第三单元 角的度量 培优精（知识梳理+9个考点讲练+巩固练习 共47题）-2025-2026学年人教版数学四年级上学期

第三单元 角的度量 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：直线、射线和线段的认识 1 知识点二：角的定义与各部分名称 2 知识点三：角的度量工具与方法 3 知识点四：角的分类与关系 4 知识点五：角的画法 4 知识点六：角的度量与计算 5 知识点七：易错点与培优技巧 6 考点练习 7 考点一：线段、直线、射线的认识及特征 7 考点二：数图形（线段、直线、射线） 7 考点三：角的概念及表示方式 8 考点四：数图形（数角） 8 考点五：角的度量 8 考点六：平角、周角的认识及特征 9 考点七：用量角器画角 10 考点八：用三角尺画角 10 考点九：角度的计算 10 巩固练习 11 知识梳理 知识点一：直线、射线和线段的认识 定义：直线、射线和线段是几何图形的基本组成部分，具有不同的特征和表示方法。 核心要点： 1.线段： 定义：直线上两点间的有限部分，有两个端点 特征：可以度量长度，不能向两端延伸 表示方法：用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA） 生活实例：直尺边缘、书本的边 2.射线： 定义：由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点 特征：无法度量长度，可以向一端无限延伸 表示方法：用端点和射线上另一点表示（如射线A，端点字母在前） 生活实例：手电筒发出的光线、太阳光 3.直线： 定义：由线段向两端无限延长所形成的直的线，没有端点 特征：无法度量长度，可以向两端无限延伸 表示方法：用直线上两个点表示（如直线AB或直线BA）或用一个小写字母表示（如直线l） 生活实例：笔直的铁轨（理想状态） 注意事项： ①线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分 ②画射线时要注意端点和延伸方向，画直线时两端要画出延伸符号 ③线段可以比较长短，直线和射线不能比较长短 知识点二：角的定义与各部分名称 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 核心要点： 1.角的组成： 顶点：公共端点（一个） 边：两条射线（具有公共端点） 符号：∠（读作"角"） 2.角的表示方法： 用三个大写字母表示：中间字母为顶点（如∠AB，为顶点） 用一个大写字母表示：顶点处只有一个角时（如∠） 用数字表示：在角内标上数字（如∠1、∠2） 用希腊字母表示：如∠α、∠β（四年级阶段较少使用） 3.角的本质特征： 角的大小与边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关 角的两条边是射线，可以无限延长但不改变角的大小 注意事项： ①表示角时，顶点字母必须写在中间（如∠AB不能写成∠AB） ②当一个顶点处有多个角时，不能用单个顶点字母表示 ③角的两条边是射线，作图时要画出射线的特征（一端有端点，另一端无限延伸） 知识点三：角的度量工具与方法 定义：使用量角器测量角的大小的过程，角的度量单位是"度"，用符号"°"表示。 核心要点： 1.量角器的认识： 形状：半圆形，平均分成180份 刻度：内圈刻度（顺时针方向）和外圈刻度（逆时针方向） 中心点：量角器的圆心 0°刻度线：量角器底边的直线 2.量角的步骤： 点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 线重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读刻度：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.度数的读取方法： 若角的一条边与内圈0°刻度线重合，就读内圈刻度 若角的一条边与外圈0°刻度线重合，就读外圈刻度 刻度读取时要注意区分内外圈，避免读错 注意事项： ①量角时，角的顶点必须与量角器中心点完全重合 ②角的一条边必须与0°刻度线完全重合，不能与其他刻度线重合 ③读数时，视线要与量角器刻度线垂直，避免斜视造成误差 ④测量时，角的边不够长可以延长，但不能改变角的开口大小 知识点四：角的分类与关系 定义：根据角的度数大小，可以将角分为不同的类型，各类角之间存在特定的关系。 核心要点： 1.角的分类及特征： 锐角：大于0°且小于90°的角 直角：等于90°的角（符号：┐） 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（两条边在同一直线上，方向相反） 周角：等于360°的角（两条边完全重合） 2.角之间的关系： 1平角 = 2直角（180° = 2×90°） 1周角 = 2平角 = 4直角（360° = 2×180° = 4×90°） 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 3.特殊角的图示： 直角：两条边互相垂直 平角：看起来像一条直线，但有顶点和两条边 周角：看起来像一条射线，但有顶点和两条重合的边 注意事项： ①直角是90°，不是大于90°或小于90° ②平角不是一条直线，它是由一个顶点和两条方向相反的射线组成 ③周角不是一条射线，它是由一个顶点和两条重合的射线组成 ④钝角必须同时满足"大于90°"和"小于180°"两个条件 知识点五：角的画法 定义：根据给定的度数，使用量角器画出指定大小的角的过程。 核心要点： 1.用量角器画指定度数角的步骤： 画一条射线，作为角的一条边和顶点 量角器中心点与射线端点重合，0°刻度线与射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 标出角的符号和度数 2.画特殊角的简便方法： 画直角：可以用三角尺的直角直接画 画平角：画一条直线，在直线上取一点作为顶点 画周角：画一条射线，端点处标出角的符号 3.用三角尺画特定度数的角： 直接画：30°、45°、60°、90° 拼画：两个三角尺组合（如75°=45°+30°，105°=60°+45°，120°=90°+30°等） 注意事项： ①画射线时要明确端点，不能漏画 ②量角器摆放要正确，确保中心点和0°刻度线与射线重合 ③标度数时要写清单位"°" ④画完后要检查角的开口方向和度数是否正确 知识点六：角的度量与计算 定义：通过测量或计算，确定角的度数或解决与角相关的问题。 核心要点： 1.角的度量： 测量工具：量角器 测量范围：0°~180°（超过180°需特殊方法） 精确到：1°（四年级阶段） 2.角的计算类型： 已知一个角的度数，求它的补角（和为180°的两个角） 已知一个角的度数，求它的余角（和为90°的两个角） 已知多个角的和，求其中一个角的度数 利用角的平分线求角的度数（将一个角平均分成两个相等的角） 3.常见图形中的角： 平角：180° 周角：360° 三角形内角和：180°（四年级初步接触） 长方形/正方形的角：都是90° 注意事项： ①计算角的度数时要注意单位统一 ②进行角的加减运算时，度与度相加减 ③利用三角尺拼角时，要明确每个角的度数 ④解决实际问题时，要先分析角之间的关系再计算 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.概念混淆： 直线、射线、线段的特征混淆 平角与直线、周角与射线的区别 钝角的范围记忆错误（只记住大于90°，忽略小于180°） 2.量角错误： 中心点没与顶点重合或0°刻度线没与边重合 读错内外圈刻度（如把30°读成150°） 视线不垂直于量角器，造成读数偏差 3.画法错误： 漏画顶点或射线 度数标记错误或漏标单位 三角尺拼角时度数计算错误 4.计算错误： 角的和差计算错误（如180°-35°=155°算成145°） 单位漏写或写错（如写成"度"或"。"而不是"°"） 培优技巧： 1.记忆口诀： 直线射线与线段，特点区分要记全：直线无端点，射线一头点，线段两端点，长度可测量。 角的分类要记牢：锐角小于九十度，直角正好九十度，钝角介于九十到一百八，平角一百八，周角三百六。 量角画角口诀：点对点，线对边，再看另一边；0在外读外圈，0在内读内圈。 2.估测技巧： 建立角的表象：记住常见角的大小（如手掌张开大约90°，两个手掌张开大约180°） 比较法：与直角比较，判断锐角或钝角 参考法：利用三角尺的已知角估计未知角 3.解题技巧： 角的计算：看清图形，明确角与角之间的关系（如互补、互余、相等、和差等） 多角组合：利用"整体-部分"关系计算组合角 操作题：按步骤操作，注意细节，做完检查 考点练习 考点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：小明画了一条5厘米长的（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 跟踪练习：射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。( ) 考点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：如图，直线AB上共有（       ）条线段。 A．3 B．4 C．5 D．6 跟踪练习：下图中，共有( )条线段。 考点三：角的概念及表示方式 例题：角的两条边是（    ）。 A．一条直线 B．一条射线 C．两条射线 跟踪练习：一个角的边长延长5倍，那么这个角的度数将（    ）。 A．不变 B．扩大 C．缩小 考点四：数图形（数角） 例题：下图中有（    ）个角。 A．5 B．6 C．10 D．15 跟踪练习：数一数下图中各有几个角。 ( )个              ( )个                ( )个 考点五：角的度量 例题：三角尺是我们常用的文具，也可以用来估测角的大小。下图滑冰运动员的腿与冰面形成的夹角约是（    ）。 A．60° B．45° C．30° D．20° 跟踪练习：小盒老师利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是（    ）。 A．50° B．60° C．70° D．110° 考点六：平角、周角的认识及特征 例题：如图，如∠1＝30°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 跟踪练习：已知∠1＝35°，∠2＝90°，求∠3，∠4和∠5的度数。 考点七：用量角器画角 例题：以点O为顶点，画出一个比平角小75°的角。 O 跟踪练习：根据所给射线画出相应度数的角。 考点八：用三角尺画角 例题：画角，并清楚地标出这些角。 （1）用一副三角尺画一个的角。 （2）用量角器画一个的角。 跟踪练习：用三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 考点九：角度的计算 例题：已知之∠1＝75°，∠3＝25°，求∠2和∠4的度数。 跟踪练习：方方在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出的。∠1＝35°，∠2＝25°，那么图中的∠3是多少度？ 巩固练习 1．如图：用一副三角尺，无法画出的角是（    ）。 A． B． C． D． 2．下图中的大小是（    ）。 A． B． C． D． 3．下图中，共有（    ）条线段。 A．4 B．5 C．6 D．7 4．小明同学画了一条4厘米长的（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．角 5．从人体脊柱健康的角度考虑，座椅靠背角度在103°～112°之间，被认为是符合人体脊柱健康的角度。下面各图中符合要求的是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 6．下图是一张长方形的纸折起来以后的图形，其中∠1＝34°，那么∠2＝( )°。 7．钟面上3时整，时针和分针成一个( )。6时整，时针和分针组成一个( )。（选填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 8．( )时整，时针和分针成平角；2时整，分针和时针成( )角。 9．量角器所测量的角是( )°。 10．5平方千米＝( )平方米   30000平方米＝( )公顷     6000公顷＝( )平方千米     1周角＝( )平角＝( )直角 11．如下图，将两个相同的长方形叠起来。已知∠1＋∠2＋∠3＝125°。那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 12．数一数，图中各有几个角？ ( )个   ( )个 13．高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备( )种车票。 14．小王老师在黑板上画了一条8厘米长的射线。( ) 15．平面内，过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。( ) 16．可以用一副三角尺画出100°、75°和135°的角。( ) 17．9时30分，钟面上的时针和分针形成直角。( ) 18．用一个10倍的放大镜观察15°角，这个角还是15°。( ) 19．以A为顶点画一个比直角小的角 20．分别以下面的射线为一条边，画出55°和125°的角。 21．按要求画一画。 （1）画出直线AC；（2）画出射线AB；（3）画出线段BC。    22．如下图，已知∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，∠1、∠2、∠3各多少度？ 23．如图，把一张长方形纸的一个顶点放在另一张长方形纸的长边上，已知∠1＝25°，那么∠2是多少度？ 24．如图，小宇把一张长方形纸折叠成下面的图形，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？如果∠2＝40°，则∠1是多少度？ 25．如图，计算出和的度数。 26．下面图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 27．下图中角的一部分被遮住了，请你画一画并量出这个角的度数是（    ）度。 28．下图中一共有多少条射线？多少条线段？ 29．从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 角的度量 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：直线、射线和线段的认识 1 知识点二：角的定义与各部分名称 2 知识点三：角的度量工具与方法 3 知识点四：角的分类与关系 4 知识点五：角的画法 4 知识点六：角的度量与计算 5 知识点七：易错点与培优技巧 6 考点练习 7 考点一：线段、直线、射线的认识及特征 7 考点二：数图形（线段、直线、射线） 8 考点三：角的概念及表示方式 8 考点四：数图形（数角） 9 考点五：角的度量 10 考点六：平角、周角的认识及特征 12 考点七：用量角器画角 13 考点八：用三角尺画角 14 考点九：角度的计算 15 巩固练习 16 知识梳理 知识点一：直线、射线和线段的认识 定义：直线、射线和线段是几何图形的基本组成部分，具有不同的特征和表示方法。 核心要点： 1.线段： 定义：直线上两点间的有限部分，有两个端点 特征：可以度量长度，不能向两端延伸 表示方法：用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA） 生活实例：直尺边缘、书本的边 2.射线： 定义：由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点 特征：无法度量长度，可以向一端无限延伸 表示方法：用端点和射线上另一点表示（如射线A，端点字母在前） 生活实例：手电筒发出的光线、太阳光 3.直线： 定义：由线段向两端无限延长所形成的直的线，没有端点 特征：无法度量长度，可以向两端无限延伸 表示方法：用直线上两个点表示（如直线AB或直线BA）或用一个小写字母表示（如直线l） 生活实例：笔直的铁轨（理想状态） 注意事项： ①线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分 ②画射线时要注意端点和延伸方向，画直线时两端要画出延伸符号 ③线段可以比较长短，直线和射线不能比较长短 知识点二：角的定义与各部分名称 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 核心要点： 1.角的组成： 顶点：公共端点（一个） 边：两条射线（具有公共端点） 符号：∠（读作"角"） 2.角的表示方法： 用三个大写字母表示：中间字母为顶点（如∠AB，为顶点） 用一个大写字母表示：顶点处只有一个角时（如∠） 用数字表示：在角内标上数字（如∠1、∠2） 用希腊字母表示：如∠α、∠β（四年级阶段较少使用） 3.角的本质特征： 角的大小与边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关 角的两条边是射线，可以无限延长但不改变角的大小 注意事项： ①表示角时，顶点字母必须写在中间（如∠AB不能写成∠AB） ②当一个顶点处有多个角时，不能用单个顶点字母表示 ③角的两条边是射线，作图时要画出射线的特征（一端有端点，另一端无限延伸） 知识点三：角的度量工具与方法 定义：使用量角器测量角的大小的过程，角的度量单位是"度"，用符号"°"表示。 核心要点： 1.量角器的认识： 形状：半圆形，平均分成180份 刻度：内圈刻度（顺时针方向）和外圈刻度（逆时针方向） 中心点：量角器的圆心 0°刻度线：量角器底边的直线 2.量角的步骤： 点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 线重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读刻度：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.度数的读取方法： 若角的一条边与内圈0°刻度线重合，就读内圈刻度 若角的一条边与外圈0°刻度线重合，就读外圈刻度 刻度读取时要注意区分内外圈，避免读错 注意事项： ①量角时，角的顶点必须与量角器中心点完全重合 ②角的一条边必须与0°刻度线完全重合，不能与其他刻度线重合 ③读数时，视线要与量角器刻度线垂直，避免斜视造成误差 ④测量时，角的边不够长可以延长，但不能改变角的开口大小 知识点四：角的分类与关系 定义：根据角的度数大小，可以将角分为不同的类型，各类角之间存在特定的关系。 核心要点： 1.角的分类及特征： 锐角：大于0°且小于90°的角 直角：等于90°的角（符号：┐） 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（两条边在同一直线上，方向相反） 周角：等于360°的角（两条边完全重合） 2.角之间的关系： 1平角 = 2直角（180° = 2×90°） 1周角 = 2平角 = 4直角（360° = 2×180° = 4×90°） 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 3.特殊角的图示： 直角：两条边互相垂直 平角：看起来像一条直线，但有顶点和两条边 周角：看起来像一条射线，但有顶点和两条重合的边 注意事项： ①直角是90°，不是大于90°或小于90° ②平角不是一条直线，它是由一个顶点和两条方向相反的射线组成 ③周角不是一条射线，它是由一个顶点和两条重合的射线组成 ④钝角必须同时满足"大于90°"和"小于180°"两个条件 知识点五：角的画法 定义：根据给定的度数，使用量角器画出指定大小的角的过程。 核心要点： 1.用量角器画指定度数角的步骤： 画一条射线，作为角的一条边和顶点 量角器中心点与射线端点重合，0°刻度线与射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 标出角的符号和度数 2.画特殊角的简便方法： 画直角：可以用三角尺的直角直接画 画平角：画一条直线，在直线上取一点作为顶点 画周角：画一条射线，端点处标出角的符号 3.用三角尺画特定度数的角： 直接画：30°、45°、60°、90° 拼画：两个三角尺组合（如75°=45°+30°，105°=60°+45°，120°=90°+30°等） 注意事项： ①画射线时要明确端点，不能漏画 ②量角器摆放要正确，确保中心点和0°刻度线与射线重合 ③标度数时要写清单位"°" ④画完后要检查角的开口方向和度数是否正确 知识点六：角的度量与计算 定义：通过测量或计算，确定角的度数或解决与角相关的问题。 核心要点： 1.角的度量： 测量工具：量角器 测量范围：0°~180°（超过180°需特殊方法） 精确到：1°（四年级阶段） 2.角的计算类型： 已知一个角的度数，求它的补角（和为180°的两个角） 已知一个角的度数，求它的余角（和为90°的两个角） 已知多个角的和，求其中一个角的度数 利用角的平分线求角的度数（将一个角平均分成两个相等的角） 3.常见图形中的角： 平角：180° 周角：360° 三角形内角和：180°（四年级初步接触） 长方形/正方形的角：都是90° 注意事项： ①计算角的度数时要注意单位统一 ②进行角的加减运算时，度与度相加减 ③利用三角尺拼角时，要明确每个角的度数 ④解决实际问题时，要先分析角之间的关系再计算 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.概念混淆： 直线、射线、线段的特征混淆 平角与直线、周角与射线的区别 钝角的范围记忆错误（只记住大于90°，忽略小于180°） 2.量角错误： 中心点没与顶点重合或0°刻度线没与边重合 读错内外圈刻度（如把30°读成150°） 视线不垂直于量角器，造成读数偏差 3.画法错误： 漏画顶点或射线 度数标记错误或漏标单位 三角尺拼角时度数计算错误 4.计算错误： 角的和差计算错误（如180°-35°=155°算成145°） 单位漏写或写错（如写成"度"或"。"而不是"°"） 培优技巧： 1.记忆口诀： 直线射线与线段，特点区分要记全：直线无端点，射线一头点，线段两端点，长度可测量。 角的分类要记牢：锐角小于九十度，直角正好九十度，钝角介于九十到一百八，平角一百八，周角三百六。 量角画角口诀：点对点，线对边，再看另一边；0在外读外圈，0在内读内圈。 2.估测技巧： 建立角的表象：记住常见角的大小（如手掌张开大约90°，两个手掌张开大约180°） 比较法：与直角比较，判断锐角或钝角 参考法：利用三角尺的已知角估计未知角 3.解题技巧： 角的计算：看清图形，明确角与角之间的关系（如互补、互余、相等、和差等） 多角组合：利用"整体-部分"关系计算组合角 操作题：按步骤操作，注意细节，做完检查 考点练习 考点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：小明画了一条5厘米长的（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 【答案】C 【分析】直线没有端点，射线只有一个端点，二者都不能量得其长度，只有线段有两个端点，可以测量长度。 【详解】因直线没有端点，射线只有一个端点，二者都不能量得其长度，而线段有两个端点，能量得长度，所以应为小明画了一条5厘米长的线段。 故答案选：C 跟踪练习：射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。( ) 【答案】× 【分析】直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的几何图形；射线只有一个端点，只能向一个方向无限延长的、不可测量长度的几何图形。 【详解】根据直线和射线的含义可知：直线能向两个方向无限延长，而射线只能向一个方向无限延长，但直线和射线都无限长，所以无法测量，所以原题说法错误。 故答案为：× 考点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：如图，直线AB上共有（       ）条线段。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据线段的定义：有两个端点、它的长度是有限的，可以度量；分别列举出来有：AC、AD、AB、CD、CB、DB；共有6条线段。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： 如图，直线AB上共有6条线段。 故答案为：D 跟踪练习：下图中，共有( )条线段。 【答案】10 【分析】线段是由两个端点确定的，因此我们需要找出所有可能的端点对，并判断它们是否构成了线段，再找端点对的时候，要做到避免重复。 【详解】以点A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE；以点B为端点的线段有：BC、BD、BE；以点C为端点的线段有：CD、CE；以点D为端点的线段有：DE。 4＋3＋2＋1＝10（条） 因此，共有10条线段。 考点三：角的概念及表示方式 例题：角的两条边是（    ）。 A．一条直线 B．一条射线 C．两条射线 【答案】C 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，依此选择即可。 【详解】角的两条边是两条射线。如下图所示：    故答案为：C 【点睛】熟练掌握角的特点，是解答此题的关键。 跟踪练习：一个角的边长延长5倍，那么这个角的度数将（    ）。 A．不变 B．扩大 C．缩小 【答案】A 【分析】角的大小与边的长短没有关系，与两条边叉开的大小有关，一个角的边长延长5倍，两边叉开的大小不变，因此度数也不变。 【详解】一个角的边长延长5倍，那么这个角的度数将不变。 故答案为：A 【点睛】熟记“角的大小与边的长短没有关系，与两条边叉开的大小有关”是解题关键。 考点四：数图形（数角） 例题：下图中有（    ）个角。 A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】D 【分析】只含一个角的角有5个，由两个角拼成的角有4个，由三个角拼成的角有3个，由四个角拼成的角有2个，由五个角拼成的角有1个，据此解答。 【详解】 ＝（5＋4）＋（3＋2＋1） ＝9＋6 （个） 所以有15个角。 故答案为：D 跟踪练习：数一数下图中各有几个角。 ( )个              ( )个                ( )个 【答案】 5 8 8 【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角；进行解答即可。 【详解】如图所示： 图一：有∠1，∠2，∠3，∠4，∠1和∠2合起来的角，共5个角； 图二：有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠1和∠6合起来的角，∠3和∠4合起来的角，共8个角； 图三：有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠2和∠3合起来的角，∠5和∠6合起来的角，共8个角。 【点睛】此题考查了角的含义，在数角时要按一定的顺序数，不要漏数。 考点五：角的度量 例题：三角尺是我们常用的文具，也可以用来估测角的大小。下图滑冰运动员的腿与冰面形成的夹角约是（    ）。 A．60° B．45° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】从图中观察，左图是三角尺中30°—60°—90°的三角尺，用三角尺最小的角与滑冰运动员的腿与冰面形成的夹角比对，明显发现滑冰运动员的腿与冰面形成的夹角比30°偏小，据此从选项中逐项分析。 【详解】 A．60°＞30°； B．45°＞30°； C．30°＝30°； D．20°＜30°； 故答案为：D 跟踪练习：小盒老师利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是（    ）。 A．50° B．60° C．70° D．110° 【答案】A 【分析】如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差。外圈一边所对的刻度是110°，另一边所对的刻度是60°，所以这个角的度数为110°－60°＝60°，据此即可解答。 【详解】110°－60°＝50° 小盒老师利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是50°。 故答案为：A 考点六：平角、周角的认识及特征 例题：如图，如∠1＝30°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 150 30 60 【分析】由图可知，∠1和∠2组成平角，平角为180°，用180°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数； ∠2和∠3组成平角，平角为180°，用180°减去∠2的度数，即可求出∠3的度数； ∠1和∠4组成了直角，直角为90°，所以用90°减去∠1的度数，即可求出∠4的度数。 【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－30°＝150° ∠3＝180°－∠2＝180°－150°＝30° ∠4＝90°－∠1＝90°－30°＝60° 如∠1＝30°，那么∠2＝（150）°，∠3＝（30）°，∠4＝（60）°。 跟踪练习：已知∠1＝35°，∠2＝90°，求∠3，∠4和∠5的度数。 【答案】∠3＝55°；∠4＝35°；∠5＝145° 【分析】由图可知∠1与∠2以及∠3的和是一个平角，1平角＝180°，∠1与∠2的度数已知，用180°减∠1再减∠2的度数，即可求出∠3的度数。∠1与∠5组成的大角是一个平角，用180°减∠1的度数，即可求出∠5的度数。∠2与∠3、∠4组成一个平角，用180°减∠2的度数，再减∠3的度数，即可求出∠4的度数。 【详解】∠3＝180°－∠2－∠1＝180°－90°－35°＝90°－35°＝55° ∠4＝180°－∠2－∠3＝180°－90°－55°＝90°－55°＝35° ∠5＝180°－∠1＝180°－35°＝145° 考点七：用量角器画角 例题：以点O为顶点，画出一个比平角小75°的角。 O 【答案】见详解 【分析】平角等于180°，用180°－75°＝105°，先从O点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器105°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【详解】180°－75°＝105° 跟踪练习：根据所给射线画出相应度数的角。 【答案】见详解 【分析】把量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器60°、135°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【详解】根据分析作图如下： 考点八：用三角尺画角 例题：画角，并清楚地标出这些角。 （1）用一副三角尺画一个的角。 （2）用量角器画一个的角。 【答案】见详解 【分析】（1）从两个三角板中，将一个45°的角与另一个三角板中30°的角拼接在一起，即可得到75°的角； （2）画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器125°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 【详解】（1）（2）如图： 跟踪练习：用三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】一副三角尺中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，即可得到某些特殊的角度，其中，105°＝60°＋45°，据此画角。 【详解】 考点九：角度的计算 例题：已知之∠1＝75°，∠3＝25°，求∠2和∠4的度数。 【答案】∠2为80°，∠4为75° 【分析】平角为180°，观察图可以发现，∠1、∠2和∠3组成平角，那么用180°减去∠1和∠3，即可求出∠2，并且∠4、∠2和∠3组成平角，那么用180°减去∠2和∠3，即可求出∠4，据此解答即可。 【详解】180°－75°－25° ＝105°－25° ＝80° 180°－80°－25° ＝100°－25° ＝75° 答：∠2为80°，∠4为75°。 跟踪练习：方方在折纸时，将一张长方形的纸折成了如图所示的形状，如果他折出的。∠1＝35°，∠2＝25°，那么图中的∠3是多少度？ 【答案】 60° 【分析】解答本题的关键是知道折叠过来的角度和折痕另一边的角度相等，并且知道图中虚线上的角度是是平角180°，再解答。 从180°里减去∠1乘2，再减去∠2乘2就是∠3的度数。 【详解】35°×2＝70° 25°×2 ＝50° 180°－70°－50° ＝110°－50° ＝60° 答：那么图中的∠3是60°。 巩固练习 1．如图：用一副三角尺，无法画出的角是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一副三角尺有两个三角尺，两个三角尺中角的度数分别为90°、45°、45°和90°、60°、30°。能够拼凑出角的度数有90°＋90°＝180°、90°＋60°＝150°、90°＋45°＝135°、90°＋30°＝120°、60°＋45°＝105°、45°＋30°＝75°、60°－45°＝15°。据此解答。 【详解】A．由分析可知，要画60°的角，可以由一个三角尺中的60°角画出来，选项不符合题意； B．由分析可知，70°的角不能由一副三角尺画出来，选项符合题意； C．由分析可知，135°的角可以由90°的角和45°的角拼在一起画出来，选项不符合题意； D．由分析可知，150°的角可以由90°的角和60°的角拼在一起画出来，选项不符合题意。 故答案为：B 2．下图中的大小是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示可知，角的一边指向70°，另一边指向170°，也就是从量角器内环的70°量到了170°，因此用170°减去70°即可求出∠1的大小。 【详解】 所以∠1的大小是100°。 故答案为：C 3．下图中，共有（    ）条线段。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据线段的特点：线段是直线的一部分，有两个端点，数出图中的线段，即可解答。 【详解】根据分析可知： 图中的线段有：，共4条。 故答案为：A 4．小明同学画了一条4厘米长的（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．角 【答案】C 【分析】直线是向两方无限延伸着的，没有端点的线，无法测量。 射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线。射线仅有一个端点，这个端点是射线的起始点，并且射线是向一方无限延伸的，无法测量。 线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以进行测量。 具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关，角不能用长度来衡量。 【详解】A．由分析可知，直线无法测量长度，不符合题意。 B．由分析可知，射线无法测量长度，不符合题意。 C．由分析可知，线段可以测量长度，长度可能为4厘米，符合题意。 D．由分析可知，角不能用长度来衡量，不符合题意。 故答案为：C 5．从人体脊柱健康的角度考虑，座椅靠背角度在103°～112°之间，被认为是符合人体脊柱健康的角度。下面各图中符合要求的是（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由题意得，座椅靠背角度在103°～112°之间，直角的度数是90°，即这个角是钝角且比直角大一点。据此解答。 【详解】A．由图可知，椅背和椅面的角度为锐角，不满足题意。 B．由图可知，椅背和椅面的角度为直角，不满足题意。 C．由图可知，椅背和椅面的角度为钝角，它比直角大了一点，满足题意。 D．由图可知，椅背和椅面的角度为钝角，它比直角大了很多，不满足题意。 故答案为：C 6．下图是一张长方形的纸折起来以后的图形，其中∠1＝34°，那么∠2＝( )°。 【答案】73 【分析】由图可知，一张长方形的纸折起来以后得到∠2，那么∠2与它左边的那个角相等。∠2、∠2左边的那个角和∠1组成了一个平角，直接用180°减去∠1算出两个角的度数之和，然后再除以2即可算出∠2的度数。 【详解】（180°－∠1）÷2 ＝（180°－34°）÷2 ＝146°÷2 ＝73° 故∠2＝73°。 7．钟面上3时整，时针和分针成一个( )。6时整，时针和分针组成一个( )。（选填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 【答案】 直角 平角 【分析】由题意得，3时整，分针指向数字12，时针指向数字3（如下图）。 由图可知，此时时针和分针成一个直角。 6时整，分针指向数字12，时针指向数字6（如下图）。 由图可知，此时时针和分针成一个平角。 【详解】由分析可知：钟面上3时整，时针和分针成一个直角。6时整，时针和分针组成一个平角。 8．( )时整，时针和分针成平角；2时整，分针和时针成( )角。 【答案】 6 锐 【分析】钟面上，时针与分针成平角（180°）时，两针应指向相反方向且呈一直线。整点时，分针总指向12。当时针指向6（即6时整）时，分针指12，两针成180°平角。2时整，时针指2（60°），分针指12（0°），夹角为60°，是锐角。 【详解】6时整，时针和分针成平角；2时整，分针和时针成锐角。 9．量角器所测量的角是( )°。 【答案】110 【分析】用量角器量角时，量角器的中心和角的顶点重合。量角器的0刻度线和角的一边重合。找准内圈或外圈，然后读出角的另一边对准的刻度。 【详解】根据分析，量角器所测量的角是110°。 10．5平方千米＝( )平方米   30000平方米＝( )公顷     6000公顷＝( )平方千米     1周角＝( )平角＝( )直角 【答案】 5000000 3 60 2 4 【分析】1平方千米＝1000000平方米，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，1周角＝2平角＝4直角，高级单位到低级单位，乘进率；低级单位到高级单位，除以进率。据此解答。 【详解】（1）1平方千米＝1000000平方米，5平方千米＝5000000平方米； （2）1公顷＝10000平方米，30000平方米＝3公顷； （3）1平方千米＝100公顷，6000公顷＝60平方千米； （4）1周角＝2平角＝4直角。 11．如下图，将两个相同的长方形叠起来。已知∠1＋∠2＋∠3＝125°。那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 55 35 【分析】根据题意，仔细观察可知，∠1和∠2拼成直角，∠2和∠3拼成直角，直角等于90°，用∠1、∠2、∠3的和减去90°，即可算出∠3的度数，90°减去∠3的度数即可算出∠2的度数。 【详解】根据分析可知： ∠3＝（∠1＋∠2＋∠3）－90° ＝125°－90° ＝35° ∠2＝90°－∠3 ＝90°－35° ＝55° 因此，∠2＝55°，∠3＝35°。 12．数一数，图中各有几个角？ ( )个   ( )个 【答案】 3 8 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，据此计算出图形角的个数。 【详解】 单个角有2个，组合角有1个，合起来一共3个。 单个角有6个，组合角有2个，合起来一共8个。 13．高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备( )种车票。 【答案】30 【分析】根据题意画线段图：先求出线段的条数，再计算车票的种数。 【详解】根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD，CE，CF，CB，DE，DF，DB，EF，EB，FB，一共15条。 （种） 因为每一段路程可以有往返两种车票，故要准备30种车票。 14．小王老师在黑板上画了一条8厘米长的射线。( ) 【答案】× 【分析】射线有一个端点，另一端可以无限延伸，无法测量长度。题目中描述画了8厘米长的射线，与射线的定义矛盾。 【详解】根据射线的定义，射线只有一个端点，另一端无限延长，无法测量其长度。因此，画一条8厘米长的射线是不可能的。 故答案为：× 15．平面内，过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。( ) 【答案】√ 【分析】在平面内，若有一个点，以该点为固定点，直线可以向任意方向延伸，因此能画出无数条直线（如图，过点A的直线有无数条）。若有两点，两点确定一条且仅有一条直线，因此只能画一条直线（如图，过点B和点C的直线只有一条）。 【详解】由分析得，平面内，过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。原题说法正确。 故答案为：√ 16．可以用一副三角尺画出100°、75°和135°的角。( ) 【答案】× 【分析】一副三角尺，一个三角尺的角有30°、60°、90°，等腰直角三角尺的角有45°、45°、90°，用它们进行拼组，看是否能得出这几个角度即可。 【详解】45°＋90°＝135°，用一副三角尺可以画出135°的角。 30°＋45°＝75°，用一副三角尺可以画出75°的角。 无论怎么拼组，一副三角尺拼不出100°的角。 可以用一副三角尺画出75°和135°的角，画不出100°的角。 故答案为：× 17．9时30分，钟面上的时针和分针形成直角。( ) 【答案】× 【分析】9时30分时，时针指向9和10的正中间分针指向6。钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格为，此时时针和分针之间有3个半大格子，3个大格是90°，多半格，所以是钝角，据此判断。 【详解】由分析可知，9时30分，钟面上的时针和分针形成钝角，原题说法错误。 故答案为：×。 18．用一个10倍的放大镜观察15°角，这个角还是15°。( ) 【答案】√ 【分析】角的大小由角两边张开的大小决定，与边的长短无关。放大镜只会放大边的长度，不会改变角两边张开的大小，因此角度不变。 【详解】用10倍的放大镜观察15°的角，虽然角的两边被放大了，但角两边张开的大小没有改变，因此这个角仍然是15°，原题说法正确。 故答案为：√ 19．以A为顶点画一个比直角小的角 【答案】见详解 【分析】等于90°的角是直角，因此画的角的度数为：90°－15°＝75°，画角的步骤是：以A点为顶点，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器75°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 【详解】作图如下： 20．分别以下面的射线为一条边，画出55°和125°的角。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心点和已知射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器上找到55°度数的地方点一个点，以已知射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是55°的角，在角内标上角的符号和度数。用同样的方法画出125°的角。 【详解】 21．按要求画一画。 （1）画出直线AC；（2）画出射线AB；（3）画出线段BC。    【答案】见详解 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而画图即可。 【详解】画出的图形如下所示： 22．如下图，已知∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，∠1、∠2、∠3各多少度？ 【答案】∠3＝125°；∠2＝55°；∠1＝75° 【分析】由题意得，∠1、∠2、∠3和∠4组成了一个周角。∠1＋∠2＝130°，∠4＝105°，直接用360°减去∠1、∠2和∠4的度数即可算出∠3的度数。∠1和∠4组成了一个平角，直接用180°减去∠4的度数算出∠1的度数；∠1＋∠2＝130°，直接用130°减去∠1的度数即可算出∠2的度数。 【详解】∠3＝360°－130°－105°＝230°－105°＝125°。 ∠1＝180°－∠4＝180°－105°＝75° ∠2＝130°－∠1＝130°－75°＝55° 答：∠3＝125°，∠2＝55°，∠1＝75°。 23．如图，把一张长方形纸的一个顶点放在另一张长方形纸的长边上，已知∠1＝25°，那么∠2是多少度？ 【答案】65° 【分析】通过观察发现，长方形的一个角和∠1、∠2一起组成一个平角，平角是等于180°的角，根据长方形的特点可知，长方形的四个角都是90°，已知∠1＝25°，用平角减去90°，再减去25°，即可求出∠2的度数。 【详解】180°－90°－25° ＝90°－25° ＝65° 答：∠2是65°。 24．如图，小宇把一张长方形纸折叠成下面的图形，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？如果∠2＝40°，则∠1是多少度？ 【答案】如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25° 【分析】长方形四个角都是直角，根据题意，因为是折叠，所以两个∠1和∠2组成直角，直角等于90°，用90°减去两个∠1的度数，即可求出∠2是多少度；用90°减去∠2的度数，再除以2即可求出∠1的度数。 【详解】∠2：90°－20°－20° ＝70°－20° ＝50° ∠1：（90°－40°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 答：如果∠1＝20°，那么∠2是50°，如果∠2＝40°，则∠1是25°。 25．如图，计算出和的度数。 【答案】∠1是50°；∠2是70° 【分析】观察发现130°＋∠1＝180°，所以∠1＝180°－130°；∠1＋60°＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－60°；据此解答。 【详解】 答：∠1的度数是50°，∠2的度数是70°。 26．下面图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 【答案】∠1＝∠2 见详解 【分析】由图可知，∠1不管是加左边的角还是右边的角，都可以组成一个平角；∠2同样不管是加左边的角还是右边的角，都可以组成一个平角，因此∠1和∠2都等于180°减去旁边的角，据此即可得出结论。 【详解】∠1＝∠2，理由如下： 因为∠1＋∠3＝180° 所以∠1＝180°－∠3 因为∠2＋∠3＝180° 所以∠2＝180°－∠3 所以∠1＝∠2 【点睛】本题主要考查了学生根据简单的等量代换解答问题的能力，同时也考查了平角的定义。 27．下图中角的一部分被遮住了，请你画一画并量出这个角的度数是（    ）度。 【答案】见详解 90 【分析】根据题意，我们首先画出延长线，直至交汇于一点；再找尺子进行度量，即可得出答案。 【详解】 如图： 由此可知这个角为90度。 【点睛】本题主要考查角的认识，解答本题的关键在于画出完整的角。 28．下图中一共有多少条射线？多少条线段？ 【答案】射线10条；线段10条 【分析】根据射线的特征可知，以每个点为端点，都有两条射线，则一共有5×2条射线。根据线段的特征可知，单个线段有4条，由两条单个线段组成的组合线段有3条，由三条单个线段组成的组合线段有2条，由四条单个线段组成的组合线段有1条，则共有4＋3＋2＋1条线段。 【详解】5×2＝10（条） 则共有10条射线。 4＋3＋2＋1＝10（条） 则共有10条线段。 【点睛】直线上任意两点之间的一段叫做线段。线段有两个端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线。射线有一个端点。 29．从武汉到广州的铁路上共有大小车站8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？ 【答案】56种 【详解】1+2+3+4+5+6+7=28（条） 28×2=56（种） 准备56种不同的车票． （提示：将这8个车站看成在一条直线上的8个点，如图： 根据数线段的方法，可知有28种不同的票价．但每种票价对应两种不同的车票，例如： 从武汉→A与A→武汉距离一样，但车票应不同．） 1 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