专题4.2相似多边形及探索三角形相似的条件同步讲练【课前故事+3大知识点+9大基础题型+2大强化训练+课后练习】-2025-2026学年九年级数学上册教学同步精讲精练（北师大版2012）

专题4.2相似多边形及探索三角形相似的条件同步精讲精练【课前故事+3大知识点+9大基础题型+2大强化训练+课后练习】 手工课上的“形状密码” （课前故事相关内容建议教师家长采用活动或者故事相关形式展开，学生版该部分可删除） 周五的手工课上，教室里飘着彩纸的香味，数学老师李老师拿着一沓彩纸走进来：“今天咱们做两种手工——正方形书签和等腰三角旗，做好了还能装饰教室呢！” 小明第一个举手：“老师，我要做最小的正方形书签！”他拿起直尺，很快剪出一个边长2厘米的小正方形，四个角都是方方正正的直角，边也整整齐齐，像个迷你豆腐块。 坐在旁边的小红看着眼馋：“小明，你的正方形真好看！我想做个大一点的，挂在书包上。”她拿起彩纸，随便剪了一个“四条边的图形”，可剪完一对比，皱起了眉头：“不对呀！我这个图形的角也是直角，可怎么看起来长长的，不像你那个方方正正的？” 李老师走过来，拿起两个图形放在一起：“小红你看，小明的小正方形边长是2厘米，每条边一样长；你剪的这个‘长方形’，长是4厘米，宽是2厘米，虽然角都是直角，但对应边的长度比不一样——小明的边是2:2，你这个是4:2，所以形状就变啦。” 小红恍然大悟：“那我要剪个和小明‘长得一样’的大正方形，该怎么做呀？”“很简单，”李老师递过直尺，“你把小明正方形的每条边都‘按同样的倍数放大’，比如放大到4厘米，四条边都是4厘米，再看看形状是不是一样？” 小红照着做，剪出边长4厘米的大正方形，和小明的小正方形放在一起：“哇！真的一样！角都是直角，边的比也是4:2=2:1，看起来就像一个模子刻出来的，就是大小不一样！” 接下来做三角旗，李老师给大家发了一个“样品三角旗”：顶角是60度的等腰三角形，两条腰长3厘米，底边长3厘米（其实是等边三角形）。小明很快剪了一个一模一样的，小红却想剪个“顶角还是60度，但腰长5厘米”的三角旗。 她剪完后，又有点担心：“老师，我这个三角旗腰变长了，但顶角还是60度，底角也和样品一样是60度，它和样品‘长得一样’吗？”李老师笑着没回答，反而问全班：“大家觉得小红的三角旗和样品形状一样吗？如果想让两个三角形‘长得一样’，除了保证角一样，还有没有其他办法？” 教室里顿时热闹起来，有的同学说“边要按比例”，有的同学说“只要角一样就够了”。李老师拍了拍手：“其实大家说的‘长得一样、大小不同’的图形，藏着一个重要的数学秘密——这就是我们今天要学的‘相似图形’。” 思考问题： 小红第一次剪的“长方形”和小明的正方形，明明角都是直角，为什么形状不一样？什么样的两个图形，才能算“长得一样、大小不同”的图形呢？ 小红剪的“顶角60度、腰长5厘米”的三角旗，和样品三角旗（顶角60度、腰长3厘米）形状一样吗？要判断两个三角形“形状一样”，到底需要满足什么条件呢？ 【题型1 相似图形】 7 【题型2 相似多边形】 8 【题型3 相似多边形的性质】 8 【题型4 利用平行判定相似】 9 【题型5 利用两角对应相等判定相似】 10 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 11 【题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 13 【题型8 选择或补充条件使两个三角形相似】 13 【题型9 相似三角形的综合判定】 14 【强化训练1 三角形相似裁剪相关问题】 16 【强化训练2 三角形相似尺规作图相关问题】 17 相似多边形及探索三角形相似的条件重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 相似多边形 重点内容 1.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比. 2.拓展性质：相似多边形的周长比等于相似比。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的周长比为k。相似多边形的面积比等于相似比的平方。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的面积比为k2。 例题精讲 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 知识点2 相似三角形 重点内容 1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2.全等三角形与相似三角形的比较 3.相似三角形的性质：对应线段的比等于相似比：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 例题精讲 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 知识点3 三角形相似的判定 重点内容 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 例题精讲 3．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 【题型1 相似图形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【练习3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 【题型2 相似多边形】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 【练习2】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【练习3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    【题型3 相似多边形的性质】 经典例题 【例1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于     A． B． C．2 D． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【练习3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【题型4 利用平行判定相似】 经典例题 【例1】（24-25 湖北宜昌·期中）如图，，则图中相似三角形的对数为(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 自我练习 【练习1】（24-25·北京·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且，， 交 于点 图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【练习3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【题型5 利用两角对应相等判定相似】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【练习2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【练习3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 自我练习 【练习1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【练习3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置 （填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 经典例题 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【练习3】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【题型8 选择或补充条件使两个三角形相似】 经典例题 【例1】（25-26八年级下·江苏·阶段练习）如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，添加下列条件中的一个，仍不能使的是(    ) A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·福建·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【练习3】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 【题型9 相似三角形的综合判定】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【练习3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【强化训练1 三角形相似裁剪相关问题】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【练习2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【练习3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形，相似的图有 。 【强化训练2 三角形相似尺规作图相关问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024·江苏连云港·一模）要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期末）某工件横截面如图1所示，已知，，．现将一根宽为2cm的直尺分别按图2及图3的方式摆放（图3中，直尺恰好卡在AD之间），测得，，则该工件的内径长为 ． 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 选择题 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 4（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 填空题 6．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 8．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 解析题 11．（2024·浙江衢州·二模）如图，点A，B是每个小正方形边长都为1的网格中的两格点，请仅用无刻度直尺按要求在网格中画出符合条件的图形． (1)在图①中画出一个以线段为边，面积为6的； (2)在图②中的线段上确定点P，使． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由． （2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．      13．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 14．（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 15．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2相似多边形及探索三角形相似的条件同步精讲精练【课前故事+3大知识点+9大基础题型+2大强化训练+课后练习】 手工课上的“形状密码” （课前故事相关内容建议教师家长采用活动或者故事相关形式展开，学生版该部分可删除） 周五的手工课上，教室里飘着彩纸的香味，数学老师李老师拿着一沓彩纸走进来：“今天咱们做两种手工——正方形书签和等腰三角旗，做好了还能装饰教室呢！” 小明第一个举手：“老师，我要做最小的正方形书签！”他拿起直尺，很快剪出一个边长2厘米的小正方形，四个角都是方方正正的直角，边也整整齐齐，像个迷你豆腐块。 坐在旁边的小红看着眼馋：“小明，你的正方形真好看！我想做个大一点的，挂在书包上。”她拿起彩纸，随便剪了一个“四条边的图形”，可剪完一对比，皱起了眉头：“不对呀！我这个图形的角也是直角，可怎么看起来长长的，不像你那个方方正正的？” 李老师走过来，拿起两个图形放在一起：“小红你看，小明的小正方形边长是2厘米，每条边一样长；你剪的这个‘长方形’，长是4厘米，宽是2厘米，虽然角都是直角，但对应边的长度比不一样——小明的边是2:2，你这个是4:2，所以形状就变啦。” 小红恍然大悟：“那我要剪个和小明‘长得一样’的大正方形，该怎么做呀？”“很简单，”李老师递过直尺，“你把小明正方形的每条边都‘按同样的倍数放大’，比如放大到4厘米，四条边都是4厘米，再看看形状是不是一样？” 小红照着做，剪出边长4厘米的大正方形，和小明的小正方形放在一起：“哇！真的一样！角都是直角，边的比也是4:2=2:1，看起来就像一个模子刻出来的，就是大小不一样！” 接下来做三角旗，李老师给大家发了一个“样品三角旗”：顶角是60度的等腰三角形，两条腰长3厘米，底边长3厘米（其实是等边三角形）。小明很快剪了一个一模一样的，小红却想剪个“顶角还是60度，但腰长5厘米”的三角旗。 她剪完后，又有点担心：“老师，我这个三角旗腰变长了，但顶角还是60度，底角也和样品一样是60度，它和样品‘长得一样’吗？”李老师笑着没回答，反而问全班：“大家觉得小红的三角旗和样品形状一样吗？如果想让两个三角形‘长得一样’，除了保证角一样，还有没有其他办法？” 教室里顿时热闹起来，有的同学说“边要按比例”，有的同学说“只要角一样就够了”。李老师拍了拍手：“其实大家说的‘长得一样、大小不同’的图形，藏着一个重要的数学秘密——这就是我们今天要学的‘相似图形’。” 思考问题： 小红第一次剪的“长方形”和小明的正方形，明明角都是直角，为什么形状不一样？什么样的两个图形，才能算“长得一样、大小不同”的图形呢？ 小红剪的“顶角60度、腰长5厘米”的三角旗，和样品三角旗（顶角60度、腰长3厘米）形状一样吗？要判断两个三角形“形状一样”，到底需要满足什么条件呢？ 【题型1 相似图形】 7 【题型2 相似多边形】 9 【题型3 相似多边形的性质】 11 【题型4 利用平行判定相似】 14 【题型5 利用两角对应相等判定相似】 17 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 20 【题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 23 【题型8 选择或补充条件使两个三角形相似】 26 【题型9 相似三角形的综合判定】 29 【强化训练1 三角形相似裁剪相关问题】 33 【强化训练2 三角形相似尺规作图相关问题】 35 相似多边形及探索三角形相似的条件重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 相似多边形 重点内容 1.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比. 2.拓展性质：相似多边形的周长比等于相似比。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的周长比为k。相似多边形的面积比等于相似比的平方。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的面积比为k2。 例题精讲 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 知识点2 相似三角形 重点内容 1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2.全等三角形与相似三角形的比较 3.相似三角形的性质：对应线段的比等于相似比：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 例题精讲 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 知识点3 三角形相似的判定 重点内容 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4. 有关三角形相似的常见图形 例题精讲 3．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（   ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 【题型1 相似图形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 【练习2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据相似图形的判定一一判断即可． 【详解】解：①两个正三角形相似，正确． ②两个等腰直角三角形相似，正确． ③两个菱形相似，错误． ④两个矩形相似，错误． ⑤两个正方形相似，正确． 故答案为：①②⑤． 【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键． 【题型2 相似多边形】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 【答案】A 【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可． 【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质． 【练习2】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 【练习3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    【答案】= 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 【题型3 相似多边形的性质】 经典例题 【例1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于     A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．两个矩形相似则两矩形的长宽之比相等，据此判断即可． 【详解】解：裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ∴裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ， 解得或（舍）， ， 故选：B． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 【练习2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型4 利用平行判定相似】 经典例题 【例1】（24-25 湖北宜昌·期中）如图，，则图中相似三角形的对数为(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】B  【分析】此题考查了相似三角形的判定利用平行判定相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏． 由，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得，，所以图中共有对相似三角形． 【详解】 解：， ，，． 图中共有对相似三角形． 故选B． 自我练习 【练习1】（24-25·北京·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定利用平行判定相似．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【练习2】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且，， 交 于点 图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ．  【解析】本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似． 根据相似三角形的判定平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似即可推出答案． 【练习3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定利用平行判定相似，熟练掌握图形的变换三角形相关性质及会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 【题型5 利用两角对应相等判定相似】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定中两角相等判定相似，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形两角对应相等判定相似，根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，再根据题意得，，，，可得，，即可证得；即可求解． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 【练习2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【练习3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查两组对应角相等的两个三角形相似，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明： ，， ． 即． ， ． ． ， ． 【题型6 利用三边对应成比例判定相似】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定中三边对应成比例判定相似，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 自我练习 【练习1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定中三边对应成比例判定相似，根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 【练习2】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定中三边对应成比例判定相似，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置 （填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理中三边对应成比例判定相似，即三边对应成比例的两个三角形相似. 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，    计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时， 计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 【题型7 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 经典例题 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定中利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在A、C、D选项中的三角形都没有，而在B选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以B选项中的三角形与相似． 故选：B． 自我练习 【练习1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定中利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 【练习2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为 ． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定中利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【练习3】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定中利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 【题型8 选择或补充条件使两个三角形相似】 经典例题 【例1】（25-26八年级下·江苏·阶段练习）如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法中选择或补充条件使两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，添加下列条件中的一个，仍不能使的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定中选择或补充条件使两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即 A. 添加 ，可得，故该选项不符合题意；     B. 添加，两边成比例，不能得到夹角相等，则不能得到，故该选项符合题意； C. 添加 ，可得，故该选项不符合题意；     D. 添加，两边成比例，夹角相等可得，故该选项不符合题意； 故选：B． 【练习2】（24-25九年级上·福建·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】或或 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定中选择或补充条件使两个三角形相似．