三角恒等变换、解三角形 - 职教高考二轮复习专用《数学知识复习手册》

三角恒等变换、解三角形 一、课标解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦及正切公式，能运用这些公式化简三角函数式，证明较简单的三角恒等式． 2.理解二倍角公式并能进行简单应用． 3.理解正弦定理、余弦定理，并能运用定理解斜三角形． 二、知识梳理 （一）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. （二）解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 三、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角恒等变换“三板斧” 工具 核心公式 应用场景 和差公式 . 角度拆分 （如 15∘=45∘−30∘） 二倍角公式 ． 升幂/降幂、化简求值 辅助角公式 合并三角函数式求最值、周期 口诀记忆： “和差拆角像积木，二倍变身降幂忙；辅助合成一个弦，最值周期一把抓” 2. 正弦定理与余弦定理 工具 核心公式 适用题型 正弦定理 ＝＝　＝2R ① 已知两角及一边（AAS/ASA） ② 已知两边及对角（SSA，注意多解） 余弦定理 c2＝ a2＋b2－2abcos C ① 已知三边（SSS）求角 ② 已知两边及夹角（SAS） 面积公式 S＝absin C 求△ABC 面积 （二）、解题策略与技巧 1. 恒等变换四步法 统一角度 选择公式 化简目标 验证结果 2. 正弦定理“两角一边”型（AAS/ASA） 策略：直接代公式求边，注意比例统一 步骤： 1. 利用内角和求第三角（ASA需先求未知角） 2. 代入＝求边 3. 余弦定理“两边夹角”型（SAS） 策略：优先求第三边，再用正弦定理求角 口诀：“两边夹一角，余弦求对边” （三）、易错点总结 易错类型 错因分析 纠错方案 不能正确合并三角函数式 忽略辅助角公式 针对辅助角公式多做练习 利用正弦定理求角丢掉钝角 忽略可能有两个解的情况 求出钝角验证是否成立 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 公式逆用训练：每日3题（如 反向应用） 高频考向精练： 题型1：恒等变换() 题型2：解三角形综合(已知a:b:c=2:3:4，判断三角形形状) 2、真题演练方向： 近三年高考题中同角关系式、二倍角公式、辅助角公式、正弦定理求角时两个解、余弦定理变形求角等问题。 学科网（北京）股份有限公司 $