2025年10月第42届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

第42届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 2025年10月25日9：00-12：00 提示：对于多元函数f,y2)有，0，f,y2)=员fx,y=最f,列，不 ，余类推。 一，(45分)在许多生物分子的自组装过程中，极性分子间的电偶极相互作 y 用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之间往往 9 y=b iB 受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑 动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能 分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a,在xy二维平而上棋拟上述现 0 象：中心固定在坐标原点O处的极性分子A具有永久电偶极矩P,大小为 图la P,方向沿y轴正方向：极性分子B具有水久电偶极矩P,,大小也为P,方 向与y轴的夹角为日(-元<0≤π)，质心位于(：，y=)处，其中b>0,x可变。经过y=b处有一条平行于 x轴的光滑细导轨，分子B的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于xy平面且长度可 忽略，可以沿若导轨运动。已知分子B的质量为m,质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的 转动慢量为1=立m心，x轴方向和y轴方向的单位矢量分别记为、号，真空介电常量为，不计压力。 (1)求极性分子A在极性分子B处产生的电场强度E,: (2)求极性分子B受到的电场力沿x方向的分量F,和其受到的绕绝缘轴的力矩M,导出其静止不动的 条件： (3)分析极性分子B在其平衡位置（只需要考虑其中日较小的那个平衡位置)附近的稳定性，求出分子B 偏离该平衡位置较小时x)和()的一般表达式（由于暂未给出初始条件，结果中可包含待定积分常量)： (4)将极性分子B在初始位置x=a（0<a<b)、日=0处由静止释放，求t时刻x()与()的具体表达式。 二.(45分)[约定：沿x抽正方向传播的一维简谐横波可表示为 y(x,t)=Acos(k-at+)=Re[j(x,t)],(x,1)=Ael(kr)=A(x)e-lu 其中A、四、k和。分别为振幅、角频率、波失（可用心和介质参量表示）和初相位，A()=Ac%)称为 波在x处的复振幅。] 具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为 y P,T 的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。 (1)考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为P、张力为x,x轴沿弦 图2a 线方向，如图2所示。一列振幅为A、初相位为0的简谐波沿x轴正方 向传播。求在1t时刻、x处沿x方向单位原长弦线的动能6(：，)和势能E,(:,)(取没有波传播时弦线的势能 为零)，以及瞬时能流I(x,)和平均能流I, (2)弦线中同时存在沿x轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在x=x处的复振幅分别记为A、 豆，在x=x处的复振幅分别记为A,、豆，A、B,可用A、B表示为 ∫7=MA+瓦，其矩阵表示为 豆2=M創A+M.瓦 第1页共6页 暴田全 0-……22-2- 矩阵M称为从x=x到x=x的传输矩阵。 考虑两根半无限长弦线在x=0处相连，分界面存在某种约束使其两 1P2 侧的张力大小可以不等（下同），x<0部分的弦线1的线密度为P、张力 为x,x>0部分的弦线2的线密度为P2、张力为x1,如图2b所示。 图26 (2.1)求系统从x=0到x=0的传输矩阵M,: (2.2)一列简谐波从左侧远处沿x轴正方向传播，在分界面x=0处入射并发生反射和透射，求透射率 T(透射波的平均能流工，与入射波的平均能流之比)。 (3)进一步考虑由弦线1(P、x)和弦线2(P2、t2)组成的有多个 2比 212 分界面的弦线系统：x<0部分为半无限长的弦线2，x>0部分从左到右 a b a 依次为长度为a的弦线1、长度为b的弦线2、长度为a的弦线I、半无 图2c 限长的弦线2，如图2c所示。 (3.1)求系统从x=0到x=a的传输矩阵M2(将矩阵元复数：都表示为“R()+ilm()”的形式)： (32)一列简谐波从左侧远处沿x轴正方向传播，在各分界面发生反射和透射，求系统的透射系数： (x=(2a+b)处透射波的复振幅A与x=0处入射波的复振幅A之比)。 (4)考虑长度为a的弦线1（A、T)和长度为b的弦线2(P2、 y 飞)交替排列，构成空间周期为d=a+b的周期性结构，即一维声子【22之 Oa b 晶体，如图2所示。根据布洛赫定理，在周期性介质中传播的一维波 图2d (x,),可表示为复振幅周期调制的平面波形式，即 x,)=ak（x)ei-an 其中调幅因子ix(x)是周期为d的函数，满足ax(x+d)=x(x),K为布洛赫波矢。 (4.1)对于此一维声子晶体允许传播的波，求角频率。与波矢K满足的关系式。波允许传播时ω的一 个连续范围为声子晶体能带中的一个“通带”，不允许传播时的一个连续范围为一个“禁带”。对于此一维声子 晶体含有最低角频率的通带，求长波极限（即K→0）下波的相速度)。· (42)若A=2P2、石1=2x2、a=2b,求此一维声子晶体各禁带对应ω的范围，以及各禁带的角频率 宽度△w,结果用P2、T2、b表示。 (4.3)晶体中机械波的传播模式对应的准粒子称为“声子。一维声子晶体中，声子的能量ε、动量p与 角频率0、波矢K之间清足德布罗意关系，若波矢K在K,=吾附近，即K=K,+8水(8K<K,)声子能 量可表示为(K)≈6(K,)+5，为约化普朗克常量，m称为声子的有效质量。对于第(42)问中的 2m° 一维声子晶体的含有最低角频率的通带，求波矢为K,的声子的有效质量m,结果用力、P,、t2、b表示。 三.(45分)在液氨中有一个游离电子。由于泡利不相容原理，距离游离电子很近的氨原子会受到电子的强 烈排斥，从而在电子周围形成一个没有氨原子的球形小空洞，这个空洞被称为“电子气泡”此外氢原子还 会被电子产生的电场极化从而被电子吸引，导致在电子气泡之外的氢原子密度升高。电子加速时会带着气 泡和被吸引的氨原子一起加速，因此液氢里游离电子的“有效质量”远大于自由电子质量m。。己知在一个 标准大气压p0=1.0×105Pa下，液氦的密度po=125kgm3,表面张力系数o=3.7×10-4N/m,相对介电 常数G,=1.056,体模量8三-V0=8.24×10kg@s共中v是体积p是压强为m:=9.11×10-31kg, 真空介电常量E0=8.854×10-12/m,普朗克常量h=6.626×10-34m2kg/s,元电荷量e=1.602×10-19C, 第2页兆6页 餐巴扫描全能王 然病1之人影直用的日情A 0-……22-2- 氨原子质量M=6.646×10-27kg。 以下第(1)至第(6)问只要求导出表达式，不要代入具体数值。 (1)取气泡中心为原点，电子的时间平均位置与原点重合，求气泡外R处的电场强度E。 (2)氨原子在电场E作用下会发生极化，每个原子的电偶极矩为p=αB,其中α是氨原子的电极化率，它和 相对介电常数有近似关系：←一1≈品。α.求位于R处每个氢原子受到电子的吸引力， (3)假设距离电子很远处的压强是一个大气压。如果不考虑液氨密度的改变，求平衡时距离原点处的压 强p(R)。 (4)实际上，由于上述压强的改变，液氢密度是会改变的，试利用第(3)问的结果求液氨密度的改变量 △p(R)三p(R)一Po与R的关系，准确到元电荷量的最低阶非零项。 (5)气泡外液氦密度的改变是由于液氨被电子吸引过来所导致的，假设气泡半径为，计算被电子吸引过来 的液氨的总质量△Mp (6)由于不确定性原理，电子会不停的运动，不断碰撞气泡壁产生压强。已知在半径为的气泡里，电子的 h 平均动量大小为2，。求电子对气泡壁的压强。 (7)泡利排斥作用的力程量级约为10m,试估算在气泡壁上不同作用对压强的贡献；只考虑最重要的作 用，导出平衡时气泡的半径r的表达式，并求其数值。 (8)已知体积为V的球体在密度为P的液体中加速时会带动周围液体一起加速，这等效于球体质量增加 △M=。兴求电子在液氨中加速运动时的总有效质最与电子质量的北比值。 四.(45分)拉格朗日点在空间科学研究中有重要意义。在该点附近，探测器能够以较少的燃料消耗长期驻 留，适合部署望远镜、空间站以进行持续的天文观测。三个天体S1、S2和S3的质量分别为m1、m2和mg,且 mg远小于m1和m2,S3对大质量天体S1和S2的彩响可忽略。假设S1和S2绕它们的质心0做匀速圆周运动，两 者之间的距离为R.当小质量天体S3处于空间中某些特殊点时，它相对于S1和S2可保持静止，这些点称为拉 格朗日点。记引力常量为G,a生件mP=1-a,在第2)、3、（④阿中，假设a《1 (1)求S和S,绕其质心0转动的角速度ω： (2)求所有拉格朗日点的位置； (3)分析S3在距离S,最近的拉格朗日点上平衡的稳定性； (4)考虑S,在距离S,最近的拉格朗日点附近运动，假设可调控S,的初始偏离位置和初始速度使其位置偏离 量随时间指数变化的模式不出现，求S3的位置随时间变化的表达式（在动力学方程中，仅保留偏移量的一阶 项)，并求初始位置和初始速度应满足的条件。 五.(45分)在极端高温和高密度环境下，原子核的反应达到动态平衡，各种核素的丰度不再随时间变化， 仅由温度、密度和系统的化学组成决定。原子核的无规则热运动的动能远小于其静止能量，可视为非相对论 粒子。粒子的数密度在动量空间的分布遵循麦克斯韦玻尔兹曼分布 f0p)-e脚ka [μ-E(p)] 这里h是普朗克常量，k是玻尔兹曼常量，μ是粒子的化学势，E(p)是动量为p的粒子的能量。不考虑粒子的 自旋。已知光子的化学势为零。当某一反应达到平衡时候，反应物的总化学势与生成物的总化学势相等。光 在真空中的速度为c. (1)原子核的静止质量为m,当温度为T、原子核的数密度为n时，求原子核的化学势μ： (2)温度为T时，原子核X的光致分解与合成反应达到动态平衡 第3页共6页 餐⑤扫描全能王 病觉人群直用的日Ae 0-……22-2- 4X+y Zp+Nn 这里Y、p、分别表示光子、质子、中子，Z是核素的原子序数或者质子数，N是中子数，A=Z+N是质量 数。求此时原子核的数密度与质子的数密度、中子的数密度之间的关系。原子核X的质量和总结合能分别为 mx和By. (3)温度为T时，氘核H≡D的光致分解与合成反应达到动态平衡 D+y-p+n 求此时粒子数密度之比D的表达式，其中n是粒子a的数密度(a=D,P,n)。氘核的质量和结合能分别为 npnn mp和BD, (4)当宇宙的温度高于0.8MeV/k(相当于9.3×10K)时，宇宙中的质子和中子能通过热碰撞而相互转化， 相应的两个核反应过程为 n+v。户p+e,n+etp+a 其中e、e+分别代表电子、正电子，v。、。分别代表电子型中微子及其反粒子。高温时，正反中微子对和正 反电子对不断大量产生、湮灭，它们的化学势为零，以上质子和中子的相互转化过程将很快达到动态平衡， 求此状态下的中子数密度nn和质子数密度np之比的表达式。当宇宙温度低于0.8MeV/k时，以上质子和中子 之间的转换很快停止（冻结），它们的数密度之比不再随温度变化，求冻结状态下的中子数密度和质子数密 度的比值。 (5)当宇宙的温度进一步降低时，中子和质子开始结合，通过一系列核反应最终形成稳定的氨核H,假设 所有的中子都被结合到氨核中（不计中子的衰变），试估算氨核的质量丰度（氨核占全部原子核质量的比例）。 已知质子和中子的质量分别为mp=938.272MeV/c2,mn=939.565MeV/c2；积分公式 ”g后 a>0 六.(50分)热辐射是电磁波，电磁波具有动量，物体在吸收、反射或者发射热辐射时会受到辐射的作用力。 在讨论小行星运动时，辐射力的作用通常是被忽略的。由于小行星的自转和有限的热传导率，辐射作用力可 改变小行星的运行轨道，这称为亚尔科夫斯基效应。下面利用简化模型对此进行讨论：假设太阳和小行星均 为球状理想黑体，辐射能流密度J服从斯特藩-玻尔兹曼定律，J=σT4n,其中T为黑体的表面温度，n是辐 射表面的外法向单位矢量，g=5.67×10-8W/(mK4；小行星绕太阳做圆周运动，轨道半径为Ra,小行星 自转角速度大小为ω，自转轴和公转轴相互平行，公转周期远大于自转周期。设小行星的半径为，密度为 p,比热容为C,热导率为K。已知太阳的表面温度T5=6000K、半径r=7×10m、质量Ms=2×1030kg, 《5《Ra:引力常量G=6.67×10-11m3/kg·s2),真空中的光速c=3.0×10m/s (1)假设辐射传播方向垂直于理想黑体表面，证明该黑体表面单位面积 因吸收辐射而受到的辐射力F和辐射能流密度J的关系为F=J/c, 自转方向 (2)假设小行星表面温度始终保持均匀恒定，求其表面处接收的太阳辐 射能流密度大小、表面温度T分别与轨道半径R的关系：估算辐射作公转速度方向 @l 用力对典型小行星的运行轨道半径的相对改变量，假设典型小行星的半 径为103m、密度为5×103kg/m3. (3)由于自转，小行星表面任意给定位置单位面积接收太阳辐射的功率 随时间周期性地改变，该位置的温度也会相应地随时间改变，但二者的 ↑tt↑t 改变并不同步，后者会滞后于前者一个相位，这是因有限的比热容和热 太阳辐射 导率导致的。对于典型的小行星，热传导主要发生在垂直于小行星表面 图6a 的方向上，并局限在厚度较小的表面层内，可用一维热传导模型来研究 这个滞后相位的大小。先考虑小行星赤道上的情况：如图6a所示，赤道上经度为即处单位表面接收的太阳 第4页共6页 餐⑤扫描全能王 病1必人E直用的日Ae …22-2-2 辐射功率（化，p)随时间t周期性地变化，当t=0时，经度p=0正对太阳，自转方向为经度p增加的方向， 假设n(飞，p)可表示为 hn(.p)-+a/ocos(ot:+o) 其中α为常数。t时刻小行星内部与表面距离为x(x≥0)处的温度T(t,x,p)满足热传导方程 DCOT(2T) at 0x2 在表面(x=0)处满足能流守恒方程 aT(t,x,p) 8x +Jout(t,p)=Jn(t,p) x=0 其中Jou(t,p)为此处表面向外辐射的能流密度。已知热传导方程的解具有下列形式 T(t,x,)To +Tie-y*cos(wt-Bx+-6) 假设T1《T0,求T1、Y、B的表达式以及表面温度的滞后相位6. (4)利用第(3)问的结果，计算同一时刻小行星赤道上不同经度处由于向外辐射，单位面积所受到的力 F(p),并求整个赤道上单位面积所受到的平均辐射力F. (5)整个小行星由于向外辐射所受到的力是λS,其中S为小行星的表面积，1为数量级为1的常数。求由 于小行星向外辐射所导致的轨道运动方向上的加速度。 (6)由于小行星运行轨道的改变十分缓慢，其运行轨道可以始终近似为圆形，忽略辐射对自转的影响，求 因向外辐射导致小行星的轨道半径R随时问的变化率。 （7)考虑小行星带(R3≈4×1011m)上石质或铁质的小行星，哪种小行星的亚尔科夫斯基效应更强？要 使得小行星轨道能从小行星带变成接近地球轨道（半径约为1.5×1011m),对小行星的自转方向有何要求？ 已知小行星的典型自转周期约为1h,石头的密度psT≈3.5×103kg/m3,比热容Csr≈750J/kg·门，热导 率ksT≈3W/(m·闪：铁的密度pre≈8×103kg/m3,比热容Cre≈500J/(kg·K闪，热导率Ke≈70W/m· 9。 七.(45分)等离子体被称为物质的第四态，宇宙中99%的可见物质都可视为等离子体。等离子体是由大量 电子、离子和中性粒子等组成的电中性物质，它由于阴离子和阳离子的电荷量相等，整体呈现准中性而得 名。等离子体的电中性也体现在等离子体对电场有良好的屏蔽效果，这称之为德拜屏蔽。现考虑由电子和 +1价阳离子组成的等离子体，在平衡状态下，离子和电子的数密度()=1，e分别表示离子和电子)都满足 玻尔兹曼分布 qφ nj=njoexp kBTj/ 其中40为常量，为电荷量，中为静电势，刀为绝对温度，k为玻尔兹曼常量。弱耦合条件为史《1，准 kBTI 中性的条件为no=ne0=no,元电荷量用e表示。 (1)一维等离子体中的粒子满足方程（动量方程） min(dtvy +vjdxv)qingE-dxpj 其中m、分别为粒子的质量和宏观速度，E为电场强度，p为压强。由此证明在平衡状态下电子满足玻尔 兹曼分布（此时电子温度空间分布均匀且不随时间变化）。 (2)现将一个试探点电荷放入题干所述等离子体中，在弱耦合条件下： (2I)求稳态时三维空间的静电势分布φ(r),r是场点到电荷q的距离： -中r (2.2)导出电势分布()的特征长度即德拜屏蔽长度10(1m三a7)的表达式和电子德拜屏蔽长 度1的表达式（电子德拜屏蔽长度是指离子温度趋于无穷时的德拜屏蔽长度）： 第5页共6页 餐⑤扫描全能王 然病1之人群言用的归情A 0-2…-。。-2 3 (2.3)已知no=1.0×1020m-3,e0=8.854×10-12F/m,k知Te=10keV,kgT=1.0keV,e=1.602 ×10-19C,给出德拜屏蔽长度λD的数值。 (3)德拜屏蔽效应显示，等离子体中的电荷分离效应只在入知尺度上存在，在远大于，尺度上，等离子体可 视为准中性。但在离子宏观速度和外磁场B不为零的情况下，离子流受力平衡（忽略压强）的条件要求存 在非零的平衡电场，因而△n=m一n。卡0。假定电场强度E的梯度标长为L(若电场沿着x方向的分布不均 匀，梯度标长为aB应，系统运动的特征圆须率如=兰 用wpe(即 、。（即巴)和uo将近 Eome me 似表出：假定特征频率e=1GHz磁场B=1T,m0=1×1020m-3,估算”的数值。 △n 2π (4)电子与离子的巨大质量差异使得等离子体中的波动现象丰富而复杂，从次声波到超高频的电磁波都可 以在等离子体中观测到。现在我们关注声波频率范围内的波动现象。无磁场情况下，等离子体中的各成分除 满足(1)中的动量方程之外，还受到如下方程组的约束： dn+8x(nv)=0 (@+a,)(")=0 aB=(m-ne) Ea 其中，(=i,)表示粒子的多方指数。假设等离子体平衡时在自由空间中均匀分布且无宏观流动，现在该 等离子体中有exp(-iwt+kx)形式的小扰动，保留扰动量的一阶项，利用上述方程组导出ω与k满足的一般 关系式，用w、k、、m了、如e和k表示（所有扰动量的下标用1表示，未扰动量用0表示）. (5)在u2与k2kg工量级相同（与T量级相同）的情况下，从第(4)问中的一般关系式导出w2=w2()的 m 简化表达式，即所谓的色散关系（只保留领头阶项)：在什么条件下，该色散关系可以退化成经典离子声波 的色散关系w2=k2Ye阳T。+k了？ mi (6)在w2与k2如量级相同(T与T量级相同)的情况下，第(4)问中的一般关系式又给出怎样的简化色 me 散关系（只保留领头阶项)？并给出波的群速度的表达式（用ω和其他已知量表示）。 (7)假设电子满足弱耦合条件下的玻尔兹曼分布，第(4)问中的方程x8=号(m一n,)换成准中性条件 n=ne,离子满足的方程保持不变，导出此时离子声波的色散关系ω2=w(k),并指出如何由经典离子声 波的色散关系（见第(5)问)得到该结果。 第6项共6页 蠡田全任 0-2…-。。-2 第42届全国中学生物理竞赛决赛理论试题解答与评分标准 一.(45分) (1)电偶极矩P,在位置r处产生的电场为 E-y吧 ① 代入分子A的电偶极矩P,=pe,和分子B的位置r=xe,+b肥，得分子A在分子B处产生的电场强度 E=卫36xe,+(2b-xg, ② 4π60(x2+b2)52 (2)电偶极矩为P2=psinOe.+pcos0e,的极性分子B在分子A的电场E,中的电势能 pEp3bxsine+(2b)c0s0 (x2+b2)2 ③ 因此分子B受到的电场力沿x方向的分量 =p） =3p26(62-4x2)sin0+xr2-4b2)cos0 ④ dr)不变4π6o (x2+b2)72 其受到的绕绝缘轴的力矩 M(x,θ)= dW） =p3bxcos0-(262-x)sin0 ⑤ 人d日变4π8 (x2+b2) 平衡时要求 「F(x,)=0 ⑥ M(x,8)=0 即 [b(b2-4x2)sin0+x(x2-4b2)cos0=0 ⑦ 3bxcos0-(262-x2)sin0=0 解得 lo=0'或/rs0 x=0 ⑧ 0=π 静止条件：分子B位于x=0的位置，且其电偶极矩P,指向：轴正方向或负方向。 (3)根据题意，对于平衡位盟二0考虑小扰动，即、9均为小量。 0=0' 根据质心运动定理，将④式保留至小量的一阶项得 Rx=0-4=版 ⑨ 根据绕绝缘轴的转动定理，将⑤式保留至小量的一阶项得 M(x,)≈，p 6,b(3x-2b0)=1i ⑩ 代入1=5mb,令G=,p 12 F4πm,可得线性微分方程组 影田全任 。-。。--2。小 m6(-12x+30b)=x ① 06(3x-20b)= 2 考虑简正模式，即x)、()以相同的角频率同步振动， 设0=Acos(or+）,代入①式得 0(1)b=Bcos(ot+o) (12+ 3)A+3B=0 @ 3A+(←-2+10 12)6-0 关于A、B的齐次方程组存在非零解的条件为 det 水2 (-1240 102 -9=0 12 ⑧ 3 2+103 1206 解得简正频率 0=V60。= 3p2 V2π6bm w2=V300。= 15p2 V2πeobm 此时方程组①式的解为 [x(I)=Acos(@,1+9)+A2cos(@2(+p) ⑤ 0(1)b=B cos(@t+)+B2 cos(@21+p2) 对于0=√6，代入@式可得 B,=2A 对于0，=√300，，代入②式可得 B2=-6A ⑩ 从而给出完整解 x(1)=A cos 3p 15p2 1V2π8bm ++Ac0s V2π6nb'm +p2 ⑧ 00- 3p2 15p2 V2πebm 1+01 +p2 b b /2πeb'm 其中A、%、4、”,可由初始条件确定。 x=0 ⑧式表明在平衡位置 附近，分子B在小扰动下的运动为简谐振动的叠加，即此平衡位置为 8=0 稳定平衡位置 (4)根据初始条件 0-2…-。。-2小 [x(0)=a,(0)=0 © 8(0)=0,8(0)=0 可得 A cosp+A coso2 =a,A sin+5sin=0 24 coso-64 coso2 =0,24 sing-6A5sin =0 解得 3 4=44,%=0 ④ 4=44,=0 代入⑧式可得 x(t)= 3 3p2 15p2 acos 1V2πe,bm 4 2πE,bm 四 (0= a 3p3 3a 15p2 cos cos 2b 2π6bm 2b 2π6bm 评分标准：本题共45分 第（1)问5分，①式2分，②式3分： 第(2)问10分，③④⑤⑦⑧式各2分： 第(3)问20分，⑨⑩@⑧式各2分，⑥①式各1分，@⑧式各4分，*2分： 第(4)问10分，⑩@式各4分，@式2分。 二.(45分) (1)质量线密度为p、张力为x的均匀弦线中的波速和波矢分别为v= 简谐波的方程为 y(x,1)=Acos(kx-ot) ① 任意1时刻、在x处d山r长度弦线具有的动能 ② 所以单位长度弦线具有的动能 atx小=(g-osno层-a ③ dx长度（原始长度)弦线储存的弹性势能 dE,(x,t)=r(ds-c -图-咖割血 ④ 所以单位长度弦线的弹性势能 san--wmo厚-a0 ⑤ 暴巴全赶 0-…22-2- 质元的动能和势能同步变化。单位长度弦线的机械能 6(x,1)=6(x,1)+(x,t)=po2A2sini ⑥ 单位时间传过x处截面的机械能（即瞬时能流） ()udlsin d e.- ⑦ [解法二： 任意t时刻、在x处弦线左侧对右侧做功的功率 P(x.)=-rsin-prof sin at ax at - ⑥ 单位时间传过x处截面的机械能（即瞬时能流） =x=wfso厚-叫 ⑦ 其时间平均值（即平均能流） T-pii'sinxDo ⑧ (2) (2.1)弦线1中和弦线2中的波可分别表示为 x<0,）=Ae)+ei-4-m,k=0”=0, ⑨-1 0x>0,）=,e-on+月，e-sm,k2=0=0, ⑨-2 其中A、B分别为两列波在x=0处的复振幅，A,、B,分别为两列波在x=0*处的复振幅。 在分界面x=0处质元位移连续 (0°，0=0*，0 ⑩ 所以 4+B=4+B ⑩ 分界面在y方向上受力应平衡 五sin8=sin4,即52(0，)=5,2(0,0 Ox 所以 xk(-)=k(A,-),即√p(4-)=√P(4-) ① 由以上两个边界条件⑩①式可解得 4=20+z.)月+20-Z.)8 ② a=-za4++za'气a 21-Z21+Z八8 鬟田全任 2。-。。--2。