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 【练习3】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理中选择或补充条件使两个三角形相似，解题关键是掌握相似三角形的判定方法． 因为两三角形三边对应成比例或两三角形两边对应成比例且其夹角相等，那么这两个三角形就相似，求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 在中，，， ∴，， 添加． ∴． 或添加，则， 故答案为：或（答案不唯一）． 【题型9 相似三角形的综合判定】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 自我练习 【练习1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的综合判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 即能满足的条件有2个． 故选：B． 【练习2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的综合判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 【练习3】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的综合判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可． 【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或 【强化训练1 三角形相似裁剪相关问题】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 【练习2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 【练习3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形，相似的图有 。 【答案】图①和图② 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等； 图（2）∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为图①和图②。 【强化训练2 三角形相似尺规作图相关问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，相似三角形的判定，过点C作，结合已知条件可知，再证明，然后可得． 【详解】时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 自我练习 【练习1】（2024·江苏连云港·一模）要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定； 由甲作图可知，结合可得；由乙作图可得，结合可得． 【详解】解：由甲作图可知， ∵， ∴； 由乙作图可知垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵， ∴； ∴甲、乙两人的作法都正确， 故选：A． 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期末）某工件横截面如图1所示，已知，，．现将一根宽为2cm的直尺分别按图2及图3的方式摆放（图3中，直尺恰好卡在AD之间），测得，，则该工件的内径长为 ． 【答案】 【分析】设直尺与的交点为F，过点D作于点H，先证明四边形是平行四边形，得到的长及，根据勾股定理求得的长，进一步得到，的长，再证明，求出的长，以及证明是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一性质得到的长，即得答案． 【详解】解：设直尺与的交点为F，过点D作于点H， 则由已知得，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， ，， ， ， 又， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 选择题 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，四边形四边形，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，相似比为k， ∴，，， ∴， 综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确， 故选：D 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可判断求解，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 4（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 5（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， 因为， 所以选项中的三角形与相似． 故选：A． 填空题 6．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正 边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图形面积之比是 ． 【答案】 六 【分析】先计算出外围封闭图形和中间围成的图形的每个内角的度数和边长即可得到答案 【详解】详解：如图，∵，三角板的摆法相同， ∴外周的封闭图形为正六边形，边长， ∵， ∴， ∴中间围成的图形也是正六边形， 故答案为：六； ∵边长，， ∴， ∴， ∴内部和外周的正六边形为相似图形，相似比为， ∴面积比为， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似多边形的判定和性质，读懂图形和题意是解题的关键． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连结交于点，则图中的相似三角形共有 对 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得，，则可得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ∴相似三角形共有对， 故答案为：． 解析题 11．（2024·浙江衢州·二模）如图，点A，B是每个小正方形边长都为1的网格中的两格点，请仅用无刻度直尺按要求在网格中画出符合条件的图形． (1)在图①中画出一个以线段为边，面积为6的； (2)在图②中的线段上确定点P，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）画一个高为3，底边长为4的三角形即可； （2）连接格点EF交AB于点P，即可得到． 【详解】（1）解：如图①，△ABC即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图②，点P即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由． （2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．      【答案】（1）相似，见解析；（2）不相似，见解析 【分析】本题考查相似多边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相似多边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理结合相似多边形的判定方法，进行判断即可； （2）求出对应边的比例 【详解】解：（1）四边形和四边形相似，理由如下： ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴． ∵G，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可得，，，， ∴四边形和四边形相似． （2）矩形与矩形不相似，理由如下： 由题意，， ∴，， ∴， ∴矩形与矩形不相似． 13．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 14．（24-25九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 15．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $