高教版《一课一练》第17练-等差数列与等比数列的应用 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块17练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用。 高教版《数学》拓展模块下册 第17练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用 一课一练 1、 单选题 1．现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？（   ） A．4日 B．3日 C．5日 D．6日 4．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，1斗为10升，则（   ） A．a,b,c依次成公比为2的等比数列 B．a,b,c依次成公比为的等比数列 C． D． 5．如图所示，画一个边长为8的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．2003年某企业总产值为a亿元，若到2023年实现总产值翻一番的战略目标，则年平均增长率至少应达到（    ）． A． B． C． D． 7．某同学毕业后到一公司上班，公司承诺第一年的年薪是10万元，以后每年的年薪比上一年增加，则该同学在该公司工作3年的总收入是（   ）万元． A． B． C． D． 8．某景区有一座观景塔，共有16层，景区管理部门为了增加景区的观赏性，在观景塔的每一层挂上彩色气球，最底层挂了20个彩色气球，若往上每一层都比下一层少1个气球，则观景塔上挂的气球总数是（   ） A．225 B．200 C．192 D．168 二、填空题 9．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 10．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为 分钟． 三、解答题 11．用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. (1)第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） (2)当时，求的最小值. (3)若，当为整数时，求的取值. 12． 我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：基于中职学生数学知识能力普遍薄弱的学情特点，我们始终坚持“以生为本”的教育理念，深度融合支架式教学理论，系统剖析近三年高考真题命题规律，匠心打造了契合湖南中职数学命题特色的数学《一课一练》（高教版）系列专辑，每章均配有章节测验。 本卷为高教版《数学》拓展模块17练，内容是第七章数列7.4 等差数列与等比数列的应用。 高教版《数学》拓展模块下册 第17练 第7章 数列 7.4 等差数列与等比数列的应用 一课一练 1、 单选题 1．现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选：C. 2．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为2018年全年产值为万元.，从2019年起每年产值比上一年增加， 则该工厂的年产值构成等比数列，且首项， 2018年为第一项，则2024年为数列的第七项， 所以该工厂2024 年全年产值为. 故选：D. 3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？（   ） A．4日 B．3日 C．5日 D．6日 【答案】A 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可得解. 【详解】良马第日行程记为，则数列是首项为97，公差为15的等差数列， 驽马第日行程记为，则数列是首项为92，公差为的等差数列， 则，，， 数列的前项和为， 数列的前项和为， ，即， 解得或（舍），即4日相逢. 故选：. 4．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，1斗为10升，则（   ） A．a,b,c依次成公比为2的等比数列 B．a,b,c依次成公比为的等比数列 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合得出a,b,c成公比的等比数列，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意可知a,b,c依次成公比的等比数列，故错误，正确； 又，所以， 解得，，，故错误， 故选：. 5．如图所示，画一个边长为8的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形发现，每个小正方形的面积都是前边正方形的面积的一半，由此构造一个等比数列，根据等比数列的通项公式即可得到答案. 【详解】观察图形发现： 第一个正方形的面积， 第二个正方形的边长为，面积， 第三个正方形的边长为，面积， 以此类推，发现：每个小正方形的面积都是前边正方形的面积的一半， 则对应正方形的面积构成等比数列，首项为，公比为， 由，可得， 即第10个正方形的面积为. 故选：A. 6．2003年某企业总产值为a亿元，若到2023年实现总产值翻一番的战略目标，则年平均增长率至少应达到（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求解基本量即可. 【详解】根据题意可知，该企业每年的总产值构成等比数列，设年平均增长率为q， 2003年某企业总产值为， 2004年某企业总产值为， 2005年某企业总产值为， ... 2023年某企业总产值为， 又到2023年实现总产值翻一番，所以， 即，解得， 所以年平均增长率至少应达到. 故选：C. 7．某同学毕业后到一公司上班，公司承诺第一年的年薪是10万元，以后每年的年薪比上一年增加，则该同学在该公司工作3年的总收入是（   ）万元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可构成一个等比数列，进而求解. 【详解】根据题意，可构成一个首项为10，公比为的等比数列， 根据等比数列的前n项和公式， 三年总收入， 故选：D 8．某景区有一座观景塔，共有16层，景区管理部门为了增加景区的观赏性，在观景塔的每一层挂上彩色气球，最底层挂了20个彩色气球，若往上每一层都比下一层少1个气球，则观景塔上挂的气球总数是（   ） A．225 B．200 C．192 D．168 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式及前n项和公式求解. 【详解】由题意知，每一层的气球数从上到下构成等差数列，且，公差， 由等差数列通项公式知，，则， 根据等差数列的前n项和公式，得， 即观景塔上挂的气球总数是200． 故选：B． 二、填空题 9．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用万元，以后每年支出的费用比上一年多万元.每年销售蔬菜的收入为万元.设表示前年的纯利润，则从第 年开始盈利. 【答案】 【分析】分析每年支出的费用为等差数列，计算前年的支出费用和总收入，得到前年的纯利润，令即可求解. 【详解】由题意知，每年支出的费用成首项为，公差为的等差数列， 前年的总支出为（万元），(且)， 所以前年的纯利润， 要开始盈利，则，即， 可化为，解得， 因为正整数，所以从第年开始盈利. 故答案为：. 10．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为 分钟． 【答案】15 【分析】甲每分钟的路程成等差数列，因为第一次相遇甲、乙共走70米；第二次甲、乙相遇共走210米，由等差数列求和公式列出方程，即可求解. 【详解】甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，可知甲每分钟走的路程成等差数列，设为， 则， 乙每分钟走5米， 第一次相遇甲、乙共走70米；第二次甲、乙相遇共走210米，设第二次相遇的时间为t， 则，解得. 故答案为：15. 三、解答题 11．用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒了层. (1)第层垒了几个?求这层共垒乒乓球个数. （参考公式：） (2)当时，求的最小值. (3)若，当为整数时，求的取值. 【答案】(1)； (2)44 (3)2 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求得；结合公式，即可求得； （2）根据题意，结合的公式，先表示出，即可列出不等式，继而求解； （3）根据题意，结合等差数列的前n项和公式及，先化简公式，得到，当时等式成立，即可因式分解得到，继而求解. 【详解】（1）观察规律，第层个数； （2）由，即，化简得， 即， 当时，； 当时，， 所以最小值为. （3）因为，，则， 已知，即， 所以，所以， 所以， 所以， 化简整理得， 当时，， 因式分解得， 二次方程，判别式， 所以. 12．我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $