高教版《一课一练》第18练-等差数列与等比数列的应用（2） 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合云南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第18练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用（2）。 高教版《数学》拓展模块下册 第18练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用（2） 一课一练 1、 单选题 1．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 2．小明为锻炼身体,增强体质,计划从假期第一天开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里,则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（    ） A．8 B．9 C．4 D．5 3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 4．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 6．已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ） A． B． C．17 D． 8．从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（    ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元 二、填空题 9．为了参加学校运动会的长跑比赛，计算机专业的小明同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离是在前一天的基础上增加相同的距离，若小明同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则小明同学这15天共跑了 米． 10．现有一根长为243米的圆柱形木棒，第1天截取木棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第6天截取的长度是 米. 三、解答题 11．早在两千多年前，二十四节气在农业生产和生活中已经发挥了重要作用，它体现了人与自然和谐共生的理念，是我国第一批国家级非物质文化遗产.在古代，人们通过圭表测日影长度来确定节气.一年之中日影最长，白昼最短的一天定为冬至.从冬至开始的十二个节气依次是冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列.若从冬至起的个节气日影长度依次记为等差数列中的，，，…，，已知（尺），（尺），求： (1)该数列的首项和公差； (2)年6月5日是芒种节气，求芒种节气的日影长. 12． 一个热气球在第一分钟上升了25的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的．这个热气球上升的高度能超过125吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合云南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块第18练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用（2）。 高教版《数学》拓展模块下册 第18练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用（2） 一课一练 1、 单选题 1．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 2．小明为锻炼身体,增强体质,计划从假期第一天开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里,则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（    ） A．8 B．9 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由已知可得这20天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解． 【详解】由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为， 设其公差为，前项和为，且， 则，即，解得， 所以， 由，得，解得， 所以这20天中老张日跑步量超过6公里的天数为天． 故选：C． 3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则. 故选：C. 4．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（    ） A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m 【答案】C 【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成是半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前项和公式求总和即可. 【详解】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：， 可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：， 且. 由等差数列的求和公式得： 故选：C 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 【答案】A 【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解. 【详解】将他们的年龄从小到大依次排列为， 所以，，解得. 故选：A. 6．已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设出数列的首项和公差，通过题设条件求得和的数量关系，再将用前项和公式展开，整体代入即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由成等比数列得,即：， 解得：，. 故选：C. 7．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ） A． B． C．17 D． 【答案】A 【分析】利用等差中项公式、等比数列通项公式和等比数列求和公式即可解决. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为等比数列的公比为， 所以上式化为，解得. 所以的前10项和为. 故选：A 8．从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（    ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程，化简求得正确答案. 【详解】设是等比数列，公比， 依题意，， 解得万元. 故选：A 二、填空题 9．为了参加学校运动会的长跑比赛，计算机专业的小明同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离是在前一天的基础上增加相同的距离，若小明同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则小明同学这15天共跑了 米． 【答案】36000 【分析】根据题意设出等差数列，结合等差数列的性质及求和公式即可得解. 【详解】根据题意可知，小李每天跑步的距离构成等差数列， 设小李每天跑步的距离构成等差数列为， 由题意得， 两式相加得， 则， 所以米． 则小明同学这15天共跑了米， 故答案为：. 10．现有一根长为243米的圆柱形木棒，第1天截取木棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第6天截取的长度是 米. 【答案】 【分析】由题意可得第n天截取木棒的长度与原木棒长度的比值为等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设第n天截取木棒的长度与原木棒长度的比值为， 由题意，第天截取木棒的，即， 从第2天开始每天截取前一天剩下长度的， 第天截取后剩下，第天截取长度是第一天剩下长度的， 即第天截取长度与原木棒长度的比值为，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，故第6天截取的长度是米. 故答案为：. 三、解答题 11．早在两千多年前，二十四节气在农业生产和生活中已经发挥了重要作用，它体现了人与自然和谐共生的理念，是我国第一批国家级非物质文化遗产.在古代，人们通过圭表测日影长度来确定节气.一年之中日影最长，白昼最短的一天定为冬至.从冬至开始的十二个节气依次是冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列.若从冬至起的个节气日影长度依次记为等差数列中的，，，…，，已知（尺），（尺），求： (1)该数列的首项和公差； (2)年6月5日是芒种节气，求芒种节气的日影长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据等差数列的通项公式求值即可. 【详解】（1）已知个节气日影长度为等差数列， 则设数列的首项，公差为， 由，， 得，即， 解得. （2）由（1）可知，， 因为芒种节气为， 所以， 所以芒种节气的日影长为. 12．一个热气球在第一分钟上升了25的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的．这个热气球上升的高度能超过125吗？ 【答案】这个热气球上升的高度不可能超过125． 【分析】用表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意数列是等比数列，利用等比数列求和公式求出热气球在前n分钟内上升的总高度即可判断. 【详解】用表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得， 因此，数列是首项，公比的等比数列． 热气球在前n分钟内上升的总高度 ， 即这个热气球上升的高度不可能超过125． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $