立体几何 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

立体几何 一、课标解读 1.了解平面的概念和平面的表示方法；理解平面的基本性质 2.理解两条直线的位置关系，了解两条异面直线及其所成的角的概念；理解平行于同一条直线的两条不重合的直线互相平行；对于异面直线间的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 3.理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 4.了解两平面的位置关系，了解两平面平行的判定和性质，了解二面角及其平面角，理解两平面相互垂直的判定和性质；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题． 二、知识梳理 （一）简单几何体 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展 开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 2.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 3.三视图 主视图、俯视图、左视图统称为三视图． 画三视图时应遵守： （1）位置规定：主视图画在左上方位置，左视图画在主视图的右侧，俯视图画在主视图的下方；同一物体放置位置不同，画出的三视图不同． （2）投影规律：主视图中的长与俯视图中的长相同（长对正），主视图中的高与左视图中的高相同（高平齐）；俯视图中的宽与左视图中的宽相同（宽相等）． （3）画线规则：绘制三视图时，可见的轮廓线画成实线，不可见的轮廓线画成虚线． （二）空间平面、直线的位置关系 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线——同一平面内，没有公共点． (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （三）直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α （四）直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 空间几何体的结构、三视图与表面积体积 几何体 表面积公式 体积公式 三视图特点 棱柱 S表​=S侧​+2S底​ V=S底​⋅h 各视图通常为平行四边形或矩形 棱锥 S表​=S侧​+S底​ V=S底​⋅h 俯视图有多边形，正/侧视图有共顶点的三角形 圆柱 S表​=2πr(r+h) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为矩形；俯视图为圆 圆锥 S表​=πr(r+l) V=πr2h 正视图和侧视图相同，为等腰三角形；俯视图为圆（带圆心） 球 S表​=4πR2 V=πR3 三个视图都是圆 表面积计算口诀：“看清几何体，公式记心里；多面体加和，旋转体展开” 2. 空间中的位置关系（八大判定定理与性质定理） 关系判定口诀：“证明线面平行，就在面内找条线；证明线面垂直，面内两条交线要垂直” （二）、解题策略与技巧 1. 证明题“路径法” ​核心思想：分析结论，逆向寻找条件，形成一条清晰的证明路径（即“执果索因”）。 · 证明平行：线线平行 → 线面平行 → 面面平行。 · 证明垂直：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直。 2. 空间角与距离的求解“三步法” 几何体 表面积公式 体积公式 三视图特点 线线角 平移至一个三角形内 说明所找角即为所求角 解三角形（余弦定理） 线面角 找斜足，作垂线，连接垂足与斜足 证明所作角为线面角 解直角三角形（sinθ= h/斜线段长） 二面角 找棱，作垂直于棱的平面角 证明所作角为二面角的平面角 解三角形（常用余弦定理） 点面距 作点在面上的垂线 证明所作线垂直 解直角三角形 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 三视图还原直观图时线实虚不分 忽视虚线表示的不可见轮廓线 空间想象能力不足，还原图形错误 “长对正、高平齐、宽相等”，尤其注意虚线与实线的区别 证明条件不充分 证明线面垂直时，只证明一条线垂直面内一条线 缺少“面内两条相交直线”的条件 严格按判定定理书写，缺一不可 公式记忆错误 球体积公式误用：V=πR3 系数错误 强化公式记忆 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 模型化思维：将复杂几何体放入长方体、正方体等常见模型中思考。 双重解法能力：一道题既用综合几何法证明，又用空间向量法验证，培养空间想象和计算能力。 规范表述训练：严格按“作、证、求”三步书写，避免跳步失分。 2. 真题演练方向： 题型1：三视图还原与表面积体积计算。 题型2：平行与垂直的证明（尤其关注棱柱、棱锥中的中点、中位线）。 题型3：空间角（尤其是线面角和二面角）的求解。 题型4：距离（点面距、线面距）的求解。 学科网（北京）股份有限公司 $