础） · 操作：精读题目，找出所有限制条件（如“不超过”、“超过”、“不足XX按XX算”），明确自变量（如路程x、用电量x、时间t）的实际取值范围。 · 技巧： · 将关键数据和要求圈画出来。 · 定义域必须遵循实际意义：路程、时间、数量等通常为非负数。 第二步：识别分段点，建立模型（解题的核心） · 操作：找出收费标准、政策规则发生变化的点（如3公里、200度、5000元），这些点就是分段点。以此为依据，分段列出函数关系式。 · 技巧： · “超额累进”制：这是最常见的模式。总费用 = 第一部分费用 + 第二部分费用 + ... 。只有超过某个区间的部分，才按更高的单价计算。 · 分段点“不重不漏”：确保每个自变量值都能且只能被一个分段区间覆盖。 第三步：分段求解，比较结果（最终的求解） 操作：根据题目要求（求费用、求最值等），在对应的分段区间内进行计算。 技巧：求值问题：先判断自变量值所在的区间，再代入相应的解析式。 求最值问题：这是易错重点！ 必须：分别求出每一段在各自定义区间内的极值（如二次函数顶点），求出分段点处的函数值，比较以上所有结果，最大的为最大值，最小的为最小值。 （三）、易错点总结 1、二次函数 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略实际问题的定义域 用一根20米的绳子围成一个矩形，如何使面积最大？列出面积函数S = x(10-x)后，直接求顶点坐标(5, 25)作为答案。 忽略了自变量x（矩形的长）的实际意义必须是0 < x < 10。而顶点恰好在定义域内，所以本题答案正确但过程不严谨。若顶点不在定义域内，则会导致错误 解决任何实际问题，列完函数解析式后，下一步必须是确定自变量的取值范围（定义域）。求最值时，必须考虑顶点横坐标是否在定义域内 记忆错误顶点坐标公式 将顶点坐标公式误记为  公式记忆不牢，混淆了判别式与顶点的纵坐标 强化正确记忆：顶点坐标。最稳妥的方法是掌握配方法，自己推导 思维定势，认为最值一定在顶点处取得 求f(x) = x2 - 2x - 3 在 [0, 3]上的最大值。看到开口向上，就直接取右端点 x=3 时的函数值0 忽略了在区间[0, 3]上，顶点 (1, -4)处取得最小值，而最大值需要比较两端点f(0) = -3 和f(3)=0，因此最大值是 0。虽然结果正确，但过程不全面。若区间是[0, 1.5]，则最大值在x=0处取得 “区间最值看端点，顶点是否在里边”。求闭区间上的最值，必须比较端点值和顶点值（若顶点在区间内），三者比较后才能确定最大（小）值 2、分段函数 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略实际背景对定义域的限制 某市出租车收费标准为：3公里内10元；超过3公里部分，每公里2元。写出费用y（元）与里程x（公里）的函数关系。 忽略了里程数x 的实际意义。里程数不可能为负，且通常认为x>0。因此，定义域必须写明x>0，且第一段应为。 “定义域优先”原则。列出函数解析式前，必须先根据实际背景确定自变量的取值范围（如人数为正整数、面积/长度大于零、时间非负等）。这是解决应用题的第一步，也是最关键的一步 未能正确理解“超额累进”规则 某地阶梯电价：月用电量不超过200度部分，每度0.5元；超过200度但不超过400度部分，每度0.6元；超过400度部分，每度0.8元。求电费 y（元）与用电量x（度）的关系。  ,阶梯计价是“超额累进”，不是“全额累进”。错误解法中，当 x > 200 时，全部电量都按0.6元计算，这是错误的。正确的应该是：只有超过200度的部分才按0.6元计算，前200度依然按0.5元计算 “分段计费，累加求和”原则。对于阶梯价格问题，总费用等于各个不同价格区间内的费用之和 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： · 定义域优先：无论是实际问题还是纯数学问题，首先要关注自变量的取值范围。 · 数形结合：一定要画草图！ 草图能直观地帮你理解题意、分析对称轴与区间的关系、避免很多低级错误。 · 规范步骤：解答题重过程。“设→列→解→验→答” 的步骤要清晰，关键步骤（如说明a≠0、验证Δ、写出定义域）不能省。 · 回头检查：做完题后，花几秒钟检查答案是否符合实际意义、是否忘了单位、计算是否有误 2. 真题演练方向： · 题型1：二次函数在给定区间上的最值问题。 · 题型2：二次函数与实际应用问题。 题型3：分段函数应用题。 学科网（北京）股份有限公司 $