函数的性质 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

函数的性质 一、课标解读 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念; 2.能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 3.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; 4.掌握一元二次函数的图象与性质. 二、知识梳理 （一）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 （四）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 函数性质“二剑客” 性质 定义 判定核心 应用场景 单调性 区间内 x1<x2​⇒f(x1)<f(x2)（增） 或f(x1)>f(x2)（减） 定义法（作差/商） 求最值、解不等式、比较大小 奇偶性 f(−x)=f(x)（偶）； f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)（奇） 先看定义域是否对称（必杀技！） 简化计算、图象对称性分析 性质关联口诀： “奇偶定对称，周期显循环；单调看升降，最值藏区间” （二）、解题策略与技巧 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀： “分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 奇偶性“快判三招” 方法 操作 示例 特殊值验证 取 x=1 和x=−1 代入 f(x)=x3+x →f(−1)=−2=−f(1) → 奇函数 定义域对称性 若定义域不对称，则非奇非偶 定义域{0} → 非奇非偶 图象法 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称 y=cosx 为偶函数 3.偶性与单调性综合 黄金规律： 奇函数在对称区间单调性相同 偶函数在对称区间单调性相反 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 性质综合拆解训练：遇到复杂函数，按“定义域→奇偶性→单调性”顺序分析 图象辅助思维：每道题草图画性质特征（奇偶画对称轴，周期标重复段，单调标升降） 2、真题演练方向： 近三年高考题中判断函数奇偶性、单调性，函数的图像问题。 学科网（北京）股份有限公司 $