高教版《一课一练》第17练-等差数列与等比数列的应用 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合云南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块17练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用。 高教版《数学》拓展模块下册 第17练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用 一课一练 1、 单选题 1．已知等比数列满足，且成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A．14π B．18π C．24π D．30π 3．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（    ） A．30 B．33 C．38 D．40 4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（    ） A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年 5．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 6．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（    ） A．189 B．190 C．191 D．192 8．若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（ ） A．95 B．96 C．97 D．98 二、填空题 9．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 10．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为 分钟． 三、解答题 11．用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. (1)第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） (2)当时，求的最小值. (3)若，当为整数时，求的取值. 12． 我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合云南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块17练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用。 高教版《数学》拓展模块下册 第17练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用 一课一练 1、 单选题 1．已知等比数列满足，且成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设的公比为q，则． 由成等差数列，得，即， 于是，故，从而． 故选：D 2．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A．14π B．18π C．24π D．30π 【答案】D 【分析】每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解． 【详解】由题意可知，每段圆弧的圆心角为， 第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列： 故当得到的“蚊香”恰有9段圆弧时， “蚊香”的长度为． 故选：D． 3．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（    ） A．30 B．33 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3. 设该阶梯大教室共有排，则，整理得， 因为，所以. 故该阶梯大教室最后一排的座位数为38. 故选：C 4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（    ） A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年 【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案. 【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为庚， 由于，余数为4，故100年后地支为子， 综上：100年后的2080年为庚子年. 故选：D. 5．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 【答案】C 【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果. 【详解】哈雷彗星回到近日点的年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为， 则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与 76 的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则. 故选：C. 6．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得这天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解. 【详解】由已知可得这天日跑步量成等差数列，记为， 设其公差为，前项和为，且 则，即， 解得， 所以， 由，得， 解得， 所以这天中老张日跑步量超过公里的天数为天， 故选：B. 7．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（    ） A．189 B．190 C．191 D．192 【答案】B 【分析】根据题意，构成首项为，公差为的等差数列，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为，公差为的等差数列， 则， 所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为. 故选：B. 8．若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（ ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】C 【详解】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：. 故选：C 二、填空题 9．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 【答案】 【分析】分析每年支出的费用为等差数列，计算前年的支出费用和总收入，得到前年的纯利润，令即可求解. 【详解】由题意知，每年支出的费用成首项为，公差为的等差数列， 前年的总支出为（万元），(且)， 所以前年的纯利润， 要开始盈利，则，即， 可化为，解得， 因为正整数，所以从第年开始盈利. 故答案为：. 10．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为 分钟． 【答案】15 【分析】甲每分钟的路程成等差数列，因为第一次相遇甲、乙共走70米；第二次甲、乙相遇共走210米，由等差数列求和公式列出方程，即可求解. 【详解】甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，可知甲每分钟走的路程成等差数列，设为， 则， 乙每分钟走5米， 第一次相遇甲、乙共走70米；第二次甲、乙相遇共走210米，设第二次相遇的时间为t， 则，解得. 故答案为：15. 三、解答题 11．用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. (1)第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） (2)当时，求的最小值. (3)若，当为整数时，求的取值. 【答案】(1)； (2)44 (3)2 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求得；结合公式，即可求得； （2）根据题意，结合的公式，先表示出，即可列出不等式，继而求解； （3）根据题意，结合等差数列的前n项和公式及，先化简公式，得到，当时等式成立，即可因式分解得到，继而求解. 【详解】（1）观察规律，第层个数； （2）由，即，化简得， 即， 当时，； 当时，， 所以最小值为. （3）因为，，则， 已知，即， 所以，所以， 所以， 所以， 化简整理得， 当时，， 因式分解得， 二次方程，判别式， 所以. 12．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $