专题03 等比数列及其前n项和 讲义2026届高三数学一轮复习

专题03　等比数列及其前n项和 必备知识——重基础强方法 一．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab． 提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． (2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． (3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同． 二．等比数列的性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和{}(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)等比数列{an}的单调性 ①满足或时，{an}是递增数列． ②满足或时，{an}是递减数列． ③当时，{an}为常数列． ④当q<0时，{an}为摆动数列． 三．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式：，其中为首项，为公比。任意两项，的关系为。 要点诠释：通项公式可变形为，当且时，可将看作自变量的函数，点是曲线上的一群孤立的点，体现了等比数列与指数函数的关系。 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 4、 等比数列前项和的性质 (1)若，令，则（，，，），反之，若数列的前项和满足这种形式，则数列为等比数列。 等比数列前项和为（且），则，，仍成等比数列，其公比为（）。且。 (2)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．等比数列的前项和公式： 公式：。 要点诠释：公式推导使用了错位相减法。当时，等比数列的前项和等于首项的倍；当时，需注意公式中的计算，以及根据已知条件合理选择或 课前热身 1．（24-25高二上·全国·课前预习）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2025·广西·模拟)(多选题)已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 5．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 专题一　等比数列基本量的运算 例1 (1)（2026·全国·模拟预测）已知为等比数列，且，，则公比等于（    ）． A． B． C．2 D．4 (2)（25-26高三江苏南京·期中）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【感悟提升】 等比数列基本量运算的解题策略 方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二” 整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解 分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论 变式训练： 2．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知等比数列中，，，则（   ） A．16 B．16或 C．32 D．32或 专题二　等比数列的性质及其应用(多考向探究) 考向1等比数列项的性质 例2. (1)．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． (2)（23-24高二下·四川成都模拟）(多选题)已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【感悟提升】 利用项的性质的解题策略 策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度 策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用 变式训练：2.（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 考向2等比数列前n项和的性质 例3 (1)（25-26高三上·河北）(多选题)已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 (2)（25-26高三上·内蒙古·开学考试）记为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．18 B．32 C．42 D．50 【感悟提升】 等比数列的性质分类 类型一 通项公式的变形 类型二 等比中项的变形 类型三 前n项和公式的变形 提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 变式训练：5．（2025·广东广州·模拟预测）(多选题)已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 6．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 考向3等比数列前n项和最值问题 例4.已知数列满足，且对任意，都有，记数列的前项和为，若，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 【感悟提升】 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响． 变式训练：7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点三　等比数列的判定与证明 例5 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【感悟提升】 等比数列的判定与证明的方法 提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定． (2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可． (3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. (4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证． 变式训练8．(2024·江西抚州一中质检)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn. (1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜. 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（2025·河北唐山·模拟预测）已知等差数列的公差为3，且成等比数列，则（　　） A．16 B．17 C．19 D．20 2．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（    ） A．93 B．1023 C．2047 D．3069 5．（2023·辽宁·三模）(多选题)已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 6．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 二、解答题 9．（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． ( 17 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03　等比数列及其前n项和 必备知识——重基础强方法 一．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab． 提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． (2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． (3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同． 二．等比数列的性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和{}(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)等比数列{an}的单调性 ①满足或时，{an}是递增数列． ②满足或时，{an}是递减数列． ③当时，{an}为常数列． ④当q<0时，{an}为摆动数列． 三．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式：，其中为首项，为公比。任意两项，的关系为。 要点诠释：通项公式可变形为，当且时，可将看作自变量的函数，点是曲线上的一群孤立的点，体现了等比数列与指数函数的关系。 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 4、 等比数列前项和的性质 (1)若，令，则（，，，），反之，若数列的前项和满足这种形式，则数列为等比数列。 等比数列前项和为（且），则，，仍成等比数列，其公比为（）。且。 (2)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．等比数列的前项和公式： 公式：。 要点诠释：公式推导使用了错位相减法。当时，等比数列的前项和等于首项的倍；当时，需注意公式中的计算，以及根据已知条件合理选择或进行计算。 课前热身 1．（24-25高二上·全国·课前预习）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 B 解 设等比数列的公比为， 由，可得，解得或 则中，的正负未定，此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得，所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件．故选：B 2．(2025·广西·模拟)(多选题)已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 答案 ACD 解 因为数列的前项和为，，且， 当时，，当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列， 故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对；对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对；对于D选项，，D对. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 答案C 解 因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，由，得，则，所以，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故选：C. 4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 答案A 解 因为，所以（负值舍去），所以.故选：A 5．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 答案 C 解 等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列，数列的前10项和为. 专题一　等比数列基本量的运算 例1 (1)（2026·全国·模拟预测）已知为等比数列，且，，则公比等于（    ）． A． B． C．2 D．4 答案　C 解析　由于为等比数列，所以，所以. 故选：C. (2)（25-26高三江苏南京·期中）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 答案　D 解析　设数列的公比为，则，即， 所以.故选：D. 【感悟提升】 等比数列基本量运算的解题策略 方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二” 整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解 分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论 变式训练： 2．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知等比数列中，，，则（   ） A．16 B．16或 C．32 D．32或 答案　B 解析　设等比数列的公比为，则，故，故，故选：B. 专题二　等比数列的性质及其应用(多考向探究) 考向1等比数列项的性质 例2 (1)．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 答案　D 思路分析:设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质可得结论. 解析　设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根，所以，且，所以，，又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以.故选：D. (2)（23-24高二下·四川成都模拟）已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 答案　ACD 解析 对于A，，所以，故，又， 所以为等比数列，故A正确， 对于B，，，所以为等比数列， 且公比为，首项为1，故是递减数列，故B错误；对于C，，所以为公差为1的等差数列，故C正确，对于D， 又，所以，成等比数列，故D成立，故选：ACD 【感悟提升】 利用项的性质的解题策略 策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度 策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用 变式训练：2.（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 答案　D 解析　因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 .故选：D. 3．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 答案　B 解析　由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知.故选：B. 考向2等比数列前n项和的性质 例3 (1)（25-26高三上·河北）(多选题)已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 答案　ACD 解析　A选项，设公比为，则， 因为，所以，又，故， 因为，所以，因为，所以，则，， 故，A正确；B选项，假设，，则，，，满足，故，B错误； C选项，，则，故，故是递减数列，C正确；D选项，相邻两项的差为， 由于，所以， 故，所以，为递增数列，D正确.故选：ACD (2)（25-26高三上·内蒙古·开学考试）记为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．18 B．32 C．42 D．50 答案　C 思路分析：设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式可求，再根据关系求， 解析　设等比数列的公比为，则，因为，， 所以，，所以， 所以，所以，故选：C 【感悟提升】 等比数列的性质分类 类型一 通项公式的变形 类型二 等比中项的变形 类型三 前n项和公式的变形 提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 变式训练：5．（2025·广东广州·模拟预测）(多选题)已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 答案　ABD 解 对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而， 故C错误，对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确.故选：ABD 6．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 答案　C 解析　由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以.故选：C 考向3等比数列前n项和最值问题 例4 已知数列满足，且对任意，都有，记数列的前项和为，若，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 答案　B 思路分析 令，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，由此得到数列是以为首项，为公比的等比数列. 解 令，则，故， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，故， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴. 由得，，即， ∵，∴，即，∴的最小取值为.故选：B. 【感悟提升】 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响． 变式训练：7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得.故选：B 考点三　等比数列的判定与证明 例5 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)易知q≠1， 由题意可得解得 ∴an＝3n－1，Sn＝＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝＝3， 故存在常数λ＝，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列． 【感悟提升】 等比数列的判定与证明的方法 提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定． (2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可． (3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. (4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证． 变式训练8．(2024·江西抚州一中质检)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn. (1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜. 证明　(1)依题意 ①＋②，得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又a1＋b1＝≠0， ∴{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列， ①－②，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)． 又a1－b1＝≠0， ∴{an－bn}是首项为，公比为的等比数列． (2)由(1)得，an＋bn＝×，　③ an－bn＝×， ④ ③＋④得，an＝＋， 故Sn＝＋＝－－＜. 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（2025·河北唐山·模拟预测）已知等差数列的公差为3，且成等比数列，则（　　） A．16 B．17 C．19 D．20 答案 A 解 由于成等比数列，则，故，解得， 故，故选：A 2．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．或 C． D． 答案D 解 设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以.故选：D. 3．（2025·陕西西安·一模）已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D． 答案A 解 ，故， 所以，，故选：A 4．（2025·江苏南通·模拟预测）记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（    ） A．93 B．1023 C．2047 D．3069 答案 B 解析 的首项为，故， 所以，，，， 故. 故选：B 5．（2023·辽宁·三模）(多选题)已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 答案 ABC 解 对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确； 对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是， ， ， 因此，则 ，成等差数列，C正确； 对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.故选：ABC 6．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 答案 A 解 由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列，∴.故选：A. 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案B 解 若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立；若，，则数列为递减数列，所以必要性成立.所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B 8．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 答案 C 解 设等比数列的公比为，则，，∴，∴， ∴.故选：C. 二、解答题 9．（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 答案 (1) (2) 分析（1）根据等差数列的基本量结合题设求出，进而求解即可； （2）由题意易得，进而利用分组求和法求解即可. 解 （1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 则. （2）由（1）知，， 因为数列是公比为3的等比数列，其首项为， 则，则， 所以. 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 答案 (1)证明见解析(2)10 思路分析 （1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列的前项和公式可得，可得为递增数列，由即可求解. 解 （1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以，所以， 因为，所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 17 学科网（北京）股份有限公司 $