平面向量和复数 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

平面向量与复数 一、课标解读 1.平面向量 · (1) 理解向量的定义，理解单位向量、相等向量、零向量、负向量、共线向量的含义； · (2) 掌握向量的加法、减法及数乘运算；会应用法则进行化简运算； · (3) 理解与一个非零向量共线的向量的含义； · (4) 掌握向量的平面直角坐标的概念及运算法则，理解并掌握平面向量的坐标与点的坐标的关系； · (5) 理解向量的内积概念和基本性质，会用直角坐标计算向量的内积； · (6) 掌握两个向量共线的条件，掌握两个向量垂直的条件，并会应用． 3.复数 · (1) 了解复数的概念、 复数的代数表示及向量表示； · (2) 了解复数的代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算； · (3)在复数范围内解实系数一元二次方程。 二、知识梳理 （一）平面向量 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． （二）复数 1、复数的概念 （1）复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． （2）复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． （3）复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． （4）复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2、复数的几何意义 （1）复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2）共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 3、复数的加、减、乘法运算 （1）复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． （2）复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____． （3）复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__． 4、实系数一元二次方程的解法 1.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 2.和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 一、平面向量 1. 核心概念“四大基石” 概念 表示/公式 注意事项 向量的模 (长度) 非负实数， 零向量 (模为0，方向任意) 与任何向量平行 单位向量 (与非零向量同向) 相等向量 长度相等且方向相同 与起点无关，可自由平移 2. 线性运算“两大法则” 运算 几何法则 坐标运算 (设) 加法 三角形法则(首尾相接) 平行四边形法则(共起点) 减法 共起点，指向被减向量 数乘 ：伸长/缩短/反向 运算律口诀：“交换结合分配律，向量世界也成立” 3. 核心公式“三大工具” 工具 公式 应用场景 数量积 求夹角、判断垂直、求投影 夹角公式 求两向量夹角 模长公式 求距离、判断形状 二、复数 1. 复数的核心概念“一核三元” 概念 定义/表示 注意事项 复数形式 z=a+bi (a,b∈R) a: 实部；b: 虚部 虚数单位 i，满足i2=−1 遇i2 即变 −1，幂运算周期为4 复数分类 实数(b=0)、虚数(b≠0)、纯虚数(a=0且b≠0) 纯虚数陷阱：必须满足a=0 且 b≠0 相等条件 a+bi=c+di⇔a=c 且 b=d 实部、虚部分别相等 2. 复数的几何意义“数形结合” 表示法 几何意义 公式 坐标表示 点Z(a,b) 横坐标: 实部a；纵坐标: 虚部b 向量表示 向量 模长 模的几何意义 点 Z 到原点的距离 z= r 3. 复数的运算“四大法则” 运算 代数法则 技巧与结果 加减法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i 实部、虚部分别相加减 乘法 (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 遇 i2 变−1，直接展开 运算口诀： “加减对应实虚部，乘法展开i²负“ （二）、解题策略与技巧 一、平面向量 1. 基底法（几何法） ​步骤： 1. 选择一组不共线的向量作为基底（如 ，） 2. 将目标向量用基底表示 3. 进行运算 2. 坐标法（代数法） 适用场景：已知几何条件（垂直、平行、特殊图形） 步骤： 1. 建立直角坐标系（优先以垂直、对称点为轴） 2. 写出相关点坐标及向量坐标 3. 代数运算 二、复数 1. 概念辨析“两步法” 适用场景：判断复数类型、求参数取值范围 步骤： 1. 化标准形：写成 z=a+bi 形式 2. 根据定义列方程(不等式)： 纯虚数：实部=0，虚部≠0 实数：虚部=0 2. 方程解法“实虚部分离” 适用场景：求解含复数的方程 核心思想：利用复数相等的条件，将复数方程转化为实数方程组 （三）、易错点总结 一、平面向量 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略零向量 漏考虑的情况 见到平行先想零向量 夹角概念错误 求 ∠ABC 的余弦值，误用  向量需共起点 求角向量必须共起点 模的平方与平方混淆 计算误直接开方： 未用公式 先平方后开方 二、复数 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 纯虚数条件遗漏 误认为若，则 z 为纯虚数” 漏考虑z=0 的情况（0是实数） 纯虚数必须满足：实部=0且虚部≠0 几何意义混淆 求满足z= 1的点集，误认为是单位圆内的点 混淆“圆”与“圆面” (z= r) 表示圆，( z<r) 表示圆面 （四）、复习建议 一、平面向量 1、学生能力培养重点： 几何与代数转化能力：每道题思考是否可建系（坐标法） 画图习惯：解决向量问题必画示意图，直观分析 2. 真题演练方向： 题型1：线性运算几何表示（在三角形、四边形中） 题型2：数量积的几何与坐标计算 题型3：向量共线与垂直的证明与应用 题型4：求模 二、复数 1. 学生能力培养重点： 标准形意识：见到复数先写为 a+bi 形式 几何直观：养成“见复数想点，见模想距离”的思维习惯 2. 高频考向精练： 题型1：概念辨析（判断类型、求参数） 题型2：四则运算（无除法） 题型3：求模 题型4：几何意义的应用 学科网（北京）股份有限公司 $