数列 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

数列 一、课标解读 1.了解数列及数列通项公式的概念 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、知识梳理 （一）an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二） 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. （三）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. （三）等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 数列基础概念 概念 定义 符号表示 数列通项 数列第 n 项与项数 n 的关系式 an​=f(n) 前n项和 数列前 n 项之和 Sn​=a1​+a2​+⋯+an​ 递推公式 用前一项（或前几项）表示后一项的式子 an​=f(an−1​) 或 an​=f(an−1​,an−2​) 2. 两类特殊数列（核心） 数列类型 定义 通项公式 求和公式 等差数列 an​−an−1​=d（常数） an​=a1​+(n−1)d 等比数列 （常数， q≠0） Sn​=a1​+a2​+⋯+an​ 性质口诀：“等差看差，等比看比；中项公式，求和巧记” （二）、解题策略与技巧 1. 已知 Sn​ 求 an ​利用 验证 a1​ 是否满足 n≥2 的表达式 2. 数列求和“四大方法” 方法 适用题型 操作要点 公式法 等差、等比数列直接求和 准确选用公式，注意q=1的讨论 分组求和法 通项为几部分可求和的形式 如an=(2n−1)+2n，分组为等差和等比分别求和 裂项相消法 分式型（如） 拆项： 错位相减法 {an⋅bn} 其中一端为等差，另一端为等比 写出Sn和qSn，错位相减后求和 错位相减法口诀： “写和式，乘公比，错位减，化简毕” （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略 n≥2 已知 Sn​ 求an​ 未验证 n=1 a1​=S1​ 可能不满足通项 必写分段形式 公差/公比漏讨论 等比数列求和未讨论q=1 在q=1 时分母为0 先判 q 再选公式 裂项错误 未乘系数 恒等变形错误 裂项后通分验证 错位相减计算失误 减错项、正负号错误、等比项数数错 步骤繁琐易出错 列表对齐书写，步步检验 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 基本量法：等差（首项、公差）、等比（首项、公比）是解决数列问题的核心，树立“知三求二”思想。 计算准确性：针对错位相减、裂项相消进行专项计算训练。 2. 真题演练方向： 题型1：等差等比基本运算 题型2：求通项（已知Sn型） 题型3：求和（公式型） 学科网（北京）股份有限公司 $