22.3实际问题与二次函数 题型分类解答专项练习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》 题型分类解答专项练习题（附答案） 一、销售利润问题 1．超市销售某品牌书包，进价为每个80元，在销售过程中发现，月销量y个与销售单价x元之间满足一次函数关系（其中，且x为整数），当每个书包售价为110元时，每月销售量为80个；当每个书包售价为120元时，每月销售量为40个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当该品牌书包的售价定为多少元时，超市销售该品牌书包月销售利润最大，最大利润是多少元? 2．某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示． (1)求函数的表达式． (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？ 3．2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 4．某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间x（天）的一次函数，其关系如下表： 时间x（天） 1 2 4 10 36 … 日销量m（件） 94 92 88 76 24 … 根据市场规律，未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数，后20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数． (1)求日销售量m（件）与x（天）之间的关系式； (2)未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 二、几何图形问题 5．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出与，与的函数关系式； (2)当时，求垂直于墙的一边长； (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 6．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 7．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 8．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 三、线段、周长问题 9．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 10．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C，请完成下面的填空： (1)该抛物线的解析式为___________ ． (2)在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标为___________ ． (3)在抛物线上的第二象限上存在一点P，使的面积最大，则点P的坐标为______ ，的最大面积为__ ． 11．如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 四、图形面积问题 13．如图，已知抛物线经过A、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标； (3)在直线上方的该抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大，若存在，求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 14．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 15．如图，抛物线与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，其顶点为D． (1)点E为轴上的动点，当周长最小时，求点E的坐标； (2)若E为中点，P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． (3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足，求点Q的横坐标． 16．如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． (2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F． ①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 五、角度问题 17．在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 18．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的横坐标等于点C的纵坐标． (1)求该抛物线的解析式及点A的坐标； (2)设为直线上一点． ①当为直角三角形时，求n的值； ②当时，已知点A关于y轴的对称点为，射线交抛物线于点P．若，求点P的横坐标． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且过点． (1)求抛物线解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的一点，连接，当时，求点的坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1)，且为整数． (2)当该品牌书包的售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数解析式的求解方法和二次函数的性质（利用对称轴求最值）是解题的关键． （1）设，利用给定的两组售价与销量的对应值，代入可得到关于、的方程组，解方程组就能求出函数关系式． （2）先根据利润 =（售价 进价） 销量，列出利润关于售价的函数表达式，这是一个二次函数，再根据二次函数的性质（的正负确定开口方向，结合自变量取值范围）求出最大值． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． ∵ 当时，；当时，， ∴ ， 用第一个方程减去第二个方程得：， 即， ， 解得． 把代入得：， ， ， ∴， ∵即， ∴， ∴ 与之间的函数关系式为，且为整数． （2）解：设月销售利润为元． ∵ 利润，， ∴ ， 展开得， ． 对于二次函数，，抛物线开口向下，对称轴为． ∵ ，且为整数， ∴ 当时，有最大值． 把代入得： ． ∴ 当该品牌书包的售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 2．(1)， (2)当均投资万元时，利润最大，最大利润为万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）由图可知，函数的图象均过，代入它们的表达式联立方程组求出即可； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，投资种白鹅的投资为（）万元，用m表示出总利润，再根据二次函数的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：由图可知，函数的图象均过， ∴ 解得：，， ，； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资为（）万元，由题意得： ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为，此时， ∴当投资万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资也为万元时，可使得利润最大，最大利润为万元． 3．(1)， (2)每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 (3)当吉祥物“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； （2）根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 4．(1) (2)未来40天中第14天日销售利润最大，最大利润578元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型． （1）利用待定系数法可求得一次函数关系式； （2）日利润日销售量每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 将，分别代入一次函数关系式中，得， 解得， ， 日销售量（件）与（天）之间的函数关系式：； （2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元， 则， ，， 当时，有最大值，最大值为578； ， ，此函数图象开口向上，对称轴是直线， 在内，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为． ， 答：第14天的日销售利润最大为578元． 5．(1)； (2)垂直于墙的一边长为； (3)当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 6．(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 7．(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 8．(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 10．(1) (2) (3)， 【详解】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式利用对称解决最小值问题，构建二次函数，利用二次函数的性质解决实际问题． （1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可． （2）如图1中，连接交对称轴于Q，此时最小，即的周长最小，求出直线的解析式即可解决问题． （3）如图2中，设，作轴，交于M．则．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 故答案为． （2）如图1中，连接交对称轴于Q，此时最小，即的周长最小， 设的解析式为，则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ． 故答案为． （3）如图2中，设，作轴，交于M．则． ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点． 故答案为，． 11．(1)； (2)当 时， 有最大值为 ； (3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求抛物线解析式、求三角形面积最大值以及利用对称求最短路径，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的解析式求解以及对称点的性质是解题的关键． 12．(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 13．(1) (2) (3)存在，， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数中的面积问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将、代入，利用待定系数法求解； （2）由点A和点B关于对称轴对称，可得，当点M在直线上时等号成立，由此可解； （3）作轴于点H，交于点E，设，则，，化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线， 点A和点B关于对称轴对称， ， ，当点M在直线上时等号成立， 设直线的解析式为， 将、代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 此时点M的坐标为； （3）解：如图，作轴于点H，交于点E， 设，则， ， ， 当时，取最大值． 此时点P的坐标为． 14．(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点 ，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 15．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键： （1）求出的坐标，作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，此时周长最小，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （2）分两种情况，①点不在直线上，设直线交轴于N，直线交轴于M，证明，得到，求出直线的解析式，进而求出的坐标，进而求出点坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点的坐标即可；②点在直线上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； （3）设，交轴于H，过Q作轴于G，分割法求出三角形和四边形的面积，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当时，则：，当时，， ∴， 作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，则，周长最小． 设直线的解析式为，把代入，则有， ∴ ∴直线的解析式为， 令，则，解得： ∴点E的坐标为； （2）①点不在直线上时，如图，设直线交轴于N，直线交轴于M， ∵， ∴，   ∵轴   ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴中点， 设直线解析式为， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为． ∴当时，， ∴，      同法可得：直线解析式为， 由解得或， ∴P的坐标为． ②当点在直线上时，则：，解得：解得或， ∴P的坐标为； 故或． （3）设，交轴于H，过Q作轴于G． ∵ 则，， ∵， ∴， 设直线解析式为，     则有， 消去，解得：， ∴， ∴． ∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 16．(1)点A、B、C的坐标分别为： (2)①当时，的最大值为：；②点Q的坐标为：或 【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （Ⅱ）①设点，则点，则，即可求解； ②过点M作直线交y轴于点R，得到直线m的表达式为，即可求解；在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使，同理可解． 【详解】（1）解： P与点关于原点对称，则点， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； 当时，，令，则或1， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①设直线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 则， 故当时，的最大值为：； ②存在，理由如下： 由①知，点， ∴， 过点M作直线交y轴于点R， ∵轴，即轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即直线向上平移个单位得到直线m， 则直线m的表达式为：②， 联立①②得：, 解得：（舍去）； 在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使， 则点， 则直线n的表达式为： ③， 联立①③得：， 解得：， 则点Q的坐标为：或， 综上，点Q的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、线段长度的表达方法等，分类求解是解题的关键． 17．(1)， (2)①或；② 【分析】（1）把代入抛物线中得：，解方程可得m的值，从而得抛物线的解析式，配方成顶点式可得点P的坐标； （2）①令，可计算C，分两种情况：当点Q在x轴的上方时，如图1，连接，证明是等腰直角三角形，即可得点Q的坐标为；当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E，设，根据，列方程即可解答； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N，设点Q的坐标为，证明，得，即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴P的坐标为； （2）①当时，， ∴C， 分两种情况： 当点Q在x轴的上方时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当点Q与C重合时，， 此时Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E， 设 ∵点Q是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， 当时，， ∴Q的坐标为， 综上，点Q的坐标是或； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N， 设点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：二次函数解析式的确定，二次函数的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高． 18．(1)， (2)①；② 【分析】（1）令，则，得到，从而，代入抛物线解析式，即可求出a的值，从而得到解析式，令时，则，解方程即可得到点A坐标； （2）①分两种情况：当点M在线段上，，为直角三角形；或当点M在射线上，，为直角三角形，分别求解即可； ②延长至点Q，使，证明，得到，进而得到点Q的坐标为，根据，得直线的解析式为，解方程即可解答． 【详解】（1）解：对于函数， 令，则， ∴， ∵点B的横坐标等于点C的纵坐标， ∴ 将点代入抛物线，得 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线解析式为． 当时，， 解得， 点A坐标为； （2）解：①由（1）可得，， 直线的解析式为． 当点M在线段上时，如图1， 为直角三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 为等腰直角三角形， 过点M作，垂足为点N． 点N为的中点， ． 将代入得， ． 当点M在射线上时，如图2，时，为直角三角形， ∵， ． ∵， ∴ ∴， 过点M作轴于点N， ∴，， ∵， ∴， ， 又 ， 综上，n的值为； ②由题意得，，延长至点Q，使， ， ∴，即， ∵，， ， ，， 点Q的坐标为， 由，得直线的解析式为， 由解得，（舍）， 点P的横坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出，则有直线解析式为；再求出对称轴为直线；连接，由对称性可得，则，当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案； （3）分点M在x轴上方和下方两种情况，根据构造角平分线讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，且过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 在中，当时，， ∴当的值最小时， 点P的坐标为； （3）解：如图所示，当点M在x轴上方时，设交x轴于G，过点G作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取，连接，设直线交于L， ∴， ∴， 同理可得平分， ∴同理可得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 20．（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $