精品解析：2025年湖南省湘潭市职业高中对口高考前最一后卷数学试题

2025年湘潭市职业高中对口高考前最一后卷 数学 本试卷共5页，考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意所求向量为，计算即可. 【详解】∵，∴， ∴与向量反向的单位向量为. 故选：. 2. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集的概念与性质判断即可. 【详解】根据空集的概念可知，故A错误； 因为空集是非空集合的子集，所以B正确，C错误； 均为集合，不能用“”表示二者的关系，故D错误， 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得，利用二倍角公式求解. 【详解】， . 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，及具体的函数值，即可判断求解. 【详解】设函数，其定义域为R， ， 是奇函数，排除CD， 再由时，，排除，可得选项A符合题意. 故选：A. 5. 已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，可得，从而，由点在图象上，代入求解可得. 【详解】由图象可知：，， ，，， 点在图象上，， ，，即， ，， . 故选：C. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论集合中为偶数或奇数，分析得的包含关系，从而得解. 【详解】当是偶数时，设，则， 当是奇数时，设，则， 则，故， 故选：C. 7. 生物实验室有5只兔子，其中有3只兔子打过疫苗.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只兔子打过疫苗的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出5只兔子中随机取出3只所有的结果数，然后计算恰有2只兔子打过疫苗的结果数，最后简单计算即可. 【详解】由题可知：5只兔子中随机取出3只所有的结果数为 恰有2只兔子打过疫苗的结果数为 所以从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只兔子打过疫苗的概率为 故选：C 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出，结合复数的运算及复数的相等即可得解. 【详解】设，，则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：. 9. 已知，函数的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】变形为，然后利用基本不等式求解. 【详解】已知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值是. 故选：C. 10. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】化为，解得或， 所以当时，成立，故充分性成立； 当时，或，故必要性不成立， 所以 “”是“”的充分不必要条件. 故选：. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的概念与性质求值即可. 【详解】当时，，， 函数是定义在上的奇函数，， ， 故答案为：. 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数公式进行计算即可解得. 【详解】根据题意，没有女生入选有种选法， 从名学生中任意选人有种选法； 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种； 故答案为：. 13. 双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则，且焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为， 可得， 解得， 故答案为：. 14. 曲线在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程. 【详解】， ， 当时，， 在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线方程为：. 故答案为：. 15. 设复数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于平面向量满足，，求．根据求解. 【详解】原问题等价于平面向量满足，，求. 由， 可得，即， 故，即. 故答案为：. 三、解答题：本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可. （2）根据指数幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 在三棱柱中，，平面，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）证明，然后利用直线与平面平行的判定定理证明平面. （）证明，结合，证明平面，然后证明平面平面． 【小问1详解】 E，F分别是，的中点．所以， 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 18. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，． （1）求 的通项公式； （2）求和：． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先设出公差d,根据题目条件列出方程，求解出公差，再写出通项公式即可. （2）首先证明是等比数列，再根据等比数列的前n项和求解即可. 【小问1详解】 设等差数列 的公差为 ， 因为， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 设的公比为， 由 得 ， 所以， 所以是以为首项， 为公比的等比数列， 所以． 19. 在中，. （1）求的值； （2）若，求b以及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及已知即可求得； （2）先求得，，再由正弦定理得，根据余弦定理求得，进而由三角形面积公式求得面积. 【小问1详解】 由余弦定理及已知， 得. 【小问2详解】 因为，为三角形内角，所以， 因为，， 所以， . 又因为，所以由正弦定理得， 又因为， 所以，解得（舍）. 所以. 20. （1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（）根据题意得出函数满足即可得解. （）根据题意求出即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 则函数满足，解得， 故函数的定义域为； （2）函数的定义域为， ，， 故函数的定义域为. 四、选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点 （1）求证：平面； （2）H是线段的中点，证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，且点分别是线段的中点， 所以在中，， 面，面， 面. 【小问2详解】 由点分别为中点可得，， 又四边形为正方形，可得， 所以， 平面，平面， 面， 由，面，面，得面， ，平面，平面， 平面平面. 22. 在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？ 【答案】7个，个. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答. 【详解】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量， 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等； 与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量， 所以与长度相等的共线向量共有（个）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湘潭市职业高中对口高考前最一后卷 数学 本试卷共5页，考试时间120分钟，满分120分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 2. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 生物实验室有5只兔子，其中有3只兔子打过疫苗.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只兔子打过疫苗的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知，函数的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 8 10. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有________种. 13. 双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 14. 曲线在点处的切线方程为_____. 15. 设复数满足，则_____. 三、解答题：本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算： （1）； （2）. 17. 在三棱柱中，，平面，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 18. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，． （1）求 的通项公式； （2）求和：． 19. 在中，. （1）求的值； （2）若，求b以及的值. 20. （1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域. 四、选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点 （1）求证：平面； （2）H是线段的中点，证明：平面平面. 22. 在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